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必修五2.5等比数列的前n项和(一)


2.5 等比数列的 前n项和 (一)

复习引入
1. 等比数列的定义: 2. 等比数列通项公式:

an ? a1 ? q

n ?1

(a1 , q ? 0)

复习引入
3. {an}成等比数列

?
4. 性质:

/>
an?1 ? ? q ( n ? N , q ? 0) an

若m+n=p+q,则am · an=ap · aq.

复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者,于是就问象棋的发明者有什么 要求,发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒,第二个格子放 2 颗麦粒,第三个格子 放 4 颗麦粒,以此类推,每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍,请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他 的要求. 我们看国王能不能满足他的要求,由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的 2 倍,共有 64 个格子,各个格子里的麦粒数 依次是:

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1

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1 2

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1 2 2
2

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1 2 2 2
2 3

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1 2 2 2 2
2 3 4

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1 2 2 2 2 ?
2 3 4

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63 ? 1 2 2 2 2 2 2 3 4

这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!

2

63

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分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

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分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , ?, 2 .

2

3

63

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分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , ?, 2 .
它是以1为首项,公比是2的等比数列,

2

3

63

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分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , ?, 2 .
它是以1为首项,公比是2的等比数列,

2

3

63

麦粒的总数为:

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2
62

63

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请同学们考虑如何求出这个和?

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请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

63



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请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264



讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:



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请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )

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这种求和 请同学们考虑如何求出这个和? 的方法,就 2 3 63 是错位相 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 减法 2 3 63!

2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )

讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 64 ? S64 ? 2 ? 1

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请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 64 ? S64 ? 2 ? 1=18446744073709551615

讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 64 ? S64 ? 2 ? 1=18446744073709551615
≈1.84×1019

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请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63
如果1000 粒麦粒重为40 63 64 即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2 ② ?2 克,那么这些麦粒的总质 量就是7300多亿吨.根据统 由②-①可得: 计资料显示,全世界小麦

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 说全世界都要 ? ? ? 2 1000 ? 2 ) 多年才 2 3 63 能生产这么多小麦,国王 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 无论如何是不能实现发明 者的要求的. 64 ? S64 ? 2 ? 1=18446744073709551615
2
6亿吨,就是 3 的年产量约为63 64

≈1.84×1019

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an…

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 这种求和 它的前n项和是 的方法,就
是错位相 减法!

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

∴当q≠1时,



等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

∴当q≠1时, 或 ②



等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

∴当q≠1时, 或 ②

当q=1时,等 比 数列的前n项 和 ① 是什么?

等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是

∴当q≠1时, 或 ②

当q=1时,等 比 数列的前n项 和 ① 是什么? S ? na
n

1

等比数列的前n项和公式的推导2

等比数列的前n项和公式的推导2

等比数列的前n项和公式的推导2

等比数列的前n项和公式的推导2

等比数列的前n项和公式的推导2

等比数列的前n项和公式的推导2

∴当q≠1时, 或 ∴当q=1时, ②



等比数列的前n项和公式的推导

“方程”在代数课程里占有重要的
地位,方程思想是应用十分广泛的一种 数学思想,利用方程思想,在已知量和 未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决.

等比数列的前n项和公式

当q=1时,
当q≠1时, 或 ① ②

等比数列的前n项和公式

当q=1时,
当q≠1时, 或 ① ②

思考:
什么时候用公式①, 什么时候用公式②?

等比数列的前n项和公式

当q=1时,
当q≠1时, 或 ① ②

思考:
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? ?当已知a1, q, n 时用公式①;

等比数列的前n项和公式

当q=1时,
当q≠1时, 或 ① ②

思考:
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? ?当已知a1, q, n 时用公式①; ?当已知a1, q, an时,用公式②.

讲解范例:
例1.求下列等比数列前8项的和.

1 ( 2) a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 243

1 1 1 (1) , , ? 2 4 8

练习:
教材P.58练习第1题. 根据下列各题中的条件,求相应的等比 数列{an}的前n项和Sn.

(1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;
1 1 ( 2) a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? . 3 90

讲解范例:
例2. 某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的售量比上一年增加10%, 那么从第一年起,约几年内可使总销售 量达到30000台(保留到个位)?

讲解范例:
例3.求数列
1, 2 x, 3x , 4 x ,? , nx
2 3 n ?1

前n项的和.

课堂小结
1. 等比数列求和公式: 当q=1时,

当q≠1时, 或

课后作业
1. 习题2.5A组第1,2,4题

2.完成限时练(十三).


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