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天津市十二区县重点学校2015届高三毕业班联考(一)数学(文)试题


2015 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(一) 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其它答案, 不能答在试卷上。 参考公式:
? 锥体的体积公式 V

1 ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的) 1. i 为虚数单位,复数 A. i ? 2

2?i = ( 1? i
B. 2 ? i

) C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2
)

?x ? y ?1 ? 0 ? 2.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ( ?y ? 2 ? 0 ?
A. ? 4 B. ? 2 C. 0 ) C. 60 D. 70 ) D. 2 3.阅读右面的程序的框图,则输出 S =( A. 30 B. 50

开始

S ? 0, i ? 1
S ? S ? 2i

4.设 a ? log 4 3, b ? log 0.4 3, c ? ( ) 则 a, b, c 的大小关系是(
2

1 2

A. b ? a ? c C. c ? a ? b 5.下列四个命题

B. a ? b ? c D. a ? c ? b

i ?i?2
i?9 i ? 10 否
2



①已知命题 P : ?x ? R, x ? x ? 0 ,则 ? P : ?x ? R, x ? x ? 0 ;
2

输出S 结束

?1? ② y ? x ? ? ? 的零点所在的区间是 (1,2) ; ?2? 2 2 ③若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为 2 2 ;
2

x

④设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? ? , b ? ? , ? // ? 是 a ? b 的充分条件; 其中真命题的个数为( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

6. 将 y ? sin( x ?

?
3

) 的图像上 各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图像上所有点向左平移
) C. x ?

? 个 6

单位,则所得函数图像的一条对称轴为( A. x ? ?

?
12
2 2

B. x ? ?

?
6

?
6

D. x ?

?
2

7.已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 有相同的焦点,且双曲线的一条渐近线与抛 2 a b 15 物线的准线交于点 (?5,? ) ,则双曲线的离心率为( ) 4 5 5 4 5 A. B. C. D. 3 4 3 2

8.定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ?2 ,当 x ? ?0,2? 时,

?x 2 ? x , ? f ( x) ? ? 1 , ? ?x
A. ?1,2?

x ? ?0,1? x ? ?1,2?

t ? , 若 x ? ?0,4?时,
2

7t ? f ( x) ? 3 ? t 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 ( 2



B. ?1, ? ? 2?

? 5?

C. ?2, ? 2

? 5? ? ?

D. ?2,???

第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 已知集合 M ? x | x ? 2 , N ? ?? 3,?2,?1,0,1?,则 M ? N ? 10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
[来源:Z*xx*k.Com]

?

?





1 2 正视图 1 2 侧视图

A

O

?
E

D

P

C
俯视图

B

(第 10 题图)

(第 13 题图) .

11. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a4 是 a2 , a8 的等比中项,则数列 ?an ? 的前 5 项和为 S 5 ?

12. 已 知 直 线 y ? kx ? 3 与 圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 5 ? 0 相 交 于 M , N 两 点 , 若 MN ? 2 3 , 则 k 的 值 是 .

13. 如图 ?ABC 是圆 O 的内接三角形, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PB 交 AC 于点 E ,交圆 O 于点 D ,若

PE ? PA , ?ABC ? 450 ,且 PD ? 2 , BD ? 6 ,则 AC ?
14. 已知平行四边形 ABCD 中,?A ? 45 , AD ?
0



2 , AB ? 2 , F 为 BC 边上一点,且 BF ? 2FC ,若 AF

与 BD 交于点 E ,则 AF ? EC ?



三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 某学校的三个学生社团人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团) : 围棋社 男生 女生 5 15 舞蹈社 10
[来源:Z。xx。k.Com]

相声社 28

30

m

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人,结果相 声社被 抽出了 6 人. (Ⅰ)求相声社女生有多少人; (Ⅱ)已知三个社团各有社长两名,且均为一名男生一名女生,现从 6 名社长中随机选出 2 名(每人被选到的可 能性相同). ①用恰当字母列举出所有可能的结果; ②设 M 为事件“选出的 2 人来自不同社团且恰有 1 名男社长和 1 名女社长” ,求事件 M 发生的概率.

16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , sin A ? (Ⅰ)求 b, c 的值; (Ⅱ)求 cos( 2 A ?

5 5 , cosC ? ? ,a ? 5. 5 5

?
3

) 的值.

17.(本小题满分 13 分) 如图,三 棱 柱 ABC ? A 1 A ? 平面 ABC , AC ? BC , AB ? 2 A 1 A ? 4 .以 AB , BC 为邻边作 1B 1C1 中, A 平行四边形 ABCD ,连接 A1 D 和 DC1 . (Ⅰ)求证: A1 D ∥平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)若二面角 A1 ? DC ? A 为 45 ,
o

A1 C1
A

B1

B

① 证 明 : 平 面 AC 1 AD ; 1 1D ? 平 面 A

D

C

② 求 直 线 A1 A 与 平 面 A1C1 D 所 成 角 的 正 切 值 .
[来源:Zxxk.Com]

18.(本小题满分 13 分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 4an ? 3S n ? 8 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1)
n ?1

4(n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . log2 an log2 an?1

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A1 , 右焦点为 F2 , 过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N a2 b2
1 . 2 5 ,求椭圆方程. 7

两点,直线 A1 M 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若 ?A1 MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆相交所得弦长为

y

M

A1

O

F2
N

x

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x ( x ? 0 ,其中 a 为实数). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x ) 在区间 ?1, e? 上的最小值为 ?2 ,求 a 的取值范围; (III)若 g ( x) ? f ( x) ? ax ? (a ? 2) x 时,令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,
2

给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,存在实数 m 满足:

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式
| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2015 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(一) 数学试卷(文科) 评分标准 一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A C C B 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?? 2,?1,0,1?; 10.

1 62 2 ? ; 11 .30; 12. ? 2或 ; 13. 5 2 ; 14. 2 15 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人,相声社被抽出了 6 人

?

6 18 ? 28 ? m 20 ? 40 ? 28 ? m

------------3 分 ------------4 分

?m?2
(Ⅱ)设 3 个社团的男社长依次为 a, b, c ,3 个社团的女社长依次为 A, B, C

-----------5 分 从 6 名社长中随机选出 2 名所有可能结果为:

?a, A? , ?a, B? , ?a, C?, ?b, A?, ?b, B?, ?b, C? , ?c, A?, ?c, B?, ?c, C? ?A, B?, ?A, C? , ?B, C?, ?a, b? , ?a, c?, ?b, c? 共 15 种
M 所含基本事件为: ?a, B?,?a, C?,?b, A?,?b, C?,?c, A?,?c, B? 共 6 种,
------------9 分 ----------11 分 ------------13 分

P(M ) ?
16.

6 2 ? 15 5

(Ⅰ)解:在 ?ABC 中, cosC ? ?

5 2 5 2 , sin C ? 1 ? cos C ? 5 5
------------2 分

c a a ? ? 2a ? 2 5 根据 ,得 c ? sin C sin C sin A sin A
根据 c ? a ? b ? 2ab cosC ,以及 a ?
2 2 2

------------4 分

5 , c ? 2 5 可得
------------6 分

b 2 ? 2b ? 15 ? 0 ,解得 b ? 3, b ? ?5 (舍)
(Ⅱ)由于 cosC ? ?

5 ? 0 ,知 A 为锐角。 5 2 5 5

------------7 分

所以 cos A ? 1 ? sin A ?
2

------------8 分

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

4 , 5

------------9 分 ------------10 分

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ?

cos( 2 A ?

?
3

3 5

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

------------11 分

?

3?4 3 10

------------13 分

17、 (Ⅰ)证明:连结 B1C , Q 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中? A 1B 1 //AB 且 A 1B 1 ? AB , 由平行四边形 ABCD 得 CD //AB 且 CD ? AB ,? A 1B 1 //CD 且 A 1B 1 ? CD

? 四边形 A1B1CD 为平行四边形, A1D//B1C
Q B1C ? 平 面BCC1B1 , A1D ? 平面BCC1 B1

------------1 分 ------------ 2 分 ------------3 分

? A1D// 平面 BCC1B1

(Ⅱ)① 取 CD 的中点 O,连接 AO, AO 1 ,在平行四边形 ABCD 中 BC ? AD ,又 AC ? BC , 所以 AD ? AC O 是 CD 中点,所以 AO ? CD ⑴

Q AA1 ? 平面 ABC , AC, AD ? 平面 ABC
? AA1 ? AD, AA1 ? AC ,又 AD ? AC
所以? A1D ? AC 1 , O 是 CD 中点, 所以 A1O ? CD ⑵

A1
C1
M
A

B1

B

D

O

C

由⑴,⑵可知 ?A1OA 是二面角 A ? DC ? A1 的平面角,即 ?AOA ? 45? , ------------5 分 1 所以在 Rt?A1 AO 中 AO ? A1 A ? 2 ,平行四边形 ABCD 中 AB ? CD ? 4 所以在等腰三角形 ADC 中 AO ?

1 DC ,所以 DA ? AC 2

------------6 分

Q AA1 ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC
又 A1 A ? AC , 所以 AC ? 平面 A1 AD 三棱柱三 棱 柱 ABC? A 1C1 1 B 1 C 1中 AC // A

A1 A ? DA ? A

------------7 分

? AC 1 AD 1 1 ? 平面A Q AC 1 1 ? 平面 AC 1 1 D , ? 平 面 AC 1 1 D ? 平 面 AA 1 D
② 过 A 作 AM ? A 1D 于 M, 平 面 AC 1 1 D ? 平 面 AA 1 D, 又平面 A1C1 D ? 平面 A1 AD ? A1D ,

------------8 分 ------------9 分 ------------10 分

[来源:学+科+网]

? AM ? 平面 AC 1 1D ,

------------11 分

? A1M 是 AA1 在平面 AC 1 1 D 上的射影, ?AA 1M 是 AA 1 与平面 AC 1 1 D 所成角,-----12 分
在 Rt?A1 AD 中, AA 1M ?? 1 ? 2, AD ? 2 2 ,? tan ?AA 18、解: (Ⅰ)由 4an ? 3S n ? 8 ,得 4a1 ? 3a1 ? 8 ,解得 a1 ? 8 . 由 4an ? 3S n ? 8 ??①, 当 n ? 2 时, 有 4an?1 ? 3S n?1 ? 8 ??②, ------------2 分 ------------3 分 ------------4 分 ------------5 分 ------------6 分 ------------7 分 ------------8 分 ------------1 分

AD ? 2 AA1

-----13 分

? 数列 ?an ? 是(首项 a1 ? 8 ,公比 q ? 4 的)等比数列

①-②得: an ? 4an?1 ,

an ? a1q n?1 ? 8 ? 4 n?1 ? 2 2n?1 , (Ⅱ)由(1) log2 an ? 2n ? 1 知. 4(n ? 1) ( 4 (n ? 1)) bn ? (?1)n ?1 ? (?1)n ?1 log2 an log2 an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3)
1 ? ? 1 bn ? (?1)n ?1 ? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) 当 n 为偶数时, Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3
所以

------------9 分

------------10 分

1 1 ? ? 3 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) 当 n 为奇数时, Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 ? ? 3 2n ? 3

------------11 分

------------12 分

1 ?1 ? ,n为奇数 ? ? 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? ? 1 ? 1 , n为偶数 ? 3 2n ? 3 ?

------------13 分

b2 ) -------------1 分 a b2 a ?1 因为 A1 (?a,0) ,所以 -------------2 分 a?c 2 a?c 1 2 2 2 ? 1 ? e ? (或 a ? 2c )----------3 分 将 b ? a ? c 代入上式并整理得 a 2 1 所以 e ? ------------4 分 2 x2 y2 (Ⅱ)由(1)得 a ? 2c , b ? 3c (或 2 ? 2 ? 1 ) ------------5 分 4c 3c 3c 所以 A1 (?2c,0) M (c, ) ,外接圆圆心设为 P( x0 ,0) 2 3c 2 由 PA ------------6 分 ( x0 ? c) 2 ? ( ) 2 1 ? PM ,得 ( x0 ? 2c) ? 2 c 解得: x 0 ? ? ------------7 分 8 3c 4 所以 k PM ? 2 ? ------------8 分 c 3 c? 8 3 所以 ?A1 MN 外接圆在 M 处切线斜率为 ? ,设该切线与椭圆另一交点为 C 4 3c 3 3 9c ? ? ( x ? c) ,即 y ? ? x ? 则切线 MC 方程为 y ? ------------9 分 2 4 4 4 2 2 2 2 2 与椭圆方程 3x ? 4 y ? 12c 联立得 7 x ? 18cx ? 11c ? 0 ------------10 分 11c 解得 x1 ? c, x2 ? -------- ----11 分 7
19、 (Ⅰ)解:(1)由题意 M (c, 由弦长公式

11c 5 ? 3? MC ? 1 ? k x1 ? x 2 得 1 ? ? ? ? | c ? |? 7 7 ? 4? 解得 c ? 1 x2 y2 ? ?1 所以椭圆方程为 4 3
2

2

------------12 分 ------------13 分 ------------14 分

20.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?
2 '

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2.

1 . x

------------1 分 ------------2 分 ------------3 分

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ( x ? 0) (Ⅱ) f '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? ---------4 分 x x x 1 1 因为 a ? 0 ,故令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? . ------------5 分 2 a
(1)当 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ,适合题意; (2) 当1 ?

------------6 分

1 1 1 ? e 时,在 [1, ] 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,在 [ , e] 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 所以 f ( x) a a a 1 的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; ------------8 分 a 1 (3)当 ? e 时, f ( x) 在(1,e)上单调递减, ------------9 分 a 所以, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意 综上可知, a 的取值范围是 [1, ??) . ------------10 分
(Ⅲ) F ( x) ? g ( x) ? g ?( x) ? ln x ? 1 , F '( x) ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 0 得x ? 1 2 2 所以 F ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递增

x

x

x

x

? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x)
①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

------------11 分

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 ) ∴ 由 f ( x) 的单调性知 从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符.
[来源:学科网 ZXXK]

------------12 分

------------13 分

∴综合①、②、③得 m ? (0,1)

------------14 分


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