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2015-2016学年高中数学 第二章 数列复习学案设计2 新人教A版必修5


第二章

数列

本章复习 本章复习(第 2 课时)
合作学习
一、通过提高型题组来进一步提高学生解决数列综合问题的能力 提高型题组 1.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变负,回答 下列问题: (1)求此等差数列的公差 d; (2)设前 n 项和为 Sn,求 Sn 的最

大值; (3)当 Sn 是正数时,求 n 的最大值.

2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知首项 a1=3,且 Sn+1+Sn=2an+1,试求此数列的通项公式 an 及前 n 项和 Sn.

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n(n+1)(n+2),试求数列的前 n 项和.

二、通过反馈型题组让学生自主训练,进一步掌握所学知识,形成能力 反馈型题组 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4 等于( ) A.12 B.10 C.8 D.6 2.设数列{xn}满足 log2xn+1=1+log2xn,且 x1+x2+x3+…+x10=10,则 x11+x12+x13+…+x20 的值为 ( ) 11 10 A.10×2 B.10×2 11 10 C.11×2 D.11×2 3.已知{an}为等比数列,Sn 是其前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为,则 S5 等于( ) A.35 B.33 C.31 D.29 4.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列 等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) 2 C.Y =XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 5.已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9<S8=S7,则下列说法不正 确的是( )

1

A.S9<S10 B.d<0 C.S7 与 S8 均为 Sn 的最大值 D.a8=0 6. 将正偶数分为数组 :(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…, 则第 n 组各数的和 是 .(用含 n 的式子表示) * 7.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N ,则 a2009= ;a2014= . 8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜 率为 . * 9.数列{an}的通项 an=(n+1)(n∈N ).试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大 项的项数;若没有,说明理由.

10.已知数列{an}中,前 n 项和为 Sn,a1=5,且 Sn+1=Sn+2an+2 (n∈N ). (1)求 a2,a3 的值; (2)设 bn=,若实数 λ 使得数列{bn}为等差数列,求 λ 的值; (3)在(2)的条件下,设数列的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<.

n+2

*

三、反思小结,观点提炼 通过本节课的学习,进一步熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式, 掌握其重要性质,并能应用定义、公式的基本方法解决简单的等差数列、等比数列的综合问 题.









提高型题组 解:(1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,且公差为整数,得公差 d=-4. (2)由 a6>0,a7<0,得 S6 最大,S6=6a1+d=6×23+15×(-4)=78. (3)由 a1=23,d=-4,则 Sn=n(50-4n), 设 Sn>0,得 n<12.5.故整数 n 的最大值为 12. 2.解:∵a1=3,∴S1=a1=3. 在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2. ∴a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1, ① n≥2 时,Sn+Sn-1=2an, ② ①-②,得 Sn+1-Sn-1=2an+1-2an,∴an+1+an=2an+1-2an, 即 an+1=3an. n-2 n-1 此数列从第 2 项起成等比数列,公比 q=3.故 n≥2 时,an=6×3 =2×3 .当 n=1 时,不满 足上式.故{an}的通项公式为 an= 2 n-1 n 此数列的前 n 项和为 Sn=3+2×3+2×3 +…+2×3 =3+=3 . 3.解:n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1). 当 n=1 时,a1=S1=×1×(1+1)×(1+2)=2,∴n=1 时满足上式. 则{an}的通项公式为 an=n(n+1).∴+…++…++…+=1-. 反馈型题组

2

1.C 提示:S4==2×(1+3)=8. 2.B 提示:∵log2xn+1-log2xn=1, ∴log2=1,∴=2. ∴{xn}为等比数列,其公比 q=2, 又∵x1+x2+…+x10=10, 10 10 ∴x11+x12+…+x20=q (x1+x2+…+x10)=2 ×10. 3.C 提示:由 a2·a3=2a1,又∵a2·a3=a1·a4,故 a1·a4=2a1,∴a4=2. 又由 a4+2a7=2×,得 a7=. 3 ∴q =,∴q=,a1==16,S5==31. 4.D 提示:设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),由题意得, X=a1+a2+…+an, Y=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n, Z=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n, n n ∴=q ,=q ,所以 Y(Y-X)=X(Z-X),故 D 项正确. 5.A 提示: 由题意知 d<0, 且 a8=0, 所以 a10<a9<a8=0. 所以 Sn 的最大值为 S7 与 S8,且 S7=S8,S10=S9+a10<S9. 3 6.n +n 提示:前 n-1 组共有偶数的个数为 1+2+3+…+(n-1)=. 2 故第 n 组共有 n 个偶数,且第一个偶数是正偶数数列{2n}的第+1 项,即 2×=n -n+2, 2 3 所以第 n 组各数的和为 n(n -n+2)+×2=n +n. 7.1 0 提示:依题意,得 a2009=a4×503-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0. 8.4 提示:∵a4=15,S5=55, ∴55==5a3,∴a3=11. ∴公差 d=a4-a3=15-11=4. a10=a4+6d=15+24=39. ∴P,Q 两点的坐标分别为 P(3,11),Q(10,39). kPQ==4. 9.解:方法一:∵an+1-an=(n+2)-(n+1), ∴当 n<9 时,an+1-an>0,∴an+1>an. 当 n=9 时,an+1-an=0,∴an+1=an. 当 n>9 时,an+1-an<0,∴an+1<an. 故 a1<a2<…<a9=a10>a11>a12>…, ∴数列{an}中最大项为 a9 或 a10,其值为 10×,其项数为 9 或 10. * 方法二:∵an=(n+1)(n∈N ), ∴解得 * ∵n∈N ,∴n=9 或 n=10. ∴数列{an}中最大项为 a9 或 a10,其值为 10×,其项数为 9 或 10. n+2 * 10.(1)解:由 Sn+1=Sn+2an+2 (n∈N )得, Sn+1-Sn=2an+2n+2,即 an+1=2an+2n+2(n∈N*), ∵a1=5, 1+2 ∴a2=2a1+2 =10+8=18, a3=2a2+22+2=36+16=52. (2)解:由条件得 b1=, b2=,

b3=.
3

∵{bn}为等差数列, ∴2b2=b1+b3, 即 2×, 解得 λ =0. ∴bn=,且 b1=,b2=, ∴b2-b1=2, 即数列{bn}是首项为 b1=,公差为 d=2 的等差数列. * (3)证明:由(2)得,bn=+(n-1)×2=(n∈N ), ∴, ∴Tn=+…+

=+…+ =, ∴Tn<.

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