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第53届IMO试题解答


2 0 1 2年 第 9期 

1 9  

第 5 3届 I MO 试 题 解 答 
中 图分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献标 识 码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 0 9— 0 0 1 9—0 4  

1 . 设. ,为 △ A B C顶 点 / l 所 对 旁 切 圆 的  圆心 . 该 旁切 圆与 边 B C 切 于 点  , 与 直 线  A B、 A C分别 切 于点 K、  , 直 线 
点 F, 直线 K i l l与 

4 . 求 所 有 的 函数 . 厂 : z — z, 使得 对 所 有满  足 0+b+ c= 0的整数 a 、 b 、 c , 都 有 
f   ( 口 )+   ( b )+ 厂   ( c )   2 f ( 口 ) I 厂 ( b )+ Z 厂 ( b )  c )+ 2 f ( c )  n ) .   5 . 在△ A B C中 , 已知  B C A=9 0 。 , D是 


与B J交 于 

交 于点 G . 设 5是 直 线 

A F与 B C的交点 ,   是直 线 A G与 B C 的 交 

点. 证明: M 是 线段 S T的 中点.  

过顶 点 C的高 的垂 足. 设  是 线 段 C D 内部 

【 注】 △A B C的顶点 4所对 的旁 切圆是 
指 与边 B C相 切 , 并且与边 A B、 A C的 延 长 线 
相切 的圆.  

的一 点 ,   是 线段 A  上一点 , 使得 B K= B C,  
是线段 B X上一点 , 使得 A L=A C . 设  是  A L与 B K的交 点. 证明: MK=ML .  

2 . 设整数 n ≥3 , 正 实数 0   , 。 3 , …,   满 
足 n 2 n   …n  :1 . 证明 :   ( 1十口 2 )   ( 1+0 3 )   …( 1 +0   )  >  .  

6 . 求 所有 的 正 整 数  , 使 得 存 在 非 负 整  数 l , a 2 , …, a   , 满 足 
1  
+  

1  

一+  

1  

1  

+  

2  

一+  

n  

: 1。  

.  

3 . “ 欺诈 猜 数 游 戏 ” 在 两 个 玩 家 甲 和 乙 

之 间进行 , 游 戏 依 赖 于两 个 甲和 乙都 知 道 的  正整 数 k 、 n .  
游戏 开 始 时 , 甲 先 选 定 两 个 整 数  、 N   ( 1 ≤ ≤Ⅳ) . 甲如实告 诉 乙 Ⅳ的值 , 但 对  守  口如瓶 . 乙现 在 试 图 通 过 如 下 方 式 的提 问来 

参 考 答 案 
1 . 如图 1 , 设  C A B=  ,   A B C:  ,  
/ BC A=  .  

获 得关 于  的信 息 : 每次 提 问 , 乙任 选 一个 由 

若 干正 整 数 组 成 的 集 合 S( 可 以 重 复 使 用 之  前 提 问 中使 用 过 的集 合 ) , 问 甲“   是 否 属 于 



乙可 以 提 任 意 数 量 的 问 题. 在 乙 每 次 提 

问之后 , 甲必须 对 乙 的提 问立 刻 回答 “ 是” 或 

“ 否”, 甲 可 以说 谎 话 , 并 且 说 谎 的次 数 没 有  限制 , 唯一 的限制 是 甲在任 意 连续 k+1次 回  答 中至 少有 一次 回答 是 真话 .   在 乙 问完所 有 想 问 的 问 题 之 后 , 乙 必 须  指 出一个 至 多 包 含 n个 正 整 数 的集 合 X, 若 
属 于  , 则 乙获 胜 ; 否则 甲获胜. 证明 :  
1  

由于 . , 是  C A B 的角平 分 线 , 于是 ,  
/ J A K :/   =  
二 

.  

( 1 ) 若n 12 >   , 则 乙可保 证获 胜 ;   ( 2 ) 对 所 有 充 分 大 的 整 数  , 存 在 整 数  n ≥1 . 9 9   , 使得 乙无 法 保证 获胜 .  

因为  A K J=/ A L J= 9 0 。 , 所 以, 点 K、   在 以  为 直径 的 圆  上.   又B J是  K B M 的角 平 分线 , 因此 ,  

万方数据

中 等 数 学  MB J:9 0。一   .  

在 有 限次提 问后 ,乙可指 定 7 1 的一 个 n元 子 

而△ K B M 是 等腰 三角 形 , 于是 ,  
BM K :   .  

集, 使 得  E   T , 则 乙获 胜.   只需说 明 : 当I T I > 2  时 ,乙总 可确定 某 

个 Y∈ T , 使得 Y ≠  , 这 样 乙总 可 以 将  的  范 围缩 小到 2   个数 中.  
乙采取 如下 策 略.不 妨 将  其 中 2  +1  

同 理,  M C J = 9 0 。 一 手,  C M L = 手.  
故  删 =   MB J 一   B MF  
C ML   =   MB J一  


个 元 素记 为 { 0 , 1 , …, 2  一1 , 2   } .乙 先 反 复 
问“ 是 否  E { 2   } , ’ .若 甲连续 k+1次 回答 
“ 否” , 则 可确 定  ≠2   .如果 甲有 一 次 回答 

( 9 0 。 一 譬 ) 一 手 = 詈 = / / L A J .  

“ 是” ,从 这次 回答 之 后 ,乙依 次 对  1 , 2,  


所以, 点 F在 圆  上.   同理 , 点 G也在 圆 ∞上 .  



k , 问:  

“ 是否  E { t ∈ Z1 0 ≤f < 2   , 且t 的二进  制表 示 中 2  ‘ 的系数 为 0 } . , .   不论 甲对这 k个 问题 的 回答 如 何 , 恰 存 

由于  为 圆 ∞ 的直 径 , 于是 ,  
AF J=   A G J=9 0。 .  

因为 直线 A  与 B C关 于  A B C的外 角  平分 线 B F对 称 , 又A F上 曰 F, K M 上  F, 所  以, 线段 S M与A K关 于 F对称 .  
故S M =A K .   同理 , T M= A L .   因为 A K= A L , 所以, S M =T M.  

在一 个 Y   E{ 0, 1 , …, 2  一1 } , 使 得 若  =Y ,  
则 这 k个 回答 皆为谎 言 , 连 同之前 的一 次 回 

答 ,甲便 连续 撒谎 k+1 次 ,故 y #x .   ( 2 ) 下 面证 明 : 对任 意 的 l<  <2 ,如果 
=:

[ ( 2一  )   “]一1 , 则 乙无 法保 证获 胜.  
特别 地 , 取 定 一个  满足 1 . 9 9<  <2 , 对 

2 . 由平 均不 等式 , 对 k= 2 , 3 , …, n , 有 
( 1 +C t k )  


充 分大 的整 数 k有  / 7 , =『 ( 2一  )  + 1 ]一1>1 . 9 9   ,  

l (   +   一 ? +   (  )   ‘ %  

)  

即得所要 结论 .   事 实上 , 甲选 取 T={ l , 2 , …, n+1   f ,以 

及 任选 E   对 甲的 一组 回答 ,记 mi 为 假 
设  =  时 , 甲的 回答 中包 含 最后 一 个 回答 的 

故( 1 +a 2 )  ( 1+ 口 3 )   …( 1+口   )  

连 续说 谎次 数 的最大 值.  
甲 的策 略如 下 : 每次 在 两种 回答 中选 择 
』  +

1 > 2  3   (   4   (  
n “ (  )   n  
= r t “
.  

…  

使; 碍咖= ∑  m i 较小的那个答案.  
接下 来说 明 甲按 此 方式 回答 , 任 何 时候 

总;   <   “, 从而 , 每个 m  ≤后 .   当口   (   =2 , 3 , …, 凡 ) 时, 上 式 等  特别 地 , m   ≤| i } ,即 甲至 多 说 谎 k次 , 并  且 乙在假 设  =i 时 ,甲 的 回答 仍 是 合法 的 ,  
即乙在任 意有 限次 提 问后无法 确 定任何 一个  i ∈ T是否 不等 于 .从 而 , 乙不 能保证 获胜 .   再证 明 : 西<   “.  


号成 立 , 这与 C t 2 a 3 …口   =1 矛盾 .  
因此 , ( 1+ 0 2 )   ( 1 + 口 3 )   …( 1 + 口   )  > r t “ .   3 . ( 1 ) 将 问题 改述 为 :  

甲选 定 一 个 有 限 集  和 其 中 一 个 元 素 



将  告 诉 乙 , 但 乙不 知 道 .乙每 次 任选  个   的子集 s ,问 甲“ 是否  ∈ S ” . 甲回答 

开始 , 每个 m   = 0, 故  =n+1 <   ”.  

假设 若 干 次 回答 后 ( b <   “, 现乙问“ 是  否.  E   S ” . 回答 “ 是” 或者 “ 否” 分 别 产 生 的 

“ 是” 或“ 否” ,甲至 多连续 说 k次谎话 .如 果 

万方数据

2 0 1 2年 第 9期 

21  

两个  值 为 
。 =

3 )=   一1 ): 厂 ( 1 )=k .  
故 对 于所 有 的 n   E   Z, 有 

∑1 + ∑  “ ,  

: =

∑1 + ∑  .  

I 厂 ( 4 n )= 0,   4 n+1 )=  4 n+ 3 )=k ,  
4 n+ 2 )= 4 k .   当  4 )=1 6 k ≠0时 , 令 
a=1, b=2, C=一3 .  

由定 义  咖:mi n (   , 咖   )  
1   1  

≤ ÷( 咖 l + 咖 2 ) :   _ (  咖 + n + 1 )  
< ÷[   + ( 2 一   )  “] =  “ .  
二 

则厂   ( 3 )一1 0   3 )+ 9 k   =0 .   所以 ,   3 ) E{ k , 9 k } .  

令 口=1 , b =3 , C=一 4 . 则 
厂   ( 3 )一 3 4 k f ( 3 ) +2 2 5 k   : 0 .  

结 论证 毕.  

4 . 令 0=b= C: 0 , 得 
3 f   ( 0 )= 6 f   ( 0 ) .  

所以,   3 ) E{ 9 k , 2 5 k } .  
故  3 ):9 k .  

所以 , 厂 ( 0 ): 0 .   令 b:一a , c = 0 , 得 

① 

下 面用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 于 任 意 的 
E   Z, 有 

(  口 )一   一0 ) )  = 0 .   因此,   是 偶 函数 , 即对所 有 a   E  Z, 有 

) =k x   .  

当 k= 0, 1 , …, 4时 , 命 题 已经成 立.  

0 ) :  一 a ) .   ②  令 b =a , c =一 2 a, 得  ( n )+  。 ( 2 a ) = 2 f   ( 口 ) +   口   厂 ( 2 o ) .  
所 以, 对所 有 0   E  Z, 有 

假设 命 题对  = O, 1 , …, 1 2 ( n ≥4 ) 成立 .  
令 0= 凡 , b=1 , c =一 r t 一1 , 贝 0  

n+1 ) E{ k( n+1 )  , k( 几一1 )  } .   令 Ⅱ=n一1 , b=2 , c=一1 1 , 一1 , 贝 Ⅱ  

2 a )= 0或  2 a )=   0 ) .   若 对某 个 r ≥l ,   r )= 0 , 则令 
b: r, c= 一 a — r ,  

③ 

厂 ( 凡+1 ) ∈{ k( 1 7 , +1 )  , k( n一 3 )  } .  
又当 n ≠2时 , k ( n一1 )  ≠  ( n~ 3 )  , 贝 0   凡+1 )=k( n+1 ) 2 .   这 就 证 明了  )=   (  E   N) .   而厂是偶函数 , 于是 , 对于任意的  E   Z, 有 
)=k x   .  



( 厂 ( Ⅱ+ r )一 _ 厂 ( 口 ) )  = 0 .  

从而,   是以 r 为周 期 的周 期 函数 , 即对  于所 有 的 0   E   Z, 有 
+r ):   ) .   特别地 , 若  1 )= 0, .  ̄ J l f是 常 数.   于是 , 对于 所有 的 n   E  Z, 有 
0 )= 0 .  

综上 , 可 得 
(  )= 0,   (  )=k x   ,  

(   ) = { : :   x   m 0 l ( m o 。 d   2 )  


下 面假设 - 厂 ( 1 ) =k ≠0 .  

0,  

0 ( m o d   4 ) ;  

由式③知  2 )=0或 _ 厂 ( 2 )= 4 | i } .   若  2 )= 0, 则 是 以 2为周期 的周期 函 
数. 故对 于所 有 的 n   E  Z, 有 
2 n )= 0,   2 n+1 )=k .  

厂 4 (  ) ={ k ,  
L 4 k ,  

z1 ( o r o d   2 ) ;  
E2 ( o r o d   4 ) ,  

其中 , k是 任意 非零 整 数.  

最后 检 验上 述符 合题 设 条件 .  
显然 ,   和  满足 题设 条件 .  

若  2 )= 4 k ≠O , 由式 ③ 知 
4 )= 0或 l 厂 ( 4 ):1 6 k .  

对 于  , 当a , b 、 c 均 为偶 数 时 , 得 
口 )=  6 )=  c )= 0,  

当, ( 4 )= 0时 , _ 厂 是 以 4为 周 期 的周 期  函数 , 且 

满 足 题设 条件 ;  

当Ⅱ 、 6 、 c为 一 偶 两 奇 时 , 左边等 于 2   。 ,  

万方数据

2 2  

中 等 数 学 

右边 也等 于 2  , 故 满 足题设 条件 .   对 于  , 由对 称性 及 0   4 - 6 - I - c = 0 , 只需 考  虑(  口 ) , 厂 ( b ) ,   c ) ) 为 
( 0 , k , k ) , ( 4 k , k , k ) , ( 0   , 0 , 0 ) , ( O , 4 k , 4 k )   这 四种情 形.  

所 以, MK = ML .  

6 . 假 设  满 足 条 件 ,即存 在 非 负 整 数  口 l , 0 2 , …, 口   ,使得 

∑2  = ∑  ? 3  =  
对 第二 个等 式两边 去 分母后 模 2得 

显然 , 它 们都 满 足题设 条件.   5 . 如 图 2, 设 C   是 点 C关 于直 线 A B的 

∑i =   1  ( n + 1 )  1 ( m o d   2 ) .  
i =l   厶 

对称 点 , 圆  和  分 别是 以点 A和 口为 圆 
心、 A  和 B K为半 径 的 圆.  

故n E   1 , 2 ( o r o d   4 ) .  

首 先证 明这个 条件 也 是充 分 的 ,即所 求  凡: 勾满 足 / 7 , =1 , 2 ( m o d   4 ) 的所有 正整数 .   如 果将 由正 整 数 构 成 的有 限 可 重 集 合 

、  

/ 

B: ={ b   , b   , …, 6   } 中元 素一 数n 1 , 口 2 , …, 0   , 使 得 

对 应 于非 负 整 

∑2  = ∑6   ? 3  r 一 1  
成立 , 则 称集 合  是 “ 可行 的 ” .   注意 到 , 若 B是可行 的 , 则 将  中任 意 

、 \ \ \  

D  
i   i | \ 、  

, , , /  



个元 素 b 替换 为两个正 整数 u 、  满 足 / Z +  

\ 、   l |  
\  

|  , /  

= 3 b ,所得集 合记 为  ,则  仍 为 可行 的.  
否则, 假设 6 对 应 的非 负整数 为 n , 将 、  均  对 应 于 口+1 , 其余 数 均对应 于原 先 的数.  
由于 2 一  + 2   ~: 2~,  
M? 3…   +  ? 3一   =b? 3一 .  

≮  ,   /  
图 2  

故  是可行 的. 把若 干次 这 种 替换 后 可从 B  
产: 生8   记为 日 一8   .  

因为 A C  =A C: A L, B C  =B C=B K, 所  以, 点 C、 C   均在 圆  、  , 上.   由于  B C A:9 0 。 , 于是 , 直线 A C与 圆  切 于 点 C, 直线 B C与 圆  切 于点 C .   设  是直 线 A  与 圆  的不 同 于 点 K  
的另一 个交 点 ,   是 直线 B X与 圆 ∞。 的 不 同  于 点 £的 另一个 交点 .   由圆幂 定理 得 
XK? XKl=XC? XC =XL? XL1 .  

特别地 , 若 b∈ B,可将 b替 换 为 b 、 2 b ,  
则: 有B — +  U { 2 b } .  

其 次证 明 : 对每个 正整 数 
n §1 , 2 ( oo r d   4 ) ,  

B  ={ 1 , 2 , …, n} 都是 可行 的.   注意 到 , B , 是 可行 的 , 取0 , = 0即可.   因为 曰   一B : , 所以,   是可行 的 .   般地 , 对n  1 ( m o d4 ) , 若日   是 可行  的 ,由于 B   一B   + , , 从而 , B 川 也 是可行 的.  


所 以, K 1 、 L 、 K、 L l 四点共 圆 , 记该圆为 ∞   .  
对 圆 ∞: 应 用 圆幂定 理得 
AL   =AC =AK ? AK, .  

故 只需对 / / , ;1 ( oo r d   4 ) 来证 明 层  是 可 
行 的.  

这 说 明直线 A L与 圆 C . O   切 于点 己 .   同理 , 直线 B K与 圆 ( c J  切于 点  于是 , MK、 ML是从 点  到 圆  的两 条 
切线.  

因为 B   一{ 1 , 3 , 3 } 一{ 1 , 3, 4, 5 } 一B   , 所  以, B  是可行 的.  
又 因为 

B   一{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 } 一   { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9 }  

万方数据

2 0 1 2年 第 9期 

2 3  

第5 2届 I M O预 选 题 ( 一)  
中 图 分 类 号 :G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 2) 0 9—0 0 2 3— 0 4  

代 数 部 分 
1 . 本届 I MO第 1 题.   2 . 求 所有 正 整数 数 列  ,  : , …,  : 。   使 
得 对 于每 个正 整数 凡 , 都存 在 整数 口满足  +2   n 2 +… + 2   0 1 l   ; 0 l l =a   +1 .   3 . 求 所 有 从 实 数 集 到 实 数 集 的 函 数 对  ( f , g) , 满 足对 于所 有 实数 、 , , 有 
g (   +Y ) )=   )+( 2 x+ Y ) g ( Y ) .  

集 中的三 个数 是某 个 钝角 三角 形 的三边 长.  

6 . 本届 I MO第 3题 .   7 . 设 正实 数 a 、 b 、 c 满足  ai r n { a+b , b +C , c+ a} > √ 2,  
n   +b 。+ c   =3
. 

证 明:  
a   b   c   3  

面 

+  

+  

≥  

4 . 求 所有 从正 整数 集 到正 整数 集 的 函数 
对( I 厂 , g ) , 满 足对 于每 个正 整 数 n有  厂 - g ‘   ’  ( n )+ g   ( n )  
=   +1 )一 g ( 凡+1 )+1 ,  

参 考 答 案 
1 . 本届 I MO第 1 题.  
2 . 只有 一个 数 列 
七, … , (  l ,   2 , …, . 1 5 2   0 l 1 )=( 1 , 七 )  




其 中, f   ( n )=  
—  

一   n ) …) ) .  

■ 

满 足条 件 , 其 中,  
矗=2 +3 +… +2   O1 1=2   02 3   06 5 .  

5 . 证明 : 对 于 每个 正 整数 凡 , 集 合 
{ 2 , 3 , 4 , …, 3 凡+1 }  

事 实上 , 若  = 2   0 2 3   0 6 5, 则 
1   +2   + … +2   01   1  

能被 分 拆 为 凡个 三元 子 集 , 使 得 每 个 三 元 子 
一层 9 \ { 8 } 一日 9 .  

4后 +4, 4   +6, … , 4   +l 2.  

所 以, 风 是 可行 的.  

注意到,  

≤4 七+ 2 .  

而 风一 { 1 , 2 , …, 7, 9 , 1 1 , 1 3} 一B   故 
是可 行 的.   上 面 后 一 步 多 次 利 用 了添加 2 6的 特 殊 

剩下 的六个 奇数 4 后+ 3 , 4  + 5 , …, 4  +1 3  

模 3余 0、 l 、 2各两 个 , 将 其 中 两个 模 3余 0   的数 记 为 。 、  , 余 下 四个数 取模 3余 1和模 

情形 .依 次添 加 8 、 1 0和 l 2 .   由曰 6 — +   5   t _ J { 7, 1 1 } — + B   u{ 1   1 }  
—  

3 余 2的各一个 , 组成 两对 , 记 为 : 、   : 和 
3、  3.

u{ 9, 1   1 , 1 5 } —  。 2   u{ 1 5}  

此时, 对i = 1 , 2 , 3 , 将b   : ÷( “   +  )  
^  

_ l 7 \ { 1 0 , 1 4 , 1 6 } 一B 1 7 ,  

替换 为  、  , 这 里 只需 注意 到 b   是偶 数 , 又 

知B   是 可 行 的.  

最后, 对 任意整数 矗 > i 2 , 证明  + :  
即完成 本题 证 明.  

,  

可 以通过  立刻补 回 b   , 最后 得 到 
故结 论 成立.   ( 熊 斌

, .  

先 通过 若干 次 添加 2 6的操作 , 依 次 添加 

提供 )  

万方数据

第53届IMO试题解答
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 中等数学 High-School Mathematics 2012(9) 1次

引证文献(1条) 1.尹广金 一道美国数学奥林匹克试题的引伸[期刊论文]-中学数学研究 2013(11)

引用本文格式:第53届IMO试题解答[期刊论文]-中等数学 2012(9)


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