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等差数列和等比数列的复习


等差数列和等比数列的复习 一、知识要点 1.等差数列和等比数列是两种最基本,最常见的数列. 应熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式,通过通项公式与前 n 项和公式联 系着五个基本量 a1,d(或 q),n, an, Sn,“已知其三必可求其余二”,将等差、等比数列问题,转化 为关于这五个基本量的运算问题,是常见的解题方法. 2.等差、等比数列具有很多特殊性质,

在运算时,除转化为基本量,运用方程思想 解决之外, 还常通过灵活运用性质,从而简化运算,常用性质如下: ①考察数列的项的下标之间的联系:

等差 m,n 属于 N,则 an=am+(n-m)d m,n,p,q 属于 N,m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
②数列的运算: 若{an}, {bn}为等差数列,则{an± bn}为等差数列

等比 m,n 属于 N,则 an=am·q
n-m

m,n,p,q 属于 N,m+n=p+q,则 am·an=ap·aq

若{an}, {bn}为等比数列,则{an,bn}, {

}(bn≠0)为等比数列

若{an}为正项等比数列,则{lgan}为等差数列 若{an}为等差数列,则{ }(C 为正常数)为等比数列等.

还可以运用等差,等比数列的定义,证明通过其他运算所产生的新数列具有等差或等比的特征, 我们应对此加以关注,从而了解新数列的特殊性,运用等差,等比性质解题. ③等差或等比的子数列所具有的性质:

等差 若 m,n,p 成等差,则 am,an,ap 成等差

等比 若 m,n,p 成等差,则 am,an,ap 成等比,公比为 q .
n-m

Sm, S2m-Sm, S3m-S2m 成等差,公差为 m d

2

Sm, S2m-Sm, S3m-S2m 成等比,公比为 q

m

如等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100,求它的前 3m 项的和.

可设前 m 项之和为 V1,m+1 到 2m 项之和为 V2,2m+1 到 3m 项之和为 V3,利用 V1,V2,V3 成等差数 列,于是: V1=30, V2=100-30=70, d=70-30=40,所以 V3=V2+d=70+40=110. 所以 前 3m 项之和 S3m=Sm+(S2m-Sm)+(S3m-S2m)=V1+V2+V3=210. 再如,{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2, 且 a1·a2·a3??a30=2 , 求 a3·a6·a9??a30 的值. 若利用等比数列的性质,将数列{an}的前 30 项分成三组,于是 设 a1a4a7??a28=x a2a5a8??a29=x·2 a3a6a9??a30=x·2
30 10 30

20

于是有 2 =x(x·2 )·(x·2 )=x ·2 ,所以 x=1 又 x 属于 R, 所以 x=1,所以 a a a ??a =2 , 由以上两个例可以看出,灵活运用等差、等比数列的有关性质,可以提高解题技能,减少运算量. 3.注意运用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征,在分析和解决数列综合题时要 注意运用数学思想方法以及和函数,不等式知识的联系. 二、典型问题: 例 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n ,数列{bn}的每一项都有 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项 和 Tn. 分析与解答: ①判断{an}是等差数列:a1=S1=9 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(10n-n )-[10(n-1)-(n-1) ]=11-2n.又当 n=1, 11-2n=9=a1, 所以 数列{an}的通项公式为 an=11-2n.所以数列{an}是以 9 为首项,以-2 为公差的等差数列. ② 判断{bn}的特征并转化为等差数列求和,因为 bn=|an|,而{an}中,当 n≤5 时,an>0,当 n>5 时, an<0, 所以 {|an|}的前 5 项与{an}对应项相同,从第 6 项起,{|an|}各项与{an}对应项符号相反,绝对 值相同, 所以 当 n≤5 时,Tn=Sn=10n-n .
2 2 2 2

10

20

3

30

3

6 9

30

20

当 n≥6 时, Tn=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-an=-(a1+a2+……+an)+2(a1+a2+……+a5)=-Sn+2S5=n2-10n+50.

综上所述,可得数列{bn}的前 n 项和 Tn 为 Tn= 点评:运用函数观点去认识数列问题,{bn}虽不是等差数列,但可寻找它与等差数列的联系,通 过分类讨论, 可将{bn}转化,利用等差求和.所以,结果需用分段函数加以表述. 例 2.已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 Sn+1=4an+2(n=1,2,??), a1=1, (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,??),求证数列{bn}是等比数列.

(2)设 Cn=

(n=1,2,??),求证数列{Cn}是等差数列.

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和的公式 分析与解答: (1)因为 Sn+1=4an+2 所以 Sn+2=4an+1+2 即 an+2=4an+1-4an

以上两式等号两边分别相减,得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,……)

变形,得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) 因为 bn=an+1-2an(n=1,2,……) 所以 bn+1=2bn. 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列. 由 S2=a1+a2=4a1+2, a1=1, 所以 a2=5, 所以 b1=a2-2a1=3,所以 bn=3·2
n-1

(2) Cn=

(n=1,2,……)

所以 Cn+1-Cn=

将 bn=3·2

n-1

,代入得,Cn+1-Cn=

(n=1,2,??)

由此可知,数列{Cn}是公差为 .

的等差数列,它的首项 C1=

,故 Cn=

(n-1)=

n-

(3)Cn=

n-

=

(3n-1) 所以 an=2n· Cn=(3n-1)· 2n-2 (n=1,2,……)

当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)2n-1+2 由于 S1=a1=1 也适合此公式,故所求{an}的前 n 项和公式是 Sn=(3n-4)2n-1+2. 点评:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件,通过合理 转换,将非等差, 等比数列转化为等差,等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数列的概念,将已知关系式进 行变形,变形成 能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略. 例 3.已知 a>0, a≠1,数列{an}的首项是 a,公比也是 a 的等比数列,令 bn=an·lgan(n 属于 N). (1)求数列{bn}的前 n 项和 Sn;(2)当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时,求 a 的取值范围. 分析与解答: (1) 由题意得, an=a , bn=n·a lga,Sn=b1+b2+b3+??+bn =(1·a+2·a +3·a +??+n·a )lga aSn=(1· a2+2· a3+3· a4+……+n·an+1)lga
n n 2 3 n

以上两式相减得:(1-a)Sn=(a+a +a +??+an-n·a )lga =[ [1-(1+n-na)a ]
n

2

3

n+1

-n·a ]·lga=

n+1

因为 a≠1,所以 Sn=
k+1

[1-(1+n-na)an].
k k

(2)由 bk+1-bk=(k+1)a lga-k·a lga=a lga[k(a-1)+a] 由题意知,bk+1-bk>0,而 ak>0, 所以 lga[k(a-1)+a]>0...........① 若 a>1, 则 lga>0, k(a-1)+a>0, 所以 不等式①显然成立, 若 0<a<1,则 lga<0,

故不等式①成立

k(a-1)+a<0

0<a<

恒成立.

因为 k 属于 N, 所以 ( 是a 属于(0, )u(1,+∞).

)min=

,所以 0<a<

恒成立

0<a<

,综上, a 的取值范围

点评:①对于数列的求和问题,要注意运用教材中推导等比数列前 n 项和公式的基本方法.

② 在解决第二问时,要注意将数列与不等式,函数有机结合,揭示知识间的内在联系,确定 a 的取值范围. 三、课后练习: (1)已知 a1,a2,??a8 为各项都大于零的等比数列,公比 q≠1,则( ). A、a1+a8>a4+a5 C、a1+a8=a4+a5 B、a1+a8<a4+a5 D、a1+a8 和 a4+a5 的大小关系不能由已知条件确定 为( ).

(2)已知 a,b,c 的倒数或等差数列,且 a,b,c 互不相等,则

A、

B、

C、

D、

(3)一个等差数列共 2n+1 项,其中奇数项之和为 305,偶数项之和为 244,则第 n+1 项为( ). A、63 B、62 C、61 D、60 (4)设 A、B、C 分别是等比数列 {an}的前 n 项和,数列{bn}是等差数列,公差 d= logxan-bn=logxa1-b1, 求 x. (5)设 A、B、C 分别是等比数列{an}的前 n 项和,前 2n 项和,前 3n 项和,试比较 A +B 与 A(B+C) 的大小. (6) 某企业在“减员增效”中,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工 资的 100%, 从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的 计划创办新 的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获 b 元收入,从第三 年起,每人每 年的收入可在上一年基础上递增 50%,如果某人分流前工资收入每年 a 元,分流后第 n 年的总收 入为 an 元. ①试写出 an 与 n(n≥2)的函数关系; ②当 b= ③当 b≥ 参考答案: (1) A (2)C (3)C (4)x=8 (5) A2+B2=A(B+C) a 时,这个人哪一年收入最少,最少收入是多少? a 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入. 领取工资.该企业根据分流人员的技术特长,
2 2

,若

(5) ①an=a( ②n=3

) +b(

n-1

)

n-2

(n≥2)

③当 n≥2 时,an=a(

)n-1+b(

)n-2≥a(

)n-1+

a(

)n-2≥2

=2

=a.

上述等号成立,须 b=

a,且 a(

)n-1=

a(

)n-1,即 (

)2n-2=(

)2, 所以 n=1+

,

因为 1+

>1+

=2 所以 1+

不是自然数.

因此等号不能取到,即当 n>2 时,有 an>a,但当 n=2 时,a2=

a+

a=

a>a.

综上,当 b≥

a 时,一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远想过分流前的年收入.


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