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01 第一讲 解析几何大题—高效计算讲义


解析几何大题—高效计算
一、提出问题:预习作业中体现出来的问题
1.设椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的 2 3 a b
4 3 . 3

直线被椭圆截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设 A ,

B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两 点,若 AC ? DB ? AD ? CB ? 8 ,求 k 的值.

??? ? ??? ? ???? ??? ?

2.设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上. a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1 ,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点, P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2 P 交

y 轴于点 Q ,并且 F1P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.

二、分析问题:对于解析几何计算的基本认识 1.几何:几何要素的翻译和表达
几何元素

几何量

几何关系

2.解析:代数形式的化简和计算
方程处理

多项式化简

函数值域

三、解决问题:具体题目中计算能力的提升 1.长度面积问题
x2 y2 2 2 点 P(0, ?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2 : x ? y ? 4 a b
的直径. l1 , l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A , B 两点, l 2 交椭圆

C1 于另一点 D .
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求 ? ABD 面积取得最大值时直线 l1 的方程.

2.斜率向量问题
x2 y2 3 1 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(1, ) ,离心率 e ? ,直线 l 的方程为 x ? 4 . a b 2 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记

PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 .问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?
若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.

3.中点垂直问题
x2 y2 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 a b
交 M 于 A , B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积 的最大值.

1 . 2

4.轨迹方程问题
抛物线 C1 : x ? 4 y ,C2 : x ? ?2 py ( p ? 0) .点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的
2
2

切线,切点为 A , B ( M 为原点 O 时, A , B 重合于 O ).当 x0 ? 1 ? 2 时,切线 MA 的

1 . 2 (Ⅰ)求 p 的值;
斜率为 ? (Ⅱ) 当 M 在 C2 上运动时, 求线段 AB 中点 N 的轨迹方程( A ,B 重合于 O 时, 中点为 O ).


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