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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第5章数列5-5[来源:学优高考网78336]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则 数列{bn}的公比为( A. 2 C.2 ) B.4 1 D. 2

2 解析:设数列{an}的公差为 d(d≠0),由 a3 =a1a7 得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得 a1=2d,

a3

a1+2d 2a1 故数列{bn}的公比 q= = = =2. a1 a1 a1 答案:C a9+a10 1 2.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 =( 2 a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 B.1- 2 D.3-2 2 )

解析:设等比数列的公比为 q,由题意知 a3=a1+2a2,即 a1q2=a1+2a1q, ∴q2-2q-1=0,解得 q=1+ 2或 q=1- 2(舍去). ∴ a9+a10 ?a7+a8?q2 = =q2=(1+ 2)2=3+2 2,故选 C. a7+a8 a7+a8

答案:C 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=3Sn(n≥1,n∈N*),第 k 项满足 750<ak<900,则 k 等于( A.8 C.6 解析:由 an+1=3Sn 及 an=3Sn-1(n≥2), 得 an+1-an=3an,即 an+1=4an(n≥2),
? ?1?n=1?, 又 a2=3S1=3,∴an=? n-2 ?3×4 ?n≥2?, ?

) B.7 D.5

又 750<ak<900,验证得 k=6. 答案:C
2 * 4. (2014 年海淀模拟)已知数列{an}满足: a1=1, an>0, a2 那么使 an<5 n+1-an=1(n∈N ),

成立的 n 的最大值为( A.4 C.24

) B.5 D.25

2 * 2 解析:由 a2 n+1-an=1(n∈N )知,数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,则 an=1

2

+(n-1)×1=n,由 an<5 得 n<5,∴n<25,故选 C. 答案:C 5.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误的是( A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 d? 1 d 解析:设{an}的首项为 a1,则 Sn=na1+ n(n-1)d= n2+? ?a1-2?n.由二次函数性质知 Sn 2 2 有最大值时,则 d<0,故 A、B 正确;因为{Sn}为递增数列,则 d>0,不妨设 a1=-1,d=2, 显然{Sn}是递增数列,但 S1=-1<0,故 C 错误;对任意 n∈N*,Sn 均大于 0 时,a1>0,d>0, {Sn}必是递增数列,D 正确. 答案:C 二、填空题 6.从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液后 又用水填满, 以此继续下去, 则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之 比低于 10%. 解析:设倒 n 次后纯酒精与总溶液的体积比为 an, 1?n ?1?n 则 an=? ?2? ,由题意知?2? <10%,∴n≥4. 答案:4 a11 7.已知数列{an}为等差数列,公差为 d,若 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,则 a10 使得 Sn<0 的 n 的最小值为________. a11 解析:根据 Sn 有最大值知,d<0,则 a10>a11,由 <-1 知,a10>0>a11, a10 19?a1+a19? 20?a1+a20? 且 a11<-a10 即 a10+a11<0,从而 S19= =19a10>0,S20= =10(a10+ 2 2 a11)<0, 则使 Sn<0 的 n 的最小值为 20. 答案:20 8 .设曲线 y = xn 1(n ∈ N*) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 xn =


)

________,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99 的值为________. 解析:∵y=xn 1,∴y′=(n+1)xn,


它在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 与 x 轴交点的横坐标为 xn=1- n , n+1 由 an=lg xn 得 an=lg n-lg(n+1),

1 = n+ 1

于是 a1+a2+…+a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100=lg 1-lg 100=0-2 =-2. 答案: n -2 n+1

三、解答题 9.已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值.
? ? ?2a1+2d=8, ?a1=2, 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,则题意知? 解得? ?2a1+4d=12, ?d=2. ? ?

所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,即 an=2n. n?a1+an? n?2+2n? (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2 因为 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以 a2 k =a1Sk+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6. 10.(2015 年武汉模拟)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价 值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从 第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+…+an (2)设 An= , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则需在第 n 年初对 M n 更新.证明:需在第 9 年初对 M 更新. 解析:(1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,an=120-10(n -1)=130-10n; 3? 3 当 n≥7 时, 数列{an}是以 a6 为首项, 公比为 的等比数列, 又 a6=70, 所以 an=70×? ?4? 4
n-6

. 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 130-10n,n≤6, ? ? an=? ?3?n-6,n≥7. 70 × ? ?4? ?

(2)证明:设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n; 3 ?3?n-6? 当 n≥7 时,由于 S6=570,故 Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70× ×4×? ?1-?4? ? 4 3?n-6 780-210×? 4? ? 3 ?n-6 =780-210×? . ?4? ,An= n 3?2 780-210×? ?4? 47 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,又 A8= =82 >80,A9= 8 64 3?3 780-210×? ?4? 79 =76 <80, 9 96 所以需在第 9 年初对 M 更新. B 组 高考题型专练 1.(2014 年高考湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n. 显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. 当 an=4n-2 时, n[2+?4n-2?] Sn= =2n2, 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 3 2.已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2

(1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, a4 1 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 1 3 3 3 - ?n-1=(-1)n-1·n. 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 ? 2? 2

?2+2 ?2 +1?,n为奇数, 1? 1? 1 1 ? ? (2)证明: S =1-?-2? , S + =1-?-2? + =? S 1 1 - ? 1-? ? 2? ?2+2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n n n n n n n

1

1 1 1 13 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ . Sn 6 3.(2014 年高考四川卷)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图象上 (n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- 1 ,求数列 ln 2

{anb2 n}的前 n 项和 Sn.
解析:(1)证明:由已知,bn=2an>0, bn+1 当 n≥1 时, =2an+1-an=2d. bn 所以,数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 它在 x 轴上的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意,a2- =2- . ln 2 ln 2 解得 a2=2. 所以,d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb2 4n. n=n· 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)· 4n 1+n· 4n,


4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n· 4n 1.


因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n· 4n

+1

= =

4n 1-4 + -n· 4n 1 3


?1-3n?4n 1-4 . 3
+ +

?3n-1?4n 1+4 所以,Sn= . 9


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