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高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)


高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分) 1. 在平面直角坐标系中,已知 A(1, ?2) , B(3, 0) ,那么线段 AB 中点的坐标为( A. (2, ?1) B. (2, 1) C. (4, ? 2) ) D. (?1, 2) )

2. 直线 y ? kx 与直线 y ? 2 x ? 1 垂直,则 k 等于( A. ? 2 B. 2 C. ?

1 2

D.

1 3
) D. (2, 0), 2 )

3.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径分别为( A. (0, 2), 2 B. (2, 0), 4

C. (?2,0), 2

4. 在空间直角坐标系中,点 (?2,1, 4) 关于 x 轴的对称点的坐标为( A. (?2,1, ?4) B. (2,1, ?4) C. (?2, ?1, ?4)

D. (2, ?1, 4) )

5. 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( A. 2? B. 4? C. 8? D. 16? 6. 下列四个命题中错误的 是( ) ... A.若直线 a 、 b 互相平行,则直线 a 、 b 确定一个平面 B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 7. 关于空间两条直线 a 、 b 和平面 ? ,下列命题正确的是( A.若 a // b , b ? ? ,则 a // ? B.若 a // ? , b ? ? ,则 a // b C.若 a // ? , b // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b 8. 直线 3x ? y ? 2 ? 0 截圆 x2 ? y 2 ? 4 得到的弦长为( A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D. 2 ) )

9. 如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均 为全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直角边 长为 1,那么这个几何体的体积为( A. ) D. 1
俯视图 主视图 左视图

1 6

B.

1 3

C.

1 2

10.如右图,定圆半径为 a ,圆心为 (b, c ) ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点在( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

O x y

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分) 11. 点 (2, 0) 到直线 y ? x ? 1 的距离为_______.

12. 已知直线 a 和两个不同的平面 ? 、 且a ?? , 则? 、 ?, a?? , ? 的位置关系是_____. 13. 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是________. 14. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得平面 ADC ? 平面 ABC ,在折起 后形成的三棱锥 D ? ABC 中,给出下列三个命题: ①面 DBC 是等边三角形; ② AC ? BD ; ③三棱锥 D ? ABC 的体积是 其中正确命题的序号是_________.(写出所有正确命题的序号) 三、解答题: (共 6 小题) 15. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为梯形, AD // BC , ?ABC ? 90? ,求图中 阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。 A 2 D

2 . 6

4 C

B

5

16、 (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过两点 (2,1) , (6,3) . (1)求直线 l 的方程; (2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于 (2, 0) 点,求圆 C 的方程.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,点 D 是 AB 的中点. 求证: (1) AC ? BC1 ; (2) AC1 // 平面 B1CD . A1 C1 B1

C D A

B

18. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是正方形, PD ? 平面

ABCD ,PD ? AB ? 2 , E, F , G 分别是 PC , PD, BC 的
中点. (1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ; (2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并 给出证明; (3) 证明平面 EFG ? 平面 PAD , 并求出 D 到平面 EFG 的距离. A

P E

F D

C G B

19、 (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程 为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 . (1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过不同的三点 A 、 B 、 P(m, 0) ,且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P , 求圆 M 的方程. 20、 (本小题满分 14 分)设有半径为 3km 的圆形村落, A, B 两人同时从村落中心出发, B 向北直行, A 先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进, 后来恰与 B 相遇.设 A, B 两人速度一定,其速度比为 3 :1 ,问两人在何处相遇?

高中数学必修二模块综合测试卷(一)参考答案
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分) 1. A; 2. C; 3. D; 4. C; 5. B; 6. C; 7. D; 8. B ; 9. A; 10. D . 二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分) 11.

2 ; 2

12.平行;

13.相交;

14.①②.

三、解答题: 15. S ? 68?

V?

140 ? 3

16、解: (1)由已知,直线 l 的斜率 k ? 所以,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 .

3 ?1 1 ? , 6?2 2

(2)因为圆 C 的圆心在直线 l 上,可设圆心坐标为 (2a, a) , 因为圆 C 与 x 轴相切于 (2, 0) 点,所以圆心在直线 x ? 2 上, 所以 a ? 1 , 所以圆心坐标为 (2, 1) ,半径为 1, 所以,圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1 .
2 2

17. 证明: (1) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , 所以, CC1 ? AC , 又 AC ? BC , BC A1

C1

B1

CC1 ? C ,
C

O

所以, AC ? 平面 BCC1B1 , 所以, AC ? BC1 . (2)设 BC1 与 B1C 的交点为 O ,连结 OD , A B D

BCC1B1 为平行四边形,所以 O 为 B1C 中点,又 D 是 AB 的中
点, 所以 OD 是三角形 ABC1 的中位线, OD // AC1 ,

又因为 AC1 ? 平面 B1CD , OD ? 平面 B1CD ,所以 AC1 // 平面 B1CD .

B C D 18 (1)E , F 分别是线段 PC , PD 的中点, 所以 EF // CD , 又A
所以 EF // AB , 又 EF ? 平面 PAB ,所以 EF // 平面 PAB . 因为 E , G 分别是线段 PC , BC 的中点,所以 EG // PB ,

为正方形,AB // CD , P E Q C G B

F O D H A

又 EG ? 平面 PAB ,所以, EG // 平面 PAB . 所以平面 EFG // 平面 PAB . (2) Q 为线段 PB 中点时, PC ? 平面 ADQ . 取 PB 中点 Q ,连接 DE , EQ, AQ , 由于 EQ // BC // AD ,所以 ADEQ 为平面四边形, 由 PD ? 平面 ABCD ,得 AD ? PD , 又 AD ? CD , PD 所以 AD ? PC , 又三角形 PDC 为等腰直角三角形, E 为斜边中点,所以 DE ? PC ,

CD ? D ,所以 AD ? 平面 PDC ,

AD

DE ? D ,所以 PC ? 平面 ADQ . PD ? D ,所以 CD ? 平面 PAD ,

(3)因为 CD ? AD , CD ? PD , AD

又 EF // CD ,所以 EF ? 平面 PAD ,所以平面 EFG ? 平面 PAD . 取 AD 中点 H ,连接 FH , GH ,则 HG // CD // EF ,平面 EFGH 即为平面 EFG , 在平面 PAD 内,作 DO ? FH ,垂足为 O ,则 DO ? 平面 EFGH ,

DO 即为 D 到平面 EFG 的距离,
在三角形 PAD 中, H , F 为 AD, PD 中点, DO ? FD sin 45 ?

2 . 2

即 D 到平面 EFG 的距离为

2 . 2
1 2

19、解: (1) AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 ,所以, AC : x ? 0 , 又 CD : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以, C (0, ? ) , 设 B(b, 0) ,则 AB 的中点 D ( , ) ,代入方程 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 解得 b ? 2 ,所以 B(2, 0) . (2)由 A(0, 1) , B(2, 0) 可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 注意到 BP 也是圆 M 的弦,所以,圆心在直线 x ? 设圆心 M 坐标为 (

b 1 2 2

m?2 上, 2

m?2 , n) , 2

因为圆心 M 在直线 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,所以 2m ? 2n ? 1 ? 0 …………①, 又因为斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P ,所以 kMP ? ?1 ,

n ? ?1 ,整理得 m ? 2n ? 2 ? 0 …………②, m?2 ?m 2 5 由①②解得 m ? ?3 , n ? ? , 2
即 所以, M ( ?

1 5 1 49 50 , ? ) ,半径 MA ? , ? ? 2 2 4 4 2

所以所求圆方程为 x2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0 。

20、解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A, B 两人速度分别为 3v 千米/小时, v 千米 /小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变方向,又经过 y0 小时,在 点 Q 处与 B 相遇. 则 P, Q 两点坐标为 ?3vx0 ,0? , ? 0, vx0 ? vy0 ? 由 OP ? OQ ? PQ 知,
2 2 2

? 3vx0 ?

2

? ? vx0 ? vy0 ? ? ? 3vy0 ? ,即 ? x0 ? y0 ??5x0 ? 4 y0 ? ? 0 .
2 2

x0 ? y0 ? 0,?5x0 ? 4 y0 ……①
3 x0 ? y0 ,得 k PQ ? ? 4 3x0

将①代入 kOQ ? ?

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置.

设直线 y ? ?

3 x ? b 与圆 O : x2 ? y 2 ? 9 相切, 4

则有

4b 3 ?4
2 2

? 3,?b ?

15 。 4
3 千米处。 4

答: A, B 相遇点在离村中心正北 3


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