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2.4.1抛物线及其标准方程(人教版


2.4.1抛物线及其 标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线的生活实例

投篮运动

抛物线的生活实例

飞机投弹

请同学们思考一个问题
想 一 想 ?
我们学过的哪种函数图像是抛物线? 你对它已有了哪些认识?

>
课题引入

二次函数的图象是抛物线

y

y
O
1 .

2

.

-2

.

x

O

.
1

x
y ? ?4 x 2

y ? 4 x2

问题:抛物线到底有怎样的几何特征?它还有哪些 几何性质?

提出问题 请同学们观察这样一个小实验

问题探究
当|PF|=|PC|时,点P的轨迹是什么?
P
C

点P随着C运动的过程中, 始终有|PF|=|PC| 点P生成的轨迹为如图所 示曲线.

·

·
F

l

我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义

轨迹是过点F且垂直于L 的直线

在平面内与一个定点F 和一条定直线 l (l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹 叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点 直线l 叫抛物线的准线

L经过F时轨迹 是什么呢?

C

P

·
焦 点

·
F

准线

l

问题:动点P的轨迹方程是什么,即抛物线的方程 是什么呢?

标准方程的推导
根据抛物线的几何特征,以过F且 垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K. 以线段FK的中点O为坐标原点建 立直角坐标系xOy. 设 FK ? p( p ? 0) 点 P( x, y ) 为抛物线上的任意一点 , 作 PC ? l 于点C. p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2
C

y
P(x,y)
O

K

.

F

x

l

标准方程的推导
由抛物线的定义得 因为
PF ? PC
C

y
P(x,y)
O

p 2 PF ? ( x ? ) ? y 2 2 p PC ? x ? 2

K

.

F

x

l

所以

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
2

这就是所求P点的轨迹方程.

标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方程. 其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.

p的几何意义是:

焦点到准线的距离 y
H
O

p 焦点坐标是 ( , 0) , 2
准线方程为:

M(x,y)

p x?? 2

K

.

F

x

l

开口

四种抛物线的对比
图 l y
O



标准方程

焦点坐标

准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 P的意义:抛物 p x? 2 p y?? 2 p y? 2
线的焦点到准 线的距离 方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O

F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

椭圆

抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 征(标准位置)和方程特征 (标准方程)统一起来?
想 一 想 ?

抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =+ 2px
(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:

上下 x2 =+ 2py 型 (p>0) 对称轴看一次项,

标准方程为

x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:

符号决定开口方向

x2 = -2py (y≤0)

例题讲解
例1

(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x , 求它的焦点坐标及准线方程.
3 焦点F ( ,0) 2 3 准线:x =- 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2), 求抛物线的标准方程.

x 2 =-8 y

课堂练习 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2.

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
小结

课堂练习
先化成标准式!

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 1
(1)y2 = 20x (2)x2=
2

y

(3)2y2 +5x =0

(4)x2 +8y =0

焦点坐标
(1) (2) (3) (4)

准线方程

x=-5 ( 5, 0) 1 1 y= - — (0,—) 8 8 5 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2
小结

反思研究

已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位,后定量

拓展思考
求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-3,2)代入, A 得p= 9
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-3,2)代入, 得p= 2



y

4

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

3



课堂小结
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式; 3.p的几何意义是: 焦点到准线的距离; 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口 方向.

课后思考 66页

你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图像为什 么是抛物线吗?说出开口方向、焦点坐标和准 线方程?
作业布置
(1) 必做题 (2)选做题 P73 A组1,2,3 P74 B组1

The end

椭圆的标准方程
x2 y 2 焦点在x轴: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b
F1

y

M F2

o

x

y
F2
2 2 y x 焦点在y轴: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

M

o
F1

x

四种


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