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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第2章2.3.1平面向量基本定理


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【学习要求】

平面向量基本定理

1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义.
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2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他 向量. 3.会应用平面向

量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 【学法指导】 1.平面向量基本定理的实质:平面内的任一向量都可以沿两 个不共线的方向分解成两个向量和的形式;而且基底一旦 确定,这种分解是唯一的. 2.求两个非零向量夹角,要注意两向量一定是有公共起点; 两向量夹角的范围是[0,π].

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量, 那么对于这一平面内的 任意 向量 a, 有且只有一对 实 数 λ1,λ2,使 a= λ1e1+λ2e2 . (2)基底:把 不共线 的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内

所有 向量的一组基底.

填一填·知识要点、记下疑难点
2. 两向量的夹角与垂直 → (1)夹角: 已知两个 非零 向量 a 和 b, 作OA → =a, =b, ∠AOB =θ (0° OB 则 ≤θ≤180° )
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叫做向量 a 与 b 的夹角.
,180° . ] ①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是 [0°

②当 θ=0° 时,a 与 b 同向 . ③当 θ=180° 时,a 与 b 反向 . (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90° ,则称 a 与 b 垂直,记 作 a⊥b .

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一
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平面向量基本定理的提出

(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向 量来表示.如图所示,e1,e2 是两个不共线的向量,试用 → → → → → e ,e 表示向量AB,CD,EF,GH,HG,a.
1 2

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通过观察,可得: → → → AB= 2e1+3e2 ,CD= -e1+4e2 ,EF= 4e1-4e2 , → → GH=-2e1+5e2 ,HG= 2e1-5e2 ,a= -2e1 .
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(2)平面向量基本定理的内容是什么?什么叫基底? 答 平面向量基本定理是指: 如果 e1、 2 是同一平面内的两个 e
不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一 对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.这里不共线的向量 e1、e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.

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探究点二 平面向量基本定理的证明 (1)证明定理中 λ1,λ2 的存在性. 如图,1,2 是平面内两个不共线的向量, e e a 是这一平面内任一向量,a 能否表示成
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λ1e1+λ2e2 的形式,请通过作图探究 a 与
→ 答 在平面内任取一点 O, → =e1, =e2, 作OA OB → OC=a, 过点 C 分别作平行于 OB, 的直线, OA → 交直线 OA 于点 M,交直线 OB 于点 N,有OM → → → → → → = λ1 OA , ON = λ2 OB , ∵ OC = OM + ON , ∴a=λ1e1+λ2e2,如图所示.

e1、e2 之间的关系.

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(2)证明定理中 λ1,λ2 的唯一性.

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如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量,a 是和 e1、e2 共面的任一向量, 且存在实数 λ1、 2 使 a=λ1e1+λ2e2, λ 证明 λ1,
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λ2 是唯一确定的.(提示:利用反证法)
答 假设存在另一组实数 λ′1,λ′2 也能使 a=λ′1e1+λ′2e2 成立,则 λ′1e1+λ′2e2=λ1e1+λ2e2.
∴(λ′1-λ1)e1+(λ′2-λ2)e2=0. ∵e1、e2 不共线,∴λ′1-λ1=λ′2-λ2=0, ∴λ′1=λ1,λ′2=λ2. ∴使 a=λ1e1+λ2e2 成立的实数对 λ1,λ2 是唯一的.

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探究点三 的夹角 θ.


向量的夹角

(1)已知 a、b 是两个非零向量, 过点 O 作出它们
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→ → 过点 O 作OA=a,OB=b,则

∠AOB=θ,就是 a 与 b 的夹角.

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(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的?确定两个向量夹 角时,要注意什么事项?

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两个非零向量夹角的范围是 0° ≤θ≤180° ,确定两个向量

夹角时要注意先使向量的始点相同,再确定大小.
(3)在等边三角形 ABC 中,试写出下面向量的夹角: a. → ,AC〉= 〈AB → ;

60°

b. → ,CA〉= 120° 〈AB → ; → → c. 〈BA,CA〉= 60° ; d. → ,BA〉= 180° 〈AB → .

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[典型例题]

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例 1 已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2, b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量 a 和 b 表示 c.

解 ∵a,b 不共线,
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∴可设 c=xa+yb, xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x 则 -2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又∵e1,e2 不共线,
?3x-2y=7, ? ∴? ?-2x+y=-4. ?

解得 x=1,y=-2,∴c=a-2b.

小结

选定基底之后, 就要“咬定”基底不放, 并围绕它做中

心工作, 千方百计用基底表示目标向量. 这有时要利用平面几 何知识. 要注意将平面几何知识中的性质、 结论与向量知识有 机结合,具体问题具体分析.

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跟踪训练 1 如 图 所 示 , 在 平行 四 边 形

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ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点, → → → AD → 已知AM=c, =d, AN 试用 c, 表示AB, . d
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→ → 解 设AB=a,AD=b, → → → → 1→ 1 则AM=AD+DM=AD+2AB=2a+b, 1 → → → → 1→ AN=AB+BN=AB+2AD=a+2b
?1 ?2a+b=c 由①②得? ?a+1b=d ? 2 2 4 ? ?a=-3c+3d ,解得? ?b=4c-2d ? 3 3 ,




→ =-2c+4d,AD=4c-2d. → 即AB 3 3 3 3

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例2 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB

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=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,若 → → BC MN AB=a,→ =b, AD 试用 a、 表示DC、→ 、→ . b

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如图所示,连结 CN,则四边形 ANCD

是平行四边形. → =AN=1AB=1a, → 则DC → 2 2 → =NC-NB=AD-1AB=b-1a, → BC → → → 2 2 →? → =CN-CM=-AD-1CD=-AD-1?-1AB?=1a-b. → → → ? MN → → 2 2 2 4
? ?

小结

用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将

基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,首先仔细 观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理,结合 平面向量基本定理解决.

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跟踪训练 2 如图,已知△ABC 中,D 为 BC → 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a, → → → → AC=b,用 a、b 表示AD、AE、AF. → =AB+BD=AB+1BC=a+1(b-a)=1a+1b; 解 AD → → → 2 → 2 2 2 → =AB+BE=AB+1BC=a+1(b-a)=2a+1b; → AE → → → 3 3 3 3 → =AB+BF=AB+2BC=a+2(b-a)=1a+2b. → AF → → → 3 3 3 3

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→ =1OA,OD=1OB,AD → → → 例 3 在△OAB 中,OC 4 2 → → 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b,以 a,b
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→ 为基底表示OM. → 解 设OM=ma+nb (m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → =OD-OA=1b-a=-a+1b AD → → 2 2 m-1 n 因为 A,M,D 三点共线,所以 = ,即 m+2n=1. -1 1 2
→ =OM-OC=?m-1?a+nb, ? 而CM → → ? 4
? ?

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→ =OB-OC=b-1a=-1a+b, CB → → 4 4
1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 1 =1,即 4m+n=1. - 本 4 1 ? 课
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?m+2n=1 ? 由? ?4m+n=1 ?

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?m=7 ,解得? ?n=3 7 ?

3 → 1 ,所以OM=7a+7b.

小结

(1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点

共线,注重方程思想的应用; (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础,应根据条 件灵活应用,熟练掌握.

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跟踪训练 3 如图所示,已知△AOB 中,点 C → → 是以 A 为中心的点 B 的对称点,OD=2DB, → → DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b.
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→ → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值.

→ =2OB, 解 (1)由题意,得 A 是 BC 的中点,且OD 3 → → → → 由平行四边形法则,得OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b,
2 5 → → → DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3

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→ → → → → (2)EC∥DC.又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, 5 → DC=2a- b, 3 2-λ 1 4 ∴ = ,∴λ= . 本 2 5 5 课 3
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练一练·当堂检测、目标达成落实处

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→ → 1.等边△ABC 中,AB与BC的夹角是________. 120°

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2.设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1+e2; 1-2e2 与 e2-2e1; 1-2e2 与 4e2-2e1; 1 ②e ③e ④e
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+e2 与 e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的 序号是________.(写出所有满足条件的序号) ①②④

解析 对于③4e2-2e1=-2e1+4e2=-2(e1-2e2),
∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,不能作为基底.

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→ → → → 3. 如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 1 3 → → a+4b a,b 表示AD,则AD=________. 4
→ =AB+BD=AB+3BC=AB+3(AC-AB) 解析 AD → → → 4 → → 4 → → 1→ 3→ 1 3 =4AB+4AC=4a+4b.

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→ → 4.已知 G 为△ABC 的重心,设AB=a,AC=b.试用 a、b 表 → 示向量AG.
解 连结 AG 并延长,交 BC 于点 D,则 D 为 BC
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的中点, → →? → =2AD=2(AB+BD)=2×?AB+1BC? ? AG 3 → 3 → → 2 ? 3 ? 2→ 1→ 2→ 1 → → =3AB+3BC=3AB+3(AC-AB)
1→ 1→ 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3

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1.对基底的理解
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(1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线的向量; ②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个 向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.

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2.准确理解平面向量基本定理
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(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解, 即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形 式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想, 用向 量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中 涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.


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