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吉林省长春外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


吉林省长春外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. (5 分)已知椭圆的标准方程为 A.(±2,0) B.(±4,0) =1,则焦点坐标为() C.(0,±4) D.(0,±2)

2. (5 分)以点 A

(﹣5,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的标准方程为() A.(x+5) +(y﹣4) =16 2 ﹣4) =25 D.
2 2 2 2

B.(x﹣5) +(y+4) =16 C. (x+5) +(y 2 2 (x﹣5) +(y+4) =16

2

2

2

3. (5 分)圆 x +y ﹣2x﹣3=0 的圆心到直线 x+y﹣2=0 距离为() A.2 B. C. D.

4. (5 分)双曲线 A.4 B.

的焦距是() C. 8 D.与 m 有关

5. (5 分)直线 x+2y=0 与 2x+4y﹣5=0 的距离为() A. B. C. 2 D.0

6. (5 分)如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. (5 分)圆 C1: (x﹣m) +(y+2) =9 与圆 C2: (x+1) +(y﹣m) =4 内切,则 m 的值() A.﹣2 B . ﹣1 C.﹣2 或﹣1 D.2 或 1 8. (5 分)已知椭圆的焦点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,P 是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2| 等差中项,则椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1
2 2 2 2

C.

+

=1

D.

+

=1

9. (5 分)不等式组

,表示的平面区域的面积为()

A.4

B. 1
2 2

C. 5

D.无穷大

10. (5 分)以双曲线﹣3x +y =12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是() A. B.

C.

D.

11. (5 分)若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ ABF1 为等边三角形的椭圆的 离心率是() A. B. C. D.

12. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存在

x

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是() A.(1,3] B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知两条直线 a x﹣y﹣2=0 和 x﹣2ay+3=0 互相垂直,则 a 的值为.

14. (5 分)双曲线 则 P 到 F2 的距离为.

的两个焦点分别为 F1、F2,双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12,

15. (5 分)已知实数 x、y 满足

则目标函数 z=x﹣2y 的最小值是.

16. (5 分)已知圆 C: (x+3) +y =4 及点 A(3,0) ,Q 为圆周上一点,AQ 的垂直平分线交 直线 CQ 于点 M,则动点 M 的轨迹方程为.

2

2

三、解答题(共 70 分,每题的解答要有必要的推理过程,直接写结果不得分) 17. (10 分)已知直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0, (1)若 l′与 l 平行,且过点(﹣1,3) ,求直线 l′的方程; (2)求 l′与坐标轴围成的三角形面积. .

18. (12 分)已知曲线的标准方程为 (1)若曲线表示双曲线,试求 k 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求其焦点坐标; (3)在(1)的条件下,若曲线经过点
2 2

=1

,求曲线的方程.

19. (12 分)已知,圆 C:x +y ﹣6x+5=0,直线 l:x+ay﹣a﹣2=0. (1)求证:直线 l 与圆 C 必相交; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程. 20. (12 分)已知△ ABC 的周长为 36,B、C 的坐标分别为(﹣8,0)和(8,0) . (1)求顶点 A 的轨迹方程; (2)若∠BAC=90°,求△ ABC 的面积.

21. (12 分)已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣1,0) ,过点 F 的直线交椭

圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求弦 AB 的长.



22. (12 分)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且椭圆 C 的短轴长为 2, (1)过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,求直线 l 的方程; (2)若动点 P(x,y)在椭圆上,求 的取值范围.

吉林省长春外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

1. (5 分)已知椭圆的标准方程为 A.(±2,0) B.(±4,0)

=1,则焦点坐标为() C.(0,±4) D.(0,±2)

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 接利用椭圆方程求出 a =9,b =5,然后求出 c ,求出焦点坐标, 解答: 解:∵椭圆的标准方程为
2 2 2 2 2

=1,

∴焦点在 y 轴上且 a =9,b =5, 2 2 2 ∴c =a ﹣b =4, ∴c=2; ∴焦点坐标为: (0,±2) 故选 D 点评: 本题考查椭圆方程的应用,几何性质的考查,注意椭圆方程的两种形式,防止出错. 2. (5 分)以点 A(﹣5,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的标准方程为() 2 2 2 2 2 A.(x+5) +(y﹣4) =16 B.(x﹣5) +(y+4) =16 C. (x+5) +(y 2 2 2 ﹣4) =25 D. (x﹣5) +(y+4) =16 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意与 x 轴相切求出圆的半径是 4,代入圆的标准方程即可. 解答: 解:∵所求的圆以点 A(﹣5,4)为圆心,且与 x 轴相切,∴所求圆的半径 R=4, 2 2 ∴圆的标准方程为(x+5) +(y﹣4) =16. 故选:A. 点评: 本题的考查的是圆的标准方程,根据圆心到切线的距离等于半径求出半径再代入方 程. 3. (5 分)圆 x +y ﹣2x﹣3=0 的圆心到直线 x+y﹣2=0 距离为() A.2 B. C. D.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,利用点到直线的距离公式即可求出圆心 到已知直线的距离. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +y =4, ∴圆心坐标为(1,0) , 则圆心到直线 x+y﹣2=0 的距离 d= 故选:C. = ,

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,以及点到直线的 距离公式,熟练掌握距离公式是解本题的关键.

4. (5 分)双曲线 A.4 B.

的焦距是() C. 8 D.与 m 有关

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 由双曲线的方程可先根据公式 c =a +b 求出 c 的值,进而可求焦距 2c 2 2 2 2 2 解答: 解:由题意可得,c =a +b =m +12+4﹣m =16 ∴c=4 焦距 2c=8 故选 C 2 2 2 点评: 本题主要考查了双曲线的定义的应用,解题的关键熟练掌握基本结论:c =a +b ,属 于基础试题 5. (5 分)直线 x+2y=0 与 2x+4y﹣5=0 的距离为() A. B. C. 2 D.0

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 直接利用两条平行线的距离公式,算出两条直线的距离. 解答: 解:2x+4y﹣5=0 化为:x+2y =0,

直接利用公式,得 x+2y=0 与 2x+4y﹣5=0 的距离为:d=

=



故选:B. 点评: 本题给出坐标系内的两条平行线,求它们之间的距离,着重考查了点到直线的距离 公式、平行线的距离公式及其应用的知识,属于基础题. 6. (5 分)如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 先把 Ax+By+C=0 化为 y=﹣ 数形结合即可获取答案 解答: 解:∵直线 Ax+By+C=0 可化为 又 AC<0,BC<0 , ,再由 AC<0,BC<0 得到﹣ ,﹣ ,

∴AB>0,∴



∴直线过一、二、四象限,不过第三象限. 故答案选 C. 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属 容易题 7. (5 分)圆 C1: (x﹣m) +(y+2) =9 与圆 C2: (x+1) +(y﹣m) =4 内切,则 m 的值() A.﹣2 B . ﹣1 C.﹣2 或﹣1 D.2 或 1 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两个圆相内切,可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差,求得 m 的值. 解答: 解:由题意可得,两个圆的圆心分别为(m,﹣2) 、 (﹣1,m) ,半径分别为 3、2, 根据两个圆相内切,可得两个圆的圆心距等于它们的把半径之差,即 =3﹣2, 求得 m=﹣2,或 m=﹣1, 故选:C. 点评: 本题主要考查圆和圆的位置关系的判断方法,两点间的距离公式,属于基础题. . 8. (5 分)已知椭圆的焦点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,P 是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2| 等差中项,则椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1
2 2 2 2

C.

+

=1

D.

+

=1

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出 a 和 b 值, 进而求得椭圆方程. 解答: 解:由题意可得:|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 ∴2a=4,2c=2,∴b=3 ∴椭圆的方程为 .

点评: 本题利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程,关键是求出其基本量.

9. (5 分)不等式组

,表示的平面区域的面积为()

A.4

B. 1

C. 5

D.无穷大

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 画出不等式组

表示的平面区域为三角形 ABC 及其内部的部分,求得

A、B、C 各个点的坐标,可得三角形 ABC 的面积.

解答: 解:不等式组

表示的平面区域为三角形 ABC 及其内部的部分,如图

所示:容易求得 A(1,2) ,B(2,2) ,C(3,0) ,

不等式组

表示的平面区域的面积是三角形 ABC 的面积,结合图形易求|AB|=1,

C 到 AB 的距离 d=2, 故 S△ ABC= 故选:B. = =1.

点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,体现了数形结合的数学思想,属于 基础题. 10. (5 分)以双曲线﹣3x +y =12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是() A. B.
2 2

C.

D.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 先求出双曲线﹣3x +y =12 的顶点和焦点,从而得到椭圆的焦点和顶点,进而得到椭 圆方程. 解答: 解:双曲线方程可化为 焦点为(0,±4) , 顶点为 ∴椭圆的焦点在 y 轴上, 且 此时 b=2, 所以椭圆方程为 , ,
2 2



故选 D. 点评: 本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质. 11. (5 分)若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ ABF1 为等边三角形的椭圆的 离心率是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设出|AB|=2b,利用△ ABF1 是等边三角形,推断出|AF1|=2b 求得 a 和 b 的关系,进而 利用 a,b 和 c 的关系求得 a 和 c 的关系及椭圆的离心率. 解答: 解:设|AB|=2b,因为△ ABF1 是等边三角形,所以|AF1|=2b,即 a=2b, ∴ ,有

故选 B 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.灵活利用题设中 a,b 和 c 的关系.

12. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存在

x

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是() A.(1,3] B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞]

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;指数函数的图像与性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 先依据不等式组

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画
x

出其表示的平面区域,再利用指数函数 y=a 的图象特征,结合区域的角上的点即可解决问题. x 解答: 解:作出区域 D 的图象,联系指数函数 y=a 的图象, 由 得到点 C(2,9) ,

当图象经过区域的边界点 C(2,9)时,a 可以取到最大值 3, 而显然只要 a 大于 1,图象必然经过区域内的点. 故选:A.

点评: 这是一道略微灵活的线性规划问题,本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、 指数函数的图象与性质,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知两条直线 a x﹣y﹣2=0 和 x﹣2ay+3=0 互相垂直,则 a 的值为 0 或﹣2. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 2 分析: 由直线垂直可得 a ?1+(﹣1)?(﹣2a)=0,解方程可得. 2 解答: 解:∵两条直线 a x﹣y﹣2=0 和 x﹣2ay+3=0 互相垂直, 2 ∴a ?1+(﹣1)?(﹣2a)=0, 解得 a=0 或 a=﹣2 故答案为:0 或﹣2 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.
2

14. (5 分)双曲线 则 P 到 F2 的距离为 2 或 22. 考点: 双曲线的简单性质.

的两个焦点分别为 F1、F2,双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12,

专题: 计算题. 分析: 由双曲线的定义可得:||PF2|﹣12|=2a=10,解之可得答案. 解答: 解:由双曲线的定义可得:||PF2|﹣12|=2a=10, 解得|PF2|=22,或|PF2|=2 故答案为:2 或 22 点评: 本题考查双曲线的定义,属基础题.

15. (5 分)已知实数 x、y 满足

则目标函数 z=x﹣2y 的最小值是﹣9.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再将可行

域中各个角点的值依次代入目标函数 z=x﹣2y,不难求出目标函数 z=x﹣2y 的最小值.

解答: 解:如图作出阴影部分即为满足约束条件

的可行域,

由 z=x﹣2y,得 y= x﹣z, 平移直线 y= x﹣z,由图象可知当直线 y= x﹣z 经过点 A, 直线 y= x﹣z 的截距最大,此时 z 最小, 由 得点 A(3,6) ,

当 x=3,y=6 时,z=x﹣2y 取最小值,为﹣9. 故答案为:﹣9

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解.

16. (5 分)已知圆 C: (x+3) +y =4 及点 A(3,0) ,Q 为圆周上一点,AQ 的垂直平分线交 直线 CQ 于点 M,则动点 M 的轨迹方程为 .

2

2

考点: 双曲线的定义. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 结合双曲线的定义,结合给的条件易知||MC|﹣|MA||=2.即 2a=1,且 2c=6.c=3,再 求出 b 的值即可. 解答: 解:由 AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 M,得|MA|=|MQ|,圆的半径为 2. 所以||MC|﹣|MA||=2<|AC|=6,故 M 的轨迹是以 C,A 为焦点的双曲线. 所以由题意得 2a=2,2c=6.所以 a=1,c=3,b =c ﹣a =8. 焦点在 x 轴上,故所求方程为 .
2 2 2

故答案为



点评: 本题考查了双曲线的定义法求双曲线的标准方程,要注意挖掘所给条件的几何性质 进行分析. 三、解答题(共 70 分,每题的解答要有必要的推理过程,直接写结果不得分) 17. (10 分)已知直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0, (1)若 l′与 l 平行,且过点(﹣1,3) ,求直线 l′的方程; (2)求 l′与坐标轴围成的三角形面积. . 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由平行关系可设 l′的方程为 3x+4y+c=0,代点可得 c 值,可得直线的方程; (2)由 l′的方程,分别令 x=0,y=0 可得直线的截距,代入面积公式计算可得. 解答: 解: (1)由平行关系可设 l′的方程为 3x+4y+c=0, ∵l′过点(﹣1,3) ,∴3×(﹣1)+4×3+c=0, 解得 c=﹣9,∴直线 l′的方程为 3x+4y﹣9=0; (2)由(1)知直线 l′的方程为 3x+4y﹣9=0, 令 x=0 可得 y= ,令 y=0 可得 x=3, ∴l′与坐标轴围成的三角形面积 S= × ×3= 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,涉及三角形的面积公式,属基础题.

18. (12 分)已知曲线的标准方程为

=1

(1)若曲线表示双曲线,试求 k 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求其焦点坐标; (3)在(1)的条件下,若曲线经过点 ,求曲线的方程.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意, (25﹣k) (9﹣k)<0,即可求 k 的取值范围; (2)在(1)的条件下,a =25﹣k,b =k﹣9,c =16,可得 c=4,即可求其焦点坐标; (3)由题意, ,利用 9<k<25,即可求曲线的方程.
2 2 2

解答: 解: (1)由题意, (25﹣k) (9﹣k)<0,∴9<k<25; (2)由(1)知,a =25﹣k,b =k﹣9,∴c =16,∴c=4,∴焦点坐标为(±4,0) ; (3)由题意, ∵9<k<25, ∴k=13, ∴曲线的方程为 . ,
2 2 2

点评: 本题考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 19. (12 分)已知,圆 C:x +y ﹣6x+5=0,直线 l:x+ay﹣a﹣2=0. (1)求证:直线 l 与圆 C 必相交; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)直线 l:x+ay﹣a﹣2=0 恒过定点(2,1) , (2,1)在圆 C:x +y ﹣6x+5=0 内, 可得结论; (2)求出圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式,即可得出结论. 解答: 解: (1)直线 l:x+ay﹣a﹣2=0 恒过定点(2,1) , 2 2 ∵(2,1)在圆 C:x +y ﹣6x+5=0 内, ∴直线 l 与圆 C 必相交; 2 2 2 2 (2)圆 C:x +y ﹣6x+5=0 方程可化为(x﹣3) +y =4,圆心为(3,0) ,半径为 2, ∵AB=2 , ∴圆心到直线的距离为 = ,
2 2 2 2



=



∴a=1, ∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0. 点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,考查点到直线的距离公式,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

20. (12 分)已知△ ABC 的周长为 36,B、C 的坐标分别为(﹣8,0)和(8,0) . (1)求顶点 A 的轨迹方程; (2)若∠BAC=90°,求△ ABC 的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由三角形的边角关系结合椭圆的定义求解; (2)由椭圆定义结合三角形中的勾股定理求得|AB|?|AC|,则三角形的面积可求. 解答: 解: (1)由题意知,|AB|+|AC|+|BC|=36,|BC|=16, ∴|AB|+|AC|=20>16, 则顶点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,且 2a=20,a=10,c=8. ∴b =a ﹣c =36. ∴顶点 A 的轨迹方程为: (2)∵|AB|+|AC|=20,|BC|=16, 且∠BAC=90°, 2 2 2 2 ∴|AB| +|AC| =(|AB|+|AC|) ﹣2|AB|?|AC|=|BC| , 2 2 即 20 ﹣16 =2|AB|?|AC|, ∴|AB|?|AC|=72. 则△ ABC 的面积 S= 72=36. ;
2 2 2

点评: 本题考查了椭圆方程的求法,涉及椭圆上的点与焦点连线构成的三角形问题,常用 椭圆定义、余弦定理结合求解,是压轴题.

21. (12 分)已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣1,0) ,过点 F 的直线交椭

圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求弦 AB 的长.



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意得到 c,再由点差法得到 a,b 的关系,结合隐含条件求得 a,b 的值, 则椭圆方程可求; (2)求出直线方程,联立直线和椭圆,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数关系得到 A,B 两点的横坐标的和与积,由弦长公式得答案. 解答: 解: (1)由题意知 c=1, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,













∵直线过 F(﹣1,0) ,AB 中点




2 2 2

,即 3a =4b ,

2

2

又 a =b +c , 2 2 ∴a =4,b =3. ∴椭圆 E 的方程为 ;

(2)由(1)知 AB 的斜率为 1,且过 F(﹣1,0) , ∴直线 AB 的方程为 y=x+1,
2

联立

,得 7x ﹣8x﹣8=0.

∴ ∴|AB|=

. = .

点评: 本题考查了椭圆方程的求法,训练了点差法,涉及直线和圆锥曲线的关系问题,常 采用联立直线和圆锥曲线方程,利用根与系数的关系解题,是压轴题. 22. (12 分)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且椭圆 C 的短轴长为 2, (1)过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,求直线 l 的方程; (2)若动点 P(x,y)在椭圆上,求 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1) 由题意, c=1, b=1, 则 a=
2 2

, 从而写出椭圆的方程, 设直线 l 的方程为 x=ay+1, , y1+y2= , 由 OP⊥OQ

联立可得 (a +2) y +2ay﹣1=0, 由根与系数的关系可得, y1y2=

可得 x1?x2+y1y2=0,从而解出 a=± (2)设
2

,从而得到直线 l 的方程;
2 2

=k,则 y=kx+2,与椭圆方程联立化简可得(2k +1)x +8kx+6=0,则由题意知△ =
2

(8k) ﹣4×6×(2k +1)≥0,从而求

的取值范围. ,

解答: 解: (1)由题意,c=1,b=1,则 a= 则椭圆的方程为 ,

设直线 l 的方程为 x=ay+1,与椭圆方程联立可得,



消去 x 化简可得, 2 2 (a +2)y +2ay﹣1=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 y1y2= ,y1+y2= ,

x1?x2=(ay1+1)?(ay2+1) =a
2

+a

+1,

则由 OP⊥OQ 可得, x1?x2+y1y2=a 即 2a =1, 则 a=± 则 x=± (2)设
2 2 2 2

+a

+1+

=0,

, +1,即 ,

=k,则 y=kx+2,与椭圆方程联立化简可得,

(2k +1)x +8kx+6=0, 2 2 则△ =(8k) ﹣4×6×(2k +1)≥0, 2 即 16k ﹣24≥0, 则 .



的取值范围为(﹣∞,﹣

)∪(

,+∞) .

点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的交点问题,注意用根与系数的关系简化运算,属于难 题.


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