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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:8-7 Word版含解析


课时作业(五十四)
一、选择题 x2 1. (2013· 郑州第三次质量预测)抛物线 y =12x 的准线与双曲线 4
2

y2 -12=1 的两条渐近线围成的三角形的面积为( A.6 C.9
2

)

B.6 3 D.9 3

x2 y2 解析:抛物线 y =12x

的准线方程为 x=-3,双曲线 4 -12=1 的两条渐近线方程为 y=± 3x, 故所围成的三角形面积为 S=3· 3×3 =9 3. 答案:D 2.(2013· 北京东城综合练习(二))过抛物线 y2=4x 焦点的直线交 抛物线于 A, B 两点, 若|AB|=10, 则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析: 由抛物线的定义知点 A 与点 B 到 y2=4x 的距离之和为 10, 故 AB 中点到准线的距离为 5, 因准线方程为 x=-1, 故 AB 中点到 y 轴的距离为 4. 答案:D 3.(2013· 北京西城区高三二模)已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准 线的距离是( 3 A. 4 ) 3 B. 2

C. 3

D.2 3

解析:由已知可以 AD 为 x 轴,AD 中垂线为 y 轴建立平面直角 坐标系,易得 C(1,- 3),D(2,0),设抛物线方程为 x2=ay+b,代 3 入解得 x2= 3y+4,故焦点到准线的距离为 2 . 答案:B 4.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这 样的直线有( A.1 条 C.3 条 ) B.2 条 D.4 条

解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x= 0,过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直 线(非直线 x=0),选 C. 答案:C 5.(2013· 福建质检)设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 抛物线上一点,PA⊥l,垂足为 A,如果△APF 为正三角形,那么|PF| 等于( ) B.6 3 D.12

A.4 3 C.6 解析:

∵PA⊥l,△APF 为等边三角形,∴∠FAB=30° 在 Rt△ABF 中,∵|BF|=3, ∴|AF|=6,∴|PF|=6 答案:C 6.(2014· 广州中山一中七校联考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直 线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的 面积为( )

2 3 2 A. 2 B. 2 C. 2 D.2 2 解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3 及抛物线定义可得, 2 2-0 x1+1=3, ∴x1=2.∴A 点坐标为(2,2 2), 则直线 AB 的斜率 k= 2-1 =2 2.∴直线 AB 的方程为 y=2 2(x-1),即为 2 2x-y-2 2=0,
?y =4x, 2 2 ? 则点 O 到该直线的距离为 d= 3 .由? 消去 y 得, 2x2 ? ?y=2 2?x-1?,
2

1 3 3 9 -5x+2=0,解得 x1=2,x2=2.∴|BF|=x2+1=2,∴|AB|=3+2=2. 1 1 9 2 2 3 2 ∴S△AOB=2|AB|· d=2×2× 3 = 2 . 答案:C

二、填空题 7.(2013· 陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴 正半轴,有且只有一条直线 l 过焦点与抛物线相交于 A,B 两点,且 |AB|=1,则抛物线方程为________. 解析:由抛物线图象可知这样的直线只能是通径,∴|AB|=1,即 2p=1,∴y2=x. 答案:y2=x

8.(2013· 汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米, 水位下降 2 米后, 水面宽________ 米. 解析:建系如右图,设抛物线方程为 x2=2py,过(2,-2)点得 p =-1,

∴x2=-2y,水面下降 2 米得 y=-4, 解得 x=± 2 2,∴水面宽 4 2.

答案:4 2 9. (2013· 黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为 y2=4x, 直线 l 的方程为 x-y+5=0, 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________.

解析:依题意,抛物线的焦点 F(1,0),过点 P 作 PN⊥l,垂足为 N,过点 P 作准线 x=-1 的垂线,垂足为 M,交 y 轴于点 E,则 d1 +d2=|PN|+|PE|=|PN|+|PM|-1=|PN|+|PF|-1≥|FN|-1, 当且仅当 F,P,N 三点共线时等号成立.由于点 F 到直线 l 的距离为 3 2,所 以 d1+d2 的最小值为 3 2-1. 答案:3 2-1 10. (2012· 重庆卷)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, 25 B 两点,若|AB|=12,|AF|<|BF|,则|AF|=________.
?1 ? 解析:F 点坐标为?2,0?,设 A,B 两点的横坐标为 x1,x2. ? ?

因|AF|<|BF|,故直线 AB 不垂直于 x 轴. 1? ? 设直线 AB 为 y=k?x-2?,联立直线与抛物线的方程得 k2x2-(k2
? ?

k2 +2)x+ 4 =0,①

k2+2 则 x1+x2= k2 , 25 又|AB|=x1+x2+1=12,可解得 k2=24,代入①式得 12x2-13x 1 +3=0,即(3x-1)(4x-3)=0.而|AF|<|BF|,所以 x1=3, 1 5 由抛物线的定义得|AF|=x1+2=6. 5 答案:6 三、解答题 11.已知抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点 在原点, 斜边长为 2 13, 一直角边的方程是 y=2x, 求抛物线的方程. 解:因为一直角边的方程是 y=2x, 1 所以另一直角边的方程是 y=-2x.

?x= ?y=2x ? 由? 2 ,解得? 2 ?y =2px ? ?y=p ?y=-1x 2 由? ?y2=2px

p

?x=0 ? ,或? (舍去), ?y=0 ?

? ? ?x=8p ?x=0 ? ,解得 ,或? (舍去), ? ? ?y=-4p ?y=0

?p ? ∴三角形的另两个顶点为?2,p?和(8p,-4p). ? ?



?p ? ? -8p?2+?p+4p?2=2 13. ?2 ?

4 8 解得 p=5,故所求抛物线的方程为 y2=5x. 12.已知抛物线方程 x2=4y,过点 P(t,-4)作抛物线的两条切 线 PA、PB,切点分别为 A、B.

(1)求证:直线 AB 过定点(0,4); (2)求△OAB(O 为坐标原点)面积的最小值. 解:(1)证明:设切点为 A(x1,y1)、B(x2,y2). 1 又 y′=2x, 1 1 则切线 PA 的方程为 y-y1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-y1, 1 1 切线 PB 的方程为 y-y2=2x2(x-x2),即 y=2x2x-y2, 由点 P(t,-4)是切线 PA,PB 的交点可知: 1 1 -4=2x1t-y1,-4=2x2t-y2, 1 1 ∴过 A、B 两点的直线方程为-4=2tx-y,即2tx-y+4=0. 1 ∴直线 AB:2tx-y+4=0 过定点(0,4).

?1tx-y+4=0 (2)由?2 ?x2=4y
1 S△OAB=2×4×|x1-x2| =2 ?x1+x2?2-4x1x2 =2 4t2+64≥16.

得 x2-2tx-16=0.

则 x1+x2=2t,x1x2=-16.

当且仅当 t=0 时,△OAB 的面积取得最小值 16. [热点预测] 13.(2013· 石家庄质检(二))已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2: p x=-2;若拋物线 C:y2=2px(p>0)上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离

之和的最小值为 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若以拋物线上任意一点 M 为切点的直线 l 与直线 l2 交于点 N, 试问在 x 轴上是否存在定点 Q, 使 Q 点在以 MN 为直径的圆上, 若存 在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由.
?p ? 解:(1)由定义知 l2 为抛物线的准线,抛物线焦点坐标 F?2,0? ? ?

由抛物线定义知抛物线上点到直线 l2 的距离等于其到焦点 F 的 距离. 所以抛物线上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为焦 点 F 到直线 l1 的距离. 所以 2= |2p+6| 2 5 ,则 p=2,所以抛物线方程为 y =4x.

(2)设 M(x0,y0),由题意知直线 l 斜率存在,设为 k,且 k≠0,所 以直线 l 方程为 y-y0=k(x-x0), 代入 y2=4x 消 x 得:ky2-4y+4y0-ky2 0=0. 2 2 由 Δ=16-4k(4y0-ky0 )=0,得 k=y .
0

2 所以直线 l 方程为 y-y0=y (x-x0),
0

令 x=-1,又由

y2 0=4x0 得

? y2 0-4? ? N?-1, 2 y0 ? ?

→ → ? y2 0-4? ? 设 Q(x1,0),则QM=(x0-x1,y0),QN=?-1-x1, 2 y0 ? ? → → 由题意知QM· QN=0,
2 y0 -4 即(x0-x1)(-1-x1)+ 2 =0, 把 y2 得: (1-x1)x0 0=4x0 代入左式, 2 +x1 +x1-2=0,

因为对任意的 x0 等式恒成立,
? ?1-x1=0, 所以? 2 ?x1+x1-2=0. ?

所以 x1=1 即在 x 轴上存在定点 Q(1,0)在以 MN 为直径的圆上.


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