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抽象函数的对称性、周期性(学生版)


抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难, 所以做抽象函数的题目需要有严谨的

逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:
对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立, 则称函数 f ( x) 具有周期性,T 叫做 f ( x) 的一个周期,则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x) 的 周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x) 的最小正周期。

二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数 y ? f ( x) 图象本身的对称性(自身对称)

1、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? y ? f ( x) 图象关于直线 x ?

(a ? x) ? (b ? x) a ? b 对称 ? 2 2

推论 1: f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) 推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) 2、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c

? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于点 (
a?b , c) 对称 2

推论 1、 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b

? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称

推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 图象关于 Y 轴对称 2、奇函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 图象关于原点对称函数 3、函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 图象关于 X 轴对称

4、互为反函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f

?1

( x) 图象关于直线 y ? x 对称

5.函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 图象关于直线 x ?

b?a 对称 2

推论 1:函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (a ? x) 图象关于直线 x ? 0 对称 推论 2:函数 y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 图象关于直线 x ? a 对称 推论 3:函数 y ? f (? x) 与 y ? f (2a ? x) 图象关于直线 x ? ?a 对称

三、函数周期性的几个重要结论
若 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) , 则 f ( x) 具有周期性; 若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) , 则 f ( x) 具有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。
1、 f ( x ? T ) ? f ( x) ( T ? 0 ) ? y ? f ( x) 的周期为 T , kT ( k ? Z )也是函数的周期 2、 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ? y ? f ( x) 的周期为 T ? b ? a 3、 f ( x ? a) ? ? f ( x) 4、 f ( x ? a) ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

1 f ( x) 1 f ( x)

5、 f ( x ? a) ? ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

11、 y ? f ( x) 有两条对称轴 x ? a 和 x ? b (b ? a) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:偶函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2a 12、 y ? f ( x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b ? a) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:奇函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 4a 13、 y ? f ( x) 有一条对称轴 x ? a 和一个对称中心 (b,0) (b ? a) ? f ( x) 的 T ? 4(b ? a)

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分 析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值 例 1.设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x), 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (7.5) 等于( (A)0.5; ) (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.

例 5.设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 是偶函数,在区 间 ?2,3? 上, f ( x) ? ?2( x ? 3) ? 4. 求 x ? ?1,2? 时, f ( x) 的解析式.
2

4、判断函数奇偶性
例 6.已知 f ( x) 的周期为 4,且等式 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 对任意 x ? R 均成立, 判断函数 f ( x) 的奇偶性.

5、确定函数图象与 x 轴交点的个数
例 7.设函数 f ( x) 对任意实数 x 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ?

f (7 ? x)且f (0) ? 0, 判断函数 f ( x) 图象在区间 ?? 30,30? 上与 x 轴至少有多少个交点.

例题与应用
例 1:f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时 f(x)=x,求 f(2007) 的值

例 3:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2,0? 时,f(x)=- 2x+1,则当 x ? ?4,6? 时求 f(x)的解析式

例 7:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(x)= f(4-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0, 求在区间[-1000,1000]上 f(x)=0 至少有几个根?

例 4、 设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),f(20- x)=-f(20+x),则 f(x)是( ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数


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