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复数的几何意义


《复数的几何意义》教学设计
教学 目标 教学 重点 教学 难点 教学 方法 媒体 运用 1、知识目标:理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数; 2、能力目标:渗透转化、数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题的能力。 3、情感目标:引导学生观察现象,发现问题,提出观点,验证结论,培养良好的学习思维品质。 复数的几何意义 复数与向量的关系;复数模的几何意义。 问题启发 计算机辅助教学 1、微观与宏观:每一节数学课,一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务;另 一方面,作为整个数学学科教学的一个有机组成部分,同时也肩负着培养学生数学思想,形成数 学观,整体认识数学学科等的宏观教学任务。 2、探索与指导:人类对客观世界的认识离不开探索,但所有知识都通过探索去获得是没有 必要的。 也是不可能的。 本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动, 使整个教学更有序。 、更有效。 3、兴趣与毅力:兴趣是学习良好的开端,毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排 一些有趣、直观、易于理解的内容,另一方面也需要有一定难度的思维训练,因为数学学习不可 能是一件十分轻松的事情。 教学进程 一、问题情景 问题 1:对于复数 a+bi 和 c+di(a,b,c,d ∈R),你认为满足什么条 件时,这两个复数相等? (a=c 且 b=d,即实部与虚部分别相等时,这两个复数相 等。 ) 问题 2:若把 a,b 看成有序实数对(a,b) ,则(a,b)与复数 a+bi 是怎样的对应关系?有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是怎 样的对应关系?(一一对应关系) 教 学 过 程 实数可以用数轴上的点来表示 实数 一一对应 点 (几何模型) 实数轴上的 设计意图 回忆旧知,吸引学 生的注意力;揭示确定 一个复数的条件,为新 课的传授作必要的铺 垫。

设 计 说 明





以学生熟悉的知识 为载体,采用类比的方 法,引导学生对比、思 考、愤悱,调动他们的 积极性和主动性,活跃 课堂气氛,拓展思维宽 度,从而使新课更加顺 理成章的展开。

问题 3:类比实数的性质,你能否找到用来表示复数的几何模型? 还能得出复数其他的一些性质吗? (学生猜测,讨论,形成一些共识) 二、建构数学

1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示 虚数。

y b
y

Z=a+bi Z(a,b)

o
y

a
y

x
y

2、复数的几何意义 复数 a+bi,即点 Z(a,b) (复数的几何形式) 、即向量 OZ (复数的 向量形式。以 O 为始点的向量,规定:相等的向量表示同一个复数。 ) 三者的关系如下: 复数

面向全体学生(属 基本题型) ,巩固概念, 体会数形结合思想,重 视一题多变,较全面地 理解复数、复平面内的 点、始点为原点的向量 三者的关系。

z ? a ? bi

复平面 内的点 Z(a,b)

平面向量

OZ

[巩固练习] (1) 、在复平面内,分别用点和向量表示下列复数: 4,2+i,-1+3i,3-2i,-i (2) 、 “a=0”是“复数 a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的( ) 。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3、复数的模(或绝对值) 向量 OZ 的模叫做复数 Z=a+bi 的模 (或绝对值) , 记作 Z 或 a ? bi 。

Z = a ? bi = a 2 ? b 2
4、共轭复数 两个复数实部相等,虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复 数。记 z 注意:1)的共轭复数是自己本身;

2)两个共轭复数的点关于实轴对称。 [巩固练习] 通过知识的分层 练习,使学生明确复数 (1) 、已知复数 Z1 =3+4i, Z 2 =-1+5i,试比较它们模的大小。 的模(或绝对值) ,即 (2) 、若复数 Z=3a-4ai(a<0),则其模长为 。 点 Z 到复平面原点的距 拓展与延伸: 离,会求复数的模。 (3)满足|z|=5(z∈R)的 z 值有几个?满足|z|=5(z∈C)的 z 值有 ( 3 ) ( 4 )中利用计算 几个?这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形?其轨迹方程是 机动画,体会数形结合 什么? 思想,加深数与形的相 互转化。 (4)设 Z∈C,满足 2< Z ? 3 的点 Z 的集合是什么图形?(结果动 画演示)

三、数学应用 例1 已知复数 z= (m 2 ? m ? 6) ? (m 2 ? m ? 2)i 在复平面内所对 例 1 训练学生对复 数几何意义的运用,渗 透数形转化思想,培养 学生严谨的思维品质, 有利于学生对复数几 何意义的理解。

应的点位于第二象限,求实数 m 允许的取值范围。 变式:证明对一切实数 m,此复数 z 所对应的点不可能位于第四象 限 (解不等式组;解不等式组无解) 相互转化 表示复数的点所在象限的问题 数的实部与虚部 所满足的不等式 组的问题 (代数问题) 数学思想:数形结合、转化思想

(几何问题)

(备用题: ) 已知,复数 Z1 =3+4i,复数 Z 满足 Z ? Z1 ? 2 ,求 Z 的最值。 (代数方法;几何方法)

四、回顾反思 1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。 2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。 3 体会数形结合思想,加强复数与其它数学内容的联系。 五、作业(略)



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