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云南省玉溪一中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷


玉溪一中 2015~2016 学年上学期高三年级期中考 文科数学试卷
命题人: 考试时间:120 分钟 满分:150 分 常文浩 审题人:龚其斌

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.若集合 A ? {2,3}, B

? {x x ? 5 x ? 6 ? 0}, 则A ? B ? (
2

) D.2,3

A.{2,3}

B. {( 2,3)}

C. {x ? 2, x ? 3} ( )

2.若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 A. ?1 ? i 3.已知函数 f ( x) ? A.(0,1) B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. 1 ? i )

6 ? log 2 x. 在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( x
B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

? x?2?0 ? 4.若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.



?1

B. 0

C. 1

D. 2

5.函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
3

相邻两个对称中心的距离为 )(? ? 0) )

?
2

,以下哪个区间

是函数 f ( x) 的单调减区间( A. [?

?
3

,0]

B. [0,

?
3

]

C. [

, ] 12 2

? ?

D. [

? 5?
2 , 6

]
)

6.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 5? ,则 sin( a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B.

3 2

C.

1 2

D. ?

3 2

7.已知程序框图如图,若 a ? 0.6 , b ? 3 , c ? log 0.5 5 ,则输出的数是(
2 0.5



A. a

B. b

C. c
?

D. d

8.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 3, ?BAC ? 30 , CD 是边

??? ? ??? ? AB 上的高,则 CD ? CB ? (
A. ? C.

)

9 4

B.

9 4 27 4
2 线上的任意一点, P 点 3
)

27 4
x

D. ?

9.设点 P 是曲 y ? e ? 3 x ?

处的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是( A. [ ? , ? )

? 5? [0, ) ? [ , ? ) 2 6 10.若 log 4 ? 3a ? 4b ? ? log 2
C. A. 6 ? 2 3

2 3

? 2? [0, ) ? ( , ? ) 2 3 ? 5? D. [ , ) 2 6 ab ,则 a ? b 的最小值为( )
B. C. 6 ? 4 3 D. 7 ? 4 3

(第 7 题图)

B. 7 ? 2 3

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8 x 有一个共同的焦点 F ,两 a 2 b2
)

曲线的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为( A. 3
2

B. 2
2

C. 6

D. 3

12.函数 f ? x ? ? x ? a ( a ? 0 ), f ? m ? ? f ? n ? ,且 m ? n ? 0 ,若点 P ? m, n ? 到直线

x ? y ? 8 ? 0 的最大距离为 6 2 时,则 a 的值为(
A.

) D. 3 2

2

B. 2 2

C. 4

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知 sin 2? ?

?? 2 2? ,则 cos ? ? ? ? ? ________. 4? 3 ?
(第 14 题图)

14.如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中

随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为________. 15. 一个空间几何体的三视图如右图,其中正视图是边长为 2 的正
(第 15 题图)

三角形,俯视图是边长分别为 1,2 的矩形,则该几何体的侧面积为________.

16.数列 {an } 的通项 an ? n (sin
2

2

n? n? ? cos 2 ), 其前 n 项和为 S n ,则 S30 =______. 3 3

三、解答题:本大题共 8 小题,考生作答 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过 程 和演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c , 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 18. (本小题满分 12 分) 某驾校为了保证学员科目二考试的通过率,要求学员在参加正式考试(下面简称正考) 之 前必须参加预备考试(简称预考) ,且在预考过程中评分标准得以细化,预考成绩合格 者 才能参加正考.现将 10 名学员的预考成绩绘制成茎叶图,规定预考成绩 85 分以上为合 格, 不低于 90 分为优秀。若上述数据的中位数为 85.5,平均数为 83. (Ⅰ)求 m, n 的值,指出该组数据的众数,并根据平均数以及参加正考的成绩标准对该 驾 校学员的学习情况作简单评价; (Ⅱ)若在上述可以参加正考的学员中随机抽取 2 人,求其中恰有一人成绩优秀的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. (Ⅰ)求证:BB1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求三棱锥 B1-A1DC 的体积.

20.(本小题满分 12 分) 设 F1,F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l b2

与 E 相交 于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求实数 b 的值.

21. (本小题满分 12 分). 已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 在点 ? ?1, f ? ?1? ? 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ? 1

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)设 g ? x ? ? ln x,当x ? ?1, ?? ? 时,求证: g ? x ? ? f ? x ? ; (Ⅲ)已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a . ? 2 b?a a ? b2

选考:请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C : ? ? 2a cos ? (a ? 0), l : ? cos(? ? 有一个公共点. (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)设 O 为极点, A, B 为 C 上的两点,且 ?AOB ? 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 1 ? 2 x ? 1 ? x . (Ⅰ)解不等式 f ? x ? ? 4 ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 a ? 2a ? 1 ? x ? f ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

?
3

)?

3 , C与l 有且仅 2

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

玉溪一中 2015~2016 学年上学期高三年级期中考 文科数学试卷答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

题号 答案

1 A

2 C

3 C

4 D

5 C

6 D

7 B

8 B

9 B

10 D

11 A

12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 题号 答案 13 14 15 16

1 6

1

?

4? 3

? 470
出文字说明、证明

三、解答题:本大题共 8 小题,考生作答 6 小题,共 70 分.解答须写 过程和演算步骤。 17.解:(1) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B

? cos A ?

1 ? ? A? 2 3 3 ? b2 ? a 2 ? c2 ? B ?

(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a ? 在 Rt ?ABD 中, AD ? 18. (本小题满分 12 分)

?
2

AB 2 ? BD 2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

19. (本小题满分 12 分) (1)证明:∵AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB. 又∵CD⊥DA1,

∴CD⊥平面 ABB1A1. ∴CD⊥BB1.

BB1 ? 平面ABB1 A1

又 BB1⊥AB,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面 ABC (2)由(1)知 CD⊥平面 AA1B1B,

故 CD 是三棱锥 C-A1B1D 的高. 在 Rt△ACB 中,AC=BC=2,∴AB=2 2,CD= 2.又 BB1=2, 1 1 1 4 ∴VB1-A1DC=VC-A1B1D= S△A1B1D· CD= A1B1×B1B×CD= ×2 2×2× 2= . 3 6 6 3 20. (本小题满分12分) (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,-------------------2 分 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . ----------------------------------------4 分 3 (2)因为左焦点 F1 ( ? c,0) ,设 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. ------------6 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组 y=x+c, ? ? ? 2 y2 化简,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. --------------------------8 分 ? ?x +b2=1. -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = . 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|. -----------------9 分 4 即 = 2|x2-x1|. 3 4?1-b2? 4?1-2b2? 8 8b4 2 则 =(x1+x2)2-4x1x2= ,解得 b= .----------------12 分 2 2- 2 = 9 2 ?1+b ? ?1+b ? ?1+b2?2 21.解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

b?a ? ?2 ,…………1 分 1?1


a ( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x ,………2 分 (1 ? x 2 ) 2

2a ? 2(b ? a) 2b b 解得: a ? 2, b ? ?2 . ? ? ? ?1 4 4 2 2x ? 2 ∴ f ( x) ? 2 . …………4 分 x ?1 2x ? 2 (Ⅱ)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.……5 分
2

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ? 2 , …………7 分 x

∵x ?1

∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h ?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成 立 .……9 分

b 2 ?2 b b (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . …………12 分 ? 2 ? 2 2 b?a a ? b2 b?a a ?b
22.解: (Ⅰ) 曲线 C : ? ? 2a cos ? (a ? 0) , 变形 ? ? 2a? cos ? (a ? 0) ,化为 x ? y ? 2ax
2 2 2

即 ( x ? a) ? y ? a
2 2

2

∴曲线 C 是以 (a,0) 为圆心,以 a 为半径的圆;

3 ,化为直角坐标方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 3 2 | a ?3| 由直线 l 与圆 C 相切可得 ? a ,解得 a ? 1.?? 5 分 2
由 l : ? cos(? ?

?

)?

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为 ? ,B 的极角为 ? ? 则 | OA | ? | OB |? 2 cos ? ? 2 cos(? ? 当? ? ? 解:

?

?
3

3

) ? 2 3 cos(? ?

?
6

)

?
6

时, | OA | ? | OB | 取得最大值 2 3.?? 10 分.


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