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2015-2016学年江西省上饶市广丰一中高一(下)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江西省上饶市广丰一中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.下列说法中正确的是( ) A.共线向量的夹角为 0°或 180° B.长度相等的向量叫做相等向量 C.共线向量就是向量所在的直线在同一直线上 D.零向量没有方向 2.下列函数中为奇函数的是( ) A.y=sin|x| B.y=sin2x

C.y=﹣sinx+2 D.y=sinx+1 3.已知角的终边经过点(4,﹣3) ,则 tanα=( ) A. B.﹣ C. D.﹣ )

4.函数 y=cos(4x﹣ π)的最小正周期是( A.4π B.2π C.π D.

5.在直角坐标系中,直线 3x+ A. 6.函数 A. C. 7.函数 y=3sin(2x+ A.x=﹣ B. C. D.

y﹣3=0 的倾斜角是(



的单调递减区间( (k∈Z) B. (k∈Z) D.

) (k∈Z) (k∈Z) )

)+2 图象的一条对称轴方程是( D.

B.x=0 C.x= π

8.下列选项中叙述正确的是( ) A.终边不同的角同一三角函数值可以相等 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.第一象限是锐角 D.第二象限的角比第一象限的角大 9.如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.向量 + + + 化简后等于( ) A. B. C. D.



11.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|< 则( )



第 1 页 共 12 页

A.A=4 B.ω=1 C.φ=

D.B=4

12.给出下列说法: ①终边相同的角同一三角函数值相等; ②在三角形中,若 sinA=sinB,则有 A=B; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.以点(0,2)和(4,0)为端点的线段的中垂线的方程是 . 2 2 14.圆 x +y =4 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 的距离最小值为 . 15.已知 = , = , = , = , = ,则 + + + ﹣ = 16.已知 tan( )= ,tan( )=﹣ ,则 tan( )=

. .

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分其余每题 12 分共 70 分) 17.已知角 α 的终边经过一点 P(5a,﹣12a) (a>0) ,求 2sinα+cosα 的值. 18.已知△ABC 的三个顶点 A(0,4) B 2 6 , (﹣ , ) ,C(8,2) ; (1)求 AB 边的中线所在直线方程. (2)求 AC 的中垂线方程. 19.若圆经过点 A(2,0) ,B(4,0) ,C(1,2) ,求这个圆的方程. 20.已知 cosα= ,cos(α﹣β)= ,且 0<β<α< ,

(1)求 tan2α 的值; (2)求 cosβ 的值. 21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π) 的部分图象如图所示, (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的对称轴方程和对称中心坐标.

第 2 页 共 12 页

22.已知函数 f(x)=sin2ωx+ (1)当 x∈[0,

sinωx?cosωx﹣1(ω>0)的周期为 π.

]时,求 f(x)的取值范围;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间.

第 3 页 共 12 页

2015-2016 学年江西省上饶市广丰一中高一(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.下列说法中正确的是( ) A.共线向量的夹角为 0°或 180° B.长度相等的向量叫做相等向量 C.共线向量就是向量所在的直线在同一直线上 D.零向量没有方向 【考点】向量的物理背景与概念. 【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误, 从而找出正确选项. 【解答】解:A.共线向量的方向相同或相反; 方向相同时,夹角为 0°,相反时的夹角为 180°,∴该说法正确; B.长度相等,方向相同的向量叫做相等向量,∴该说法错误; C.平行向量也叫共线向量,∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上; ∴该说法错误; D.零向量的方向任意,并不是没有方向,∴该说法错误. 故选:A. 2.下列函数中为奇函数的是( ) A.y=sin|x| B.y=sin2x C.y=﹣sinx+2

D.y=sinx+1

【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】要探讨函数的奇偶性,先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,然后探讨 f (﹣x)与 f(x)的关系,即可得 函数的奇偶性. 【解答】解:选项 A,定义域为 R,sin|﹣x|=sin|x|,故 y=sin|x|为偶函数. 选项 B,定义域为 R,sin(﹣2x)=﹣sin2x,故 y=sin2x 为奇函数. 选项 C,定义域为 R,﹣sin(﹣x)+2=sinx+2,故 y=sinx+2 为非奇非偶函数偶函数. 选项 D,定义域为 R,sin(﹣x)+1=﹣sinx+1,故 y=sinx+1 为非奇非偶函数, 故选:B. 3.已知角的终边经过点(4,﹣3) ,则 tanα=( A. B.﹣ C. D.﹣ )

【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】根据三角函数的定义进行求解即可. 【解答】解:∵角 α 的终边经过点 P(4,﹣3) , ∴tanα= = 故选:B. 第 4 页 共 12 页 ,

4.函数 y=cos(4x﹣ π)的最小正周期是( A.4π B.2π C.π D.



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法,将 ω=4 代入 T= 【解答】解:∵y=cos(4x﹣ π) , ∴最小正周期 T= 故选:D. 5.在直角坐标系中,直线 3x+ A. B. C. D. y﹣3=0 的倾斜角是( ) = . 即可得到答案.

【考点】直线的倾斜角. 【分析】由已知方程得到直线的斜率,根据斜率对于得到倾斜角. 【解答】解:由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣ ,设倾斜角为 α, 则 tanα=﹣ 故选:D. ,α∈[0,π) ,所以 α= ;

6.函数 A. C.

的单调递减区间( (k∈Z) B. (k∈Z) D.

) (k∈Z) (k∈Z)

【考点】正弦函数的单调性. 【分析】 利用 y=sinx 的单调性, 求出函数的单调递减区间, 进而可求函数 的单调递减区间. 【解答】解:利用 y=sinx 的单调递减区间,可得 ∴ ∴函数 故选 D. 的单调递减区间 (k∈Z)

7.函数 y=3sin(2x+

)+2 图象的一条对称轴方程是(



第 5 页 共 12 页

A.x=﹣

B.x=0 C.x= π

D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】利用正弦函数的图象的对称性,求得 y=3sin(2x+ 【解答】解:∵对于函数 y=3sin(2x+ )+2 图象,令 2x+ )+2 图象的一条对称轴方程. =kπ+ ,求得 x= + ,

可得函数图象的一条对称轴方程为 x= π, 故选:C. 8.下列选项中叙述正确的是( ) A.终边不同的角同一三角函数值可以相等 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.第一象限是锐角 D.第二象限的角比第一象限的角大 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案. 【解答】解:对于 A,终边不同的角同一三角函数值可以相等,正确,如 对于 B,三角形的内角是第一象限角或第二象限角,错误,如 对于 C,第一象限是锐角,错误,如 ;

是终边在坐标轴上的角;

是第一象限角,不是锐角; 是第二象限角, 是第一象限

对于 D,第二象限的角比第一象限的角大,错误,如 角,但 故选:A. .

9.如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】根据象限得出 sinθ,cosθ 的符号,得出 θ 的象限. 【解答】解:∵P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限, ∴sinθcosθ<0,cosθ>0, ∴sinθ<0, ∴θ 是第四象限角. 故选:D. 10.向量 + A. B. + 化简后等于( ) C. D. 【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出. 第 6 页 共 12 页 +



【解答】解:向量 故选:D.

+

+

+

=



11.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|< 则( )



A.A=4 B.ω=1 C.φ=

D.B=4

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】先根据函数的最大值和最小值求得 A 和 B,然后利用图象中 周期,求得 ω,最后根据 x= 时取最大值,求得 φ. 求得 A=2,B=2 ﹣ 求得函数的

【解答】解:如图根据函数的最大值和最小值得 函数的周期为( 当 x= φ=2kπ﹣ ∵ ∴φ= 故选 C. ﹣ )×4=π,即 π= ,ω=2

时取最大值,即 sin(2×

+φ)=1,2×

+φ=2kπ+

12.给出下列说法: ①终边相同的角同一三角函数值相等; ②在三角形中,若 sinA=sinB,则有 A=B; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第 7 页 共 12 页

【考点】任意角的概念. 【分析】由任意角的三角函数的定义,三角函数值与象限角的关系,即可得出结论. 【解答】解:①由任意角的三角函数的定义知,终边相同的角的三角函数值相等,正确. ②在三角形中,若 sinA=sinB,则有 A=B,故正确; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关,正确, ④若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同或终边关于 y 轴对称,故不正确. ⑤若 cosα<0,则 α 是第二或第三象限角或 α 的终边落在 x 轴的非正半轴上,故不正确. 其中正确的个数为 3 个, 故选:C. 二、填空(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.以点(0,2)和(4,0)为端点的线段的中垂线的方程是 2x﹣y﹣3=0 . 【考点】待定系数法求直线方程. 【分析】先求出线段 AB 的中垂线的斜率,再求出线段 AB 的中点的坐标,点斜式写出 AB 的中垂线得方程,并化为一般式. 【解答】解:设 A(0,2) 、B(4,0) . 1) 直线 AB 的斜率 kAB=﹣ , 所以线段 AB 的中垂线得斜率 k=2, 又线段 AB 的中点为 (2, , 所以线段 AB 的中垂线得方程为 y﹣1=2(x﹣2)即 2x﹣y﹣3=0, 故答案为:2x﹣y﹣3=0. 14.圆 x2+y2=4 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 的距离最小值为 3 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= 3x+4y﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r,从而可求. 【解答】解:∵圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= =5, =5,圆 x2+y2=4 上的点到直线

∴圆 x2+y2=4 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r=5﹣2=3 故答案为:3. 15.已知 = , = , = , = , = ,则 + + + ﹣ = 【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出. 【解答】解: + + + ﹣ = + + + ﹣ = ﹣ = , 故答案为: . .

16.已知 tan(

)= ,tan(

)=﹣ ,则 tan(

)= 1 .

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】观察三个函数中的角,发现 的值可以用正切的差角公式求值 = ﹣( ) ,故 tan( )

第 8 页 共 12 页

【解答】解:∵

=

﹣(

) ,

∴tan(

)=

=

=1

故答案为 1 三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分其余每题 12 分共 70 分) 17.已知角 α 的终边经过一点 P(5a,﹣12a) (a>0) ,求 2sinα+cosα 的值. 【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】利用三角函数的定义可求得 sinα 与 cosα,从而可得 2sinα+cosα. 【解答】解:由已知 r= ∴sinα=﹣ ,cosα= … ,… =13a…

∴2sinα+cosα=﹣

18.已知△ABC 的三个顶点 A(0,4) ,B(﹣2,6) ,C(8,2) ; (1)求 AB 边的中线所在直线方程. (2)求 AC 的中垂线方程. 【考点】待定系数法求直线方程. 【分析】 (1)利用中点坐标公式、斜截式即可得出. (2)利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出. 【解答】解: (1)∵线段 AB 的中点为(﹣1,5) , ∴AB 边的中线所在直线方程是 即 x+3y﹣14=0. (2)AC 的中点为(4.3) ∵KAC= =﹣ , = ,

∴y﹣3=4(x﹣4)即 y=4x﹣13, ∴AC 的中垂线方程为 y=4x﹣13. 19.若圆经过点 A(2,0) ,B(4,0) ,C(1,2) ,求这个圆的方程. 【考点】圆的一般方程. 【分析】设出圆的一般式方程,把三个点的坐标代入,求解关于 D、E、F 的方程组得答案. 【解答】解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,



,解得



第 9 页 共 12 页

∴圆的方程为:



20.已知 cosα=

,cos(α﹣β)= ,且 0<β<α<



(1)求 tan2α 的值; (2)求 cosβ 的值. 【考点】二倍角的正切;两角和与差的余弦函数. 【分析】 (1)利用已知及同角三角函数基本关系式可求 sinα,进而可求 tanα,利用二倍角的 正切函数公式可求 tan2α 的值. (2)由 0<β<α< ,得 0<α﹣β< ,利用同角三角函数基本关系式可求 sin(α﹣β) ,

由 β=α﹣(α﹣β)利用两角差的余弦函数公式即可计算求值. 【解答】解: (1)∵由 cosα= ∴得 tan = ,0<α< ,得 sinα= = = ,

∴于是 tan2α=

=﹣

.…

(2)由 0<β<α<

,得 0<α﹣β<



又∵cos(α﹣β)= , ∴sin(α﹣β)= 由 β=α﹣(α﹣β)得: cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)= = .… = ,

21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π) 的部分图象如图所示, (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的对称轴方程和对称中心坐标.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 第 10 页 共 12 页

【分析】 (Ⅰ)由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数 的解析式. (Ⅱ)利用正弦函数的图象的对称性,求得函数的对称轴方程和对称中心坐标. 【解答】解: (Ⅰ)由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π) 的部分图象, 可得 A=2, = = + ,∴ω=2. )+φ= ﹣ ,∴φ= ,函数 f(x)=2sin(2x+ ) . ﹣

再根据五点法作图可得 2?(﹣ (Ⅱ) 由 2x+ ,k∈Z. 令 2x+ ∈Z. 22.已知函数 f(x)=sin2ωx+ (1)当 x∈[0, =kπ,求得 x= ﹣ =kπ+

, 求得 x=

, 可得函数的图象的对称轴方程为 x=

,可得函数的图象的对称轴中心为(



,0) ,k

sinωx?cosωx﹣1(ω>0)的周期为 π.

]时,求 f(x)的取值范围;

(2)求函数 f(x)的单调递增区间. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用降幂公式降幂,再由辅助角公式化简,由 x 的范围求得相位的范围,则函 数的取值范围可求; (2)利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间. 【解答】解: (1)f(x)=sin2ωx+ = ∵ω>0,∴T= ∴函数 f(x)=sin(2x﹣ 由0 ∴ ∴ ∴f(x)的取值范围[﹣1, ]; (2)令 得: , (k∈Z) , , ,得 , . . ,则 ω=1. )﹣ . , sinωx?cosωx﹣1=

第 11 页 共 12 页

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

,kπ+

], (k∈Z) .

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