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xs第六课时 随机抽样及用样本估计总体


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鮀浦中学高三数学复习

第八章 概率与统计

第六课时 随机抽样及用样本估计总体 要点梳理
点滴积累 构筑框架

一.总体、样本、样本容量 我们要考察的对象的全体叫做_______,其中每个考察的对象叫_______.从总体中抽出的一 部分个体叫做_______,样本中个体的数目叫做_______. 二.随机抽样:抽样时保证每一个个体都可能被抽到,每一个个体被抽到的机会是________, 满足这样的条件的抽样是随机抽样.常用的抽样方法有如下几种: 1.简单 随机抽样 (1)定义:一般地,从个体数为 N 的总体中 取出 n 个个体作为样本(n<N),如 果每个个体都有 的机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法: 和 . ( 3) 简单随机抽样的特点: 它是 抽样; 它是逐个地进行抽取; 它是一种 抽样. 一 般地,从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本时,每次抽取一个个体时,任何一 1 个个体被抽到的概率为 ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 . N 2.系统抽样 当总体中的个数较多时,可将总体分成 的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一 部分抽取 1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样 系统抽样的步骤:假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)采用随机的方式将总体中的 N 个个体 ; N N N (2)编号接间隔 k 分段,当 是整数时,取 k= ;当 不是整数时,从总体中剔除一些个体, n n n N′ 使剩下的总体中个体的个数 N 能被 n 整除,这时取 k= ,并将剩下的总体重新编号; n (3)在第一段中用 确定起始的个体编号 l; (4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为 l,l+k,l+2k,…,l+(n-1)k 的个体抽出. 注:被抽到个体的编号能组成等差数列,其中公差为分段间隔. 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使 样本更能充分地反映总体的 情况,常将总体分成几个部分,然后按照各部分所占的_______进行抽样,这种抽样叫做 _______.其中所分成的各部分叫做层. (1)分层抽样是等概率抽样. 用分层抽样从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本 n 时,在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,都等于 ; N (2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的, 由于它充分利用了已知信息, 因此利用它获取的样本更具有代表性,在实际的应用中更为广泛. 三.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数:在一组数据中出现次数 的数据叫做这组数据的众数; 上的一个数据(或中

中位数:将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在 间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
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第八章 概率与统计

(2)平均数与方差 如果这 n 个数据是 x1,x2,…,xn,那么 x ? 如果这 n 个数据是 x1,x2,…,xn,那么 s ?
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,叫做这 n 个数据的平均数; ,叫做这 n 个 叫做这 n 个数据的标准差.

数据的方差;同时,

注:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散 程度越大,标准差、方差越小,数据的离散程度越小,因为方差与原始数据的单位不同,且 平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样 的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差 四. 用样本的频率分布估计总体的分布 1.频率分布直方图 (1)作频率分布直方图的步骤:①求极差;②确定组距和组数;③将数据分组;④列频率分布 表;⑤画频率分布直方图. (2)在频率分布直方图中,纵轴表示 ,频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

=频率.各组频率的和等于 1,因此各小矩形的面积的和等于 1.频率分布直方图能很容易地 表示大量数据,非常直观地表明分布的形状. (3)从样本频率分布直方图估计总体数字特征时, 众数:纵坐标最大的那一组的中点横坐标值; 1 中位数:找到横坐标 x0,使直线 x=x0 左右两边面积各为 ,x0 即为中位数; 2 平均数:每组中点值乘以相应该组频率的和. 2 茎叶图:与频率分布直方图比较,茎叶图不仅清晰地展示了数据的分布情况,而且保留了 所有原始数据,没有任何信息损失,还可以随时记录新的数据.

基础闯关

基础回顾 检验储备

1. 某单位有职工 160 人, 其中业务人员 120 人, 管理人员 24 人, 后勤服务人员 16 人. 为 了解职工的某种情况,要从中抽取一个样本容量为 20 的样本,记作①.从某中学高三年级的 18 名体育特长生中选出 5 人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽 样方法分别是( ) A.①用随机抽样法,②用系统抽样法 B.①用分层抽样法,②用随机抽样法 C.①用系统抽样法,②用分层抽样法 D.①用分层抽样法,②有系统抽样法 2.某连队身高符合建国 60 周年国庆阅兵标准的士兵共有 45 人,其中 18 岁~19 岁的士 兵有 15 人,20 岁~22 岁的士兵有 20 人,23 岁以上的士兵有 10 人,若该连队有 9 个参加阅 兵的名额,如果按年龄分层选派士兵,那么,该连队年龄在 23 岁以上的士兵参加阅兵的人 数为( ) A.5 B.4 C .3 D.2
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第八章 概率与统计

3.某高中在校学生 2000 人,高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多 1 人,为 了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每个人都参加而 且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如表:其中 a∶b∶c=2∶3∶5,全校参 2 与登山的人数占总人数的 ,为了了解学生对本 5 高一级 高二级 高三级 次活动的满意程度,从中抽取了一个 200 人的 样本进行调查,则高二级参与跑步的学生中应 a b c 跑步 抽取( ) A.36 人 B60 人 C.24 人 D.30 人 x y z 登山 4.从 2010 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用 简单随机抽样从 2010 人中剔除 10 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取,则每人入 选的概率( ) 50 50 A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为 D.都相等,且为 2010 2000 5.某初级中学有学生 270 人,其中七年级 108 人,八、九年级各 81 人,现要利用抽样 方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使 用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按七、八、九年级依次统一编号为 1、2、?、270; 使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1、2、?、270,并将整个编号依次分为 10 段.如 果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; 关于上述样本的下列结论中,正确的是( A.②、③都不能为系统抽样 C.①、④都可能为系统抽样 ) ②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;

B.②、④都不能为分层抽样 D.①、③都可能为分层抽样

6.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一 组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 ) D.62.8,3.6

C.62.8,63.6

7.从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度, 其茎叶图如图. 根据茎叶图, 下列描述正确的是( A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均 高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均 高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
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第八章 概率与统计

8.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的 总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B, 样本标准差分别为 SA 和 SB,则( A. x A> x B,SA>SB C. x A> x B,SA<SB )

B. x A< x B,SA>SB D. x A< x B,SA<SB

9.某中学共有 1000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试, 数学成绩如下表所 示: 数学成 绩分组 人数 [0,30) 60 [30,60) 90 [60,90) 300 [90,120) x [120,150] 160

(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方 法抽取 100 名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分,求他被抽中的概 率; (2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数; (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分. (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表)

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