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辽宁省五校协作体联合数学竞赛


本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集为 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? , A ? ?1,3 , 4 ? , B

? ?2 , 4 , 6 ? ,则图中阴影部分表示的集合为 ( )

A. ?5 ?

B. ?4 ?

C. ?4 , 5 ?

D. ?1, 2 ,3 , 6 ? 的大小关系正确的是 ( )

2.如图,给出了偶函数 y ? f ? x ? 的局部图象,那么 f ? 1 ? 与 f ? 3 ?

A C

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wxckt@126.com

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f ?1 ? ? f ? 3 ? f ?1 ? ? f ? 3 ?

B D

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f ?1 ? ? f ? 3 ? f ?1 ? ? f ? 3 ?

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3.函数 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0 ,2 ? ,则函数 y ? f ? x ? 1 ? 的定义域是( A.

)

? 0 ,2 ?

B.

? ? 2 ,0 ?
C.

C.

1 ? ? 1, ?

D.

?1,3 ?
)

4. 点 ( x , y ) 在映射“ f ”的作用下的象是 ( x ? y , 2 x ? y ) ,则在 映射 f 作用下点 (5,1) 的原象是( A. ( 2, 3) B. ( 2,1)
?1, n ? 0 ? n ? f ( n ? 1), n ? N ?
(3, 4 )

D.

(6, 9 )

5.已知函数 f ( n ) ? ? A.720 B.120

,则 f (6) 的值是(

)

[来源:学科网]

C.24

D.6
3

6.设函数 y ? f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ? ) 时, f ( x ) ? x (1 ? ) A. ? x (1 ?
3

x)

,那么当 x ? ( ? ? , 0] 时, f ( x ) ? (

x)

B. x (1 ?

3

x)

C. ? x (1 ?

3

x)

D. x (1 ?

3

x)

7.函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域是( A. ( ? ? , ? 1] B. ( ?? ,1]
3

) C. R
2

D. [1, ?? )

8.用“二分法”求函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正实数零点,其参考数据如下:

f ?1 ? ? ? 2

f ? 1 .5 ? ? 0 .6 2 5

f ? 1 .2 5 ? ? ? 0 .9 8 4

f ? 1 .3 7 5 ? ? ? 0 .2 6 0

f ? 1 .4 3 7 5 ? ? 0 .1 6 2

f ? 1 .4 0 6 2 5 ? ? ? 0 .0 5 4

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 (
3 2

)

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4
1 2

D. 1.5
(5 ? x ) 三个值中的最小值,则函数 y (

9.对任意实数 x 规定 y 取 4 ? x , x ? 1, A.有最大值 2,最小值 1 C.有最大值 1,无最小值 10.函数 f ( x ) ?
4? x
2

)

B.有最大值 2,无最小值 D.无最大值,无最小值 ) C.坐标原点对称 ) B. f ( ? 1) ? f (0) ? f ( ? 3.5) D. f ( ? 1) ? f ( ? 3.5) ? f (0) ) D. x 轴对称

| x ? 3 | ?3

的图象关于(

A. y 轴对称

B.直线 y ? x 对称

11 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , y ? f ( x ? 2) 是 偶 函 数 , 且 f ( x ) 在 [ ? 4, ? 2 ] 上 是 增 函 数 , 则
f ( ? 3.5), f ( ? 1), f (0) 的大小关系是(

A. f ( ? 3.5) ? f ( ? 1) ? f (0) C. f (0) ? f ( ? 3.5) ? f ( ? 1) 12.函数 f ( x ) ? x ? x ?
3

a x

? 8 ( a ? R ) 在区间 [ m , n ] 上有最大值 10,则函数 f ( x ) 在区间 [ ? n , ? m ] 上有(

A. 最大值-10

B. 最小值-10

C. 最小值—26

D. 最大值-26

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

共 90 分)
个.

13.已知集合 A ? ? x , y ? , B ? ? 0,1? ,则从集合 A 到集合 B 的映射最多有 14.函数 y ?
2 x ? x 的单调递减区间是 __________________.
2

15.偶函数 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上是增函数,则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围是
3

1

____

_______.

16.下列几个命题 ①方程 x ? ( a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 .
2

②函数 y ?

x ?1 ?
2

1 ? x 是偶函数,但不是奇函数.
2

③函数 f ( x ) 的值域是 [ ? 2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [ ? 3,1] . ④ 设函数 y ? f ( x ) 定义域为 R ,则函数 y ? f (1 ? x ) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于
y 轴对称.

⑤一条曲线 y ? | 3 ? x | 和直线 y ? a
2

( a ? R ) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1.

其中正确的有 ________. (把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题:本大 题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? { x | m x ? 2 x ? 3 ? 0, m ? R } ,若 A 中 元素至多只有一个,求 m 的取值范围.
2

18. (本小题满分 12 分) 记函数 f ( x ) ?
1

[来源:Z_xx_k.Com]

x?2

的定义域为集合 A ,函数 g ( x ) ?

9? x

2

的定义域为集合 B .

(1)求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 C ? { x | x ? p ? 0} , C ? A ,求实数 p 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知集合 P ? { x | 2 ? x ? 5} , Q ? { x | k ? 1 ? x ? 2 k ? 1} ,若 P ? Q ? ? , 求实数 k 的取值范围.

[来源:学科网 ZXXK]

2 0. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)判断其奇偶性; (2)指出该函数在区间 (0,1) 上的单调性并证明; (3)利用(1)和(2)的 结论,指出该函数在 ( ? 1, 0) 上的增减性.(不用证明) 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 5 .
2

x 1? x
2



(1)若 f ( x ) 的定义域和值域均是 ?1, (2)若 f ( x ) 在区间 ? ? ? , 值范围.

a ? ,求实数 a 的值; a ? 1? ,总有 ? 4 ? f ? x ? ? 4 ,求实数 a 的取

2 ? 上是减函数,且对任意的 x ? ?1,

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足对一切 x1 , x 2 ? R 都有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 ,且 f (1) ? 0 , 当 x ? 1 时有 f ( x ) ? 0 .

(1)求 f ( ? 1) 的值; (2)判断并证明函数 f ( x ) 在 R 上的单调性;
2 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

(3)解不等式: [ f ( x ? 2 x )] ? 2 f ( x ? 2 x ? 1) ? 1 2 ? 0 .

辽宁省五校协作体联合竞赛
高一数学参考答案
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,总计 60 分,每小题只有 1 个选项是符合题目要求的) ADCAA DBCB C DC



20. 解: (1)函数的定义域为 R …………. 2 分
? f (? x) ? ?x 1 ? (? x)
2

? ?

x 1? x
2

? ? f (x)

? f ( x ) 是奇函数…………. 4 分

(2)函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数

再令 x1 ? ? 1, x 2 ? 1 ,得 即 2 ? f ( ? 1) ? 2 ,从而

f ( ? 1 ? 1) ? f ( ? 1) ? f (1) ? 2 , f ( ? 1) ? 4 .

……………………………2 分

⑵任取 x1 , x 2 ? R , x1 ? x 2 , ? x ? x 2 ? x1 ? 0

[来源:Zxxk.Com]

? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ? x ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x ) ? 2

……………………………3 分 ………………………4 分

? f ( ? x ? 1 ? ( ? 1)) ? 2 ? f ( ? x ? 1) ? f ( ? 1) ? 4 ? f ( ? x ? 1) . ? ? x ? 0,? 1 ? ? x ? 1,? f (1 ? ? x ) ? 0 ,即 ? y ? 0 . ? f ( x ) 在 R 上是减函数.

……………………………6 分


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