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关于函数与导数综合几种常见题型分析论文


关于函数与导数综合的几种常见题型分析 通过对导数综合题的复习,使学生了解高考中函数大题的一些常 规题型,使学生掌握关于导数、函数综合题的相关题型的解法,使学 生明确导数在解决函数综合题解答中的重要作用,让学生引起重 视。通过各类题型的集中讲解、训练、反复巩固,让学生增强自信 心。注重各类涉及导数题型的特点介绍,把握各种题型的常规解法, 强调导数方法的应用。在教学中,可以先做后讲,做做议议,讲练 结合,先展示每一类题型的例子部分,让学生思考,做一做,然后 教师提问,重点从方法上提问。然后,师生共同归纳出解法,展示 解答过程,反思小结出方法,让学生体会,然后出示对应的练习让 学生做,学生做后相互交流,最后教师提问和公布答案。这里主要 从导数在高考大题中涉及的题型分析,从而对综合题的解答方法得 到较为熟练的掌握,以致在高考中取得较为满意的效果。以下我们 来集中介绍几类常见的题型,以供大家分享。 题型一:利用导数求函数的单调区间和极值 例:已知函数 f(x)=x2(x-a),若 f(x)在(2,3)上单调,求实数 a 的取值范围。 解:由 f′(x)=x2-ax2 得 f′(x)=3x2-2ax=3x(x- a) 由 f′(x)=0 得 x=0 或 x= a 1、当 a=0 时,f(x)在(2,3)上为增函数。 2、当 a≥3 时,即 a≥ 时,f(x)在(2,3)上为减函数。 3、当 a≤2 时,即 a≤3 时,f(x)在(2,3)上为增函数。 综上 f(x)在(2,3)上单调时,实数 a 的取值范围是(-∞,3〕 ∪[ ,+∞) 练习: 已知函数 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,且其图象在 x=1 处 的切线与直线 6x+2y+5=0 平行,求函数的单调区间和极值。 [答案:单调递增区间为(-∞,0)(2,+∞) , ;单调递减区间为 (0,2) ,函数在 x=0 时取得极大值 c,在 x=2 时取得极小值 c-4]。 题型二:利用导数解决交点问题和求系数范围。 例:已知 x=3 是函数 f(x)=alnx+x2-10x 的一个极值点。 (1)求 a 的值。 (2) 若直线 y=b 与函数 f(x)的图象有 3 个交点, b 的取值范围。 求 解: (1)∵f′(x)= +2x-10(x>0) 由 f′(3)=0 得 a=12 (2)由(1)得:f′(x)>0 得 x>3 或 x<2 即 f(x)在(0,2)(3,+∞)上都为增函数,在(2,3)上为减 、 函数。 ∴f(x)的极大值是 f(2)=12ln2-16,f(x)的极小值为 f(3)=12ln3-21 ∴当 b∈(12ln3-21,12ln2-16)时,有 3 个交点。 练习: 若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)上为减函数, 在区间(6 ,+∞)上为增函数,试求实数 a 的数值范围。 (答案[5,7]) 题型三:利用导数证明不等式 例:设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 p(1,0) ,且在 p 点处的切线斜率为 2。 证明:f(x)≤2x-2 证明:由 f′(x)=1+2ax+ 由已知得 f(1)=0 且 f′(1)=2 ∴a=-1,b=3 ∴f(x)=x-x3+3lnx(x>0) 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx ∴g′(x)=∴当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0。 ∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。 而 g(1

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