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2014年9月高中数学联赛预赛试题2


2014 年 9 月高中数学联赛预赛试题 2
一、填空题(共 8 小题,每小题 8 分,计 64 分) 1 、如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项的最小值是
2 、已知 sin ? ? cos ? ?


2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 2



>3 、将 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

这十个数排成一个数列,使得每相邻两项之和皆是质数,并且首尾两项之

和也是质数,你的填法是: (

).

4 、已知 P 是椭圆
? 1? ? O Q? ? O?P 2? ?

x2 y 2 ? ? 1 上 一 点 , F1 是 其 左 焦 点 , Q 在 PF1 上 且 满 足 25 9


?, ? O OQ ? 3 ,则点 P 到该橢圆左准线的距离为 1? F ?

5 、正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 1 ,侧棱长为 2 ,过点 A 作截面与侧棱 BD, CD 分别相交于点

E , F ,当 ?AEF 的周长最小时, ?AEF 的面积为



6 、等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若对任意的正整数 n 都有

Sn 5n ? 3 a ,则 20 = ? Tn 2n ? 1 b7
7 、已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
50



? a50 x 50 , 则a1 ? 2a2 ? 3a3 +

? 25a25 的值为



8 、 将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的 每 一 个 全 排 列 皆 看 成 一 个 八 位 数 , 则 其 中 是 11 倍 数 的 八 位 数 的 个 数
为 .

二、解答题(共 86 分,其中第 9 题 20 分,第 10、 11、12 题各 22 分)
9 、设 a, b, c 为正数,证明:

? ab ? ? ab ?? ac ? ? ac ? a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? ac ? c 2 ? 4 ? ? ?? ?? ??? ? . ? a ? b ? ? a ? b ?? a ? c ? ? a ? c ?

2

2

1

y 2 x2 10 、设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , PQ 为它们的 a b
一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF .

11 、如图, C 为半圆弧 O 的中点,点 P 为直径 BA 延长线上一点,过点 P 作半圆的切线 PD ,D 为切点, ? DPB 的平分线分别交 AC 、 BC 于点 E、F ; 证明: ?PDA ? ?CDF .

2

12 、 若 整 数 a , b 既 不 互 质 , 又 不 存 在 整 除 关 系 , 则 称 a , b 是 一 个 “ 联 盟 ” 数 对 ; 设 A 是 集

M ? ?1, 2,

, 2014 ? 的 n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,求 n 的最大值.

13 、 试 求 所 有 的 正 整 数 组 ? a, b, c, d ? , 使 得 a ? b ? c ? d , b ? c ? d ? a , c ? d ? a ? b ,
2 2 2

d 2 ? a ? b ? c 皆为平方数.

3

2014 年 9 月高中数学联赛预赛试题

参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 、如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项的最小值是 5 . 解:设数列首项为 a ,公差为 d ,则 a, d 为正整数,为使 a 最小,当使 d 最大, 而由 a ? 2014 ? 7 d ,得

a 2014 5 ? ? d ? ? 287 ? d ,所以 d ? 287, a ? 5 . 7 7 7 7 2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? . 8 2

2 、已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 ,所以 sin ? cos ? ? ? ,由此, 2 4 2 7 2 sin 4 ? ? cos 4 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2 ? sin ? cos ? ? ? . 8
解:将条件式平方得 1+2sin? cos? =

3 、将 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 这十个数排成一个数列,使得每相邻两项之和皆是质数,并且首尾两项
之和也是质数,你的填法是: (1, 2,3,8,5,6,7,10,9, 4) . (答案不唯一,例如 ?1,6,7,4,3,2,5,8,9,10? 所排成的数列也可) .

4 、已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上 一 点 , F1 是 其 左 焦 点 , Q 在 PF1 上 且 满 足 25 9
5 .

? ? 1? ? ? ? OQ ? ? OP ? OF1 ? , OQ ? 3 ,则点 P 到该椭圆左准线的距离为 2? ? ? 1? ? O Q? ? O? P 2? ? 1

解:

? O ? ? ,F ?
.

为QF1 P 中 点 , 设 椭 圆 右 焦 点 为 F2 , 连 接 PF2 , 则 设

OQ ?

1 PF2 =3 ? PF2 =6 2

? PF1 ? 4,

P







线







d





PF1

c a 2 ? b2 4 4 ?e? ? ? ,? d ? ? 5 4 d a a 5 5
5 、正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 1 ,侧棱长为 2 ,过点 A 作截面与侧棱 BD, CD 分别相交与点

E , F ,当 ?AEF 的周长最小时, ?AEF 的面积为
解:将三棱锥沿侧棱 DA 剪开,展 边形, 然后计算。 当 A, E, F , A1 共线时,

3 55 . 64
平为一个五
D F E C A F E B C A1

D

截 面 ?AEF
4

A B

周长为最小,这时等腰三角形 ?DAA1 与 ?DBC 具有相同的顶角平分线,

? ? A, E即 B ?ABE 为 等 腰 三 角 形 , 且 故 AA1 ∥ BC , 因 此 , ?A B D ? ? D B C? ? D E F

?ABE, ?A1CF , ?AEF 皆与棱锥侧面三角形相似,记 BE ? x, EF ? y ,


BE EF BC x y 1 1 3 3 ? ? ? ,则 x ? , y ? ,所以 AE ? A1 F ? 1, EF ? , ,即 ? AB DE DB 1 2? x 2 2 4 4
2

55 1 3 55 ?3? ,? S ? EF ? h ? 在 ?AEF中,h ? 1 ? ? ? ? . 8 2 64 ?8?
6 、等 差数列 ?an ? ,?bn ? 的 前 n 项和分别为 S n , Tn , 若对任 意的正整数 n 都 有

Sn 5n ? 3 ,则 ? Tn 2n ? 1

a20 64 = . b7 9
解:

?an ?,?bn ? 均 为 等 差 数 列 , 故 可 设

Sn ? kn ?5n ? 3? , Tn ? kn ? 2n ?1? , 当 n ? 2 时 ,
a20 k ? 200 ? 8? 64 ? ? . b7 k ? 28 ? 1? 9
? 25a25 的值为 50 ? 248
25 ? 25C50 .

an ? Sn ? Sn?1 ? k ?10n ? 8? , bn ? Tn ? Tn?1 ? k ? 4n ?1? , ?
7 、已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
50

? a50 x 50 , 则a1 ? 2a2 ? 3a3 +

解 :
k 50

由 展 开 式 易 知 ,

a1 ? 2a2 ? 3a3 +
k ?1 ? 50 ? C49

1 2 3 ? 25a25 ? C50 ? 2C50 ? 3C50 ?

k 49 ? 48 ? A50 kC ? k ? ? 50 ? k!

?? ? 49 ? ? k ? 1? ? 1? ?

? k ? 1?!

1 2 ?S ? C50 ? 2C50 ?

25 0 1 ? 25C50 ? 50C49 ? 50C49 ?

24 0 1 ? 50C49 ? 50(C49 ? C49 ?

24 ? C49 )

1 0 1 ? 50 ? (C49 ? C49 ? 2

1 49 ? C49 ) ? 50 ? ? 249 ? 50 ? 248 2

8 、将 1, 2,3, 4,5,6,7,8 的每一个全排列皆看成一个八位数,则其中是11 倍数的八位数的个数为 3456 .
解:对于每个这样的八位数 a1a2

a8 ,记 A ? ?a1, a3 , a5 , a7 ? , B ? ?a2 , a4 , a6 , a8? ,而 S ( A), S ( B) 表

示 其 数 字 和 , 先 设 S ( A) ? S ( B), 则 S ( A) ? S ( B)? 36 , 故 S ( A), S ( B )同 奇 偶 , 且 S ( A) ? S ( B)与

S ( A) ? S ( B) 同奇偶,因此 S ( A) ? S ( B) 为偶数,且是 11 的倍数;如果 S ( A) ? S ( B) ? 22 ,则 S ( B) ? 7 ,
这不可能(因最小四数之和不小于 10 ) ;于是 S ( A) ? S ( B) ? 0 ,即有 S ( A) ? S ( B) ? 18 ,考虑 9 所在的 组,另三数只有三种情况:

?6,2,1?,?5,3,1? 与 ?4,3,2? ,当一组数确定后,另一组数随之唯一确定.再考虑 9 在奇数数位或偶数数位
5

情况,于是得到 2 ? 3 ? 4!? 4! ? 3456 个这种八位数. 二、解答题(共 86 分,其中第 9 题 20 分,第 10、 11、12 题各 22 分)

9 、设 a, b, c 为正数,证明:

? ab ? ? ab ?? ac ? ? ac ? a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? ac ? c 2 ? 4 ? ? ?? ?? ??? ? . ? a ? b ? ? a ? b ?? a ? c ? ? a ? c ?
证:由于 (a ? b)2 ? 4ab, (a ? c)2 ? 4ac ,因此,

2

2

ab a?b ac a?c ? ? , 。 a?b 4 a?c 4
???5'
2

只要证, a 2 ? ab ? b2 ? a 2 ? ac ? c 2 ?

? a ? b ? ? ? a ? b ?? a ? c ? ? ? a ? c ?
2

,?10'

2 2 2 2 2 两边平方,即要证 (a ? ab ? b )(a ? ac ? c ) ? a ? 2ab ? 2ac ? bc ,

????15’ ????20’

再平方 ,得 (a ? bc)2 ? 0 ,此为显然.

10 、设椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 有一个共同的焦点 F , PQ 为它们的 a 2 b2

一条公切线, P 、 Q 为切点,证明: PF ? QF . 证: 设 P ? x1 , y1 ? 在抛物线上, 焦点 F ? 0, Q( x2 , y2 ) 在椭圆上, 椭圆切线方程为

? ?

p? 则抛物线切线方程为 x1 x ? p ? y ? y1 ? , ?, 2?

y2 y x2 x ? 2 ? 1 它们为同一直线, a2 b
① ???? 4'

a 2 x2 b2 y2 a 2b2 ? ? ? ? y1 y2 ? ?a 2 , x1 x2 ? 2b2 . x1 ?p py
y1 ? p p 1 2 p y2 ? p ? ? y1 ? y2 ? ? a 2 2? 2 ?4 2 x1 x2 2b 2

? k FP ? k FQ ?



???? 8'

设公切线 PQ 方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程并由 ? ? 0 ? m ? ?

pk 2 , 2

? x1 ? pk pk 2 ? ? PQ : y ? kx ? , 与抛物线切线方程比较可得 ? 1 2 y1 ? pk 2 ? ? 2
将公切线方程代入椭圆方程,并令

p2k 4 ? ?0?m ?a ?k b ? ? a 2 ? k 2b2 ? p 2 k 4 ? 4b 2 k 2 ? a 2 ? 0 , 4
2 2 2 2

两曲线有相同焦点,

6

?c ?

p p 2 ? 4b 2 ? p 2 ? 4c 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) ,代入上式解得 k 2 ? ???? 12’ 2 p2

? y1 ?

1 p 2 ? 4b2 p 2 ? 4b2 2a 2 p? ? ? , 2 p2 2p p
???? 16’

y2 ? ?

a2 2 pa 2 2 pa 2 p ?? 2 ? ? ?? 2 2 2 2 y1 p ? 4b 4a ? 4b ? 4b 2



4a 2 ? p 2 2b2 ,代入②式,得 ? y1 +y2 ? ? 2p p
1 2 p 2b 2 p ? ? ? a2 a 2 ? b2 ? b2 ? a 2 4 2 p ? ? ? ?1 2b 2 2b 2
????22'

? k FP ? k FQ

? PF ? QF .

11 、如图, C 为半圆弧 O 的中点,点 P 为直径 BA 延长线上一点,过点 P 作半圆的切线 PD ,D 为切点, ? DPB 的平分线分别交 AC 、 BC 于点 E、F ; 证明: ?PDA ? ?CDF
证:连接 OD 、 DE ,

OD ? PD, CO ? PO,

??DPB ? ?DOP ? ?DOP ? ?DOC ???? 4' ??DPB ? ?DOC ? 2?DAC ? 2?DBC ? 2?DPF .


?DAC ? ?DPE, ?DPF ? ?DBF ???? 8'

? P、A、E、D; P、B、F、D 分别四点共圆。 ??DEC ? ?DPA, ?DFC ? ?DPA,??DEC ? ?DFC
? D、E、F、C 四点共圆, ??CDF ? ?CEF ? ?PEA ? ?PDA.
???? 16' ???? 22' ????12'

12 、 若整数 a , b 既不互质, 又不存在整除关系, 则称 a , b 是一个 “联盟” 数对; 设 A 是集 M ? ?1, 2,

, 2014?

的 n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,求 n 的最大值. 解:称这种子集 A 为“联盟子集” ;首先,我们可构造一个联盟子集,其中具有 504 个元素.为此, 取 A ? 2k k ? 504,505,

?

,1007? , 以下证, 504 就是 n 的最大值.
???4’

今设 A 是元素个数最多的一个联盟子集, A ? ?a1, a2 ,

, an ? ,若 a j 是集 A 中的最小数,显然 a j ? 1 ,

如 果 a j ? 1007 , 则 得 2a j ? 2014 , 即 2a j ? M , 显 然 2a j ? A ,( 因 2a j 与 a j 有 整 除 关 系) . ????8’

今在 A 中用 2a j 替代 a j ,其它元素不变,成为子集 A? ,则 A? 仍然是联盟子集,这是由于对于 A 中异

7

于 a j 的任一元素 ai ,因 a j 与 ai 不互质,故 2a j 与 ai 也不互质;再说明 2a j 与 ai 没有整除关系:因 a j ? ai , 则 2a j ? ai ;又若 ai 2a j

,设 2a j ? kai ,

(显然 k ? 1, 2 ,否则 ai , a j 有整除关系) ,则 k ? 2 ,于是 ai ? a j ,这与 a j 的最小性矛盾! ????16’因此 A? 仍然是联 盟子集,并且仍是 n 元集;重复以上做法,直至子集中的元素皆大于 1007 为止,于是得到 n 元联盟子集

B ? ?b1, b2 ,

, bn ? ,其中 1007 ? bj ? 2014 .
因任两个相邻整数必互质, 故在这 1007 个连续正整数中至多能取到 504 个 ,2014? , ????22’
2 2 2

即 B ? ?1008,1009,

互不相邻的数,即 n ? 504 . 又据前面所述的构造可知, n 的最大值即为 504 .
2

13、 试求所有的正整数组 ? a, b, c, d ? , 使得 a ? b ? c ? d ,b ? c ? d ? a ,c ? d ? a ? b ,d ? a ? b ? c 皆为平方数.

?a 2 ? b ? c ? d ? ? a ? x ?2 ?b ? c ? d ? x 2 ? 2ax ? 2 ? 2 2 ? ?b ? c ? d ? a ? ? b ? y ? ?c ? d ? a ? y ? 2by * 解:设 ? , ,则 x , y , z , t ? N ? 2 2 2 ?c ? d ? a ? b ? ? c ? z ? ?d ? a ? b ? z ? 2cz ? 2 ?a ? b ? c ? t 2 ? 2dt 2 ? ? ?d ? a ? b ? c ? ? d ? t ?
相加得, a ? 2x ? 3? ? b ? 2 y ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? d ? 2t ? 3? ? x ? y ? z ? t ? 0
2 2 2 2

? ①

?②

由②知, 2 x ? 3, 2 y ? 3, 2 z ? 3, 2t ? 3 中必有一个为负值,据对称性,不妨设,

2t ? 3 ? 0 ,则 t ? 1 ,于是②化为

d ? a ? 2x ? 3? ? b ? 2 y ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? x2 ? y2 ? z 2 ?1 ??③
下面按 a, b, c, d 的情况讨论: 先说明, a, b, c, d 四数至少有两个相等.若 a, b, c, d 互异,则 x, y, z, t 也互异. 事实上,回到①和②, (这时 a, b, c, d 及 x, y, z, t 仍为对称) ,不妨设 x ? y , 则由①的前三式相减得 b ? a ? 2 ? a ? b? x ? 2 ? a ? b ? y , 由 a , b 互异得 x ? y ? 互异,于是由 t ? 1 得, x, y, z ? 2 ;再由①的第四式得

1 , 矛盾! 因此 x, y, z, t 2

d?

1 ? a ? b ? c ? 1? ,而由③式, d ? a ? b ? c ? 1,矛盾! 2

因此, a, b, c, d 四数中至少有两个相等(即它们至多取三个不同的值) ,以下仍考虑 t ? 1 时的情况;

? A? 、当 a, b, c, d 四数只取三个值;
8

假若在 a, b, c 中有两个相等,设 a ? b ,由①得, x ? y , 由①的第四式, 2a ? c ? 1 ? 2d ,所以 d ?

1 ? 2a ? c ? 1? , 2

而由③, d ? 2a ? 2x ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? 2x2 ? z 2 ?1 ? 2a ? c ?1,矛盾! 所以 a ? b ,据 a, b, c 的对称性知, a, b, c 两两不等; 若 a ? d ,则 x ? t ? 1 ,由①的第一式或四式得, a ? b ? c ? 1 ? 2a ,于是, a ? b ? c ? 1 ?? ④,则 由③得, d ? ?a ? b ? 2 y ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? y2 ? z 2 ? 2 ,注意 a ? d ? 2a ? 2d 有 2a ? 2d ? b ? 2 y ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? y ? z ? 2
2 2

即 2 ?b ? c ?1? ? b ? 2 y ? 3? ? c ? 2z ? 3? ? y ? z ? 2
2 2

所以 b ? 2 y ? 5? ? c ? 2z ? 5? ? y ? z ? 4 ? 0
2 2

?? ⑤

据此知, 2 y ? 5, 2 z ? 5 中必有一个为负数,设 2 z ? 5 ? 0 ,因 z 为正整数且异于 t , 得 z ? 2 ,故①中第三式成为 2a ? b ? 4 ? 4c ??⑥,由④、⑥,

c?

3 b ? 3 ??⑦,因此⑤化为, b ? 4 y ?13? ? 2 y2 ? 22 ? 0 ??⑧, 2

则 4 y ? 13 ? 0 ,因 y 为正整数且异于 t , z ,所以 y ? 3 . 现将 x ? t ? 1, z ? 2, y ? 3, a ? d 代入①得,

? a ? b ? c ? 1 ? 2a ? ?2a ? c ? 9 ? 6b ?2a ? b ? 4 ? 4c ?

解得 a ? d ? 96, b ? 40, c ? 57 ,即 ? a, b, c, d ? ? ?96,40,57,96? ;

? B ? 、当 a, b, c, d 四数只取两个值;

?1 ? 、当 a, b, c, d 四数中有两对相等,设 a ? b, c ? d ,则 x ? y, z ? t ? 1 ,
0

由①中第四式, c ? 2a ? 1 ??⑨,由②得, 2a ? 2x ? 3? ? 2c ? 2t ? 3? ? 2x ? 2 ? 0 ,
2

即 c ? a ? 2x ? 3? ? x ? 1 ??⑩,由⑨、⑩得, a ? 2x ? 5? ? x ? 2 ? 0 ,故 2 x ? 5 ? 0 ,
2 2

而 x ? 1 ,所以 x ? 2 ,得 a ? 6, c ? 11 ,于是, ? a, b, c, d ? ? ? 6,6,11,11?

? 2 ? 、当 a, b, c, d 四数中有三数相等;
0

若 a ? b ? c ,则 x ? y ? z, t ? 1 ,①式中第四式成为 3a ? 1 ? 2d ,第一式成为

9

2a ? d ? x 2 ? 2ax ,消去 d 得, a ? 7 ? 4x ? ? 2x2 ? 1 ,故 7 ? 4 x ? 0 ,得 x ? 1 ,所以

a ? 1, d ? 1,这时 ? a, b, c, d ? ? ?1,1,1,1? ;
若 b ? c ? d ,则 y ? z ? t ? 1 ,由①, 3b ? x2 ? 2ax, a ? 2b ? 1 ? 2b ,得 a ? 1 ,

3b ? x ? x ? 2? ;
若 x ? 3n ,则 b ? c ? d ? n ? 3n ? 2? , ? a, b, c, d ? ? 1, n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2? ; 若 x ? 2 ? 3n ,则 b ? c ? d ? n ? 3n ? 2? ,

?

?

? a, b, c, d ? ? ?1, n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2?? , n ? N *
故本题的所有解为 ? a, b, c, d ? ? ?1,1,1,1? , ? 6,6,11,11? , ?96,40,57,96? ,

?1, n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2?? ,?1, n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2? , n ?3n ? 2?? 五种情况,其中,a, b, c, d
四数位置可以任意轮换.

10


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