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等差数列及其前n项和


等差数列及其前n项和



【明确考纲】
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1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通 项公式与前n项和公式。 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系,并能用有关知识解决相应的问题。 3.了解等差数列与一次函数的关系。

知识

梳理
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一、等差数列的有关概念 1、定义:如果一个数列从第2项 起,每一项与它的前一 项的差等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示, an-an-1=d (n≥2,d为常数). 其符号语言为: 2.等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b 成 等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,则A= a ? b . 2 二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an=a1+(n-1)d. n?n ? 1? n?a ? a ? na ? d 2.前n项和公式:Sn= 2 = 2 .
1 n

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三、等差数列的性质 1.通项公式的推广: an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). 2. 若{an}为等差数列, m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq;若m+n=2p,则 am+an=2ap . 3.在等差数列{an}中,an,an+m,an+2m,…仍成等差数列, 公差为 md . 4. 若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍是等差数列, 公差为 n2d. 5.等差数列的增减性: 小 值; d>0时为递增 数列,且当a1<0时前n项和Sn有最____ d<0时为递减 数列,且当a1>0时前n项和Sn有最____ 大 值; d=0时为常 数列。

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四种方法 等差数列的判定方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同 一常数; (2)中项公式法:验证2an-1=an+an-2(n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证an=pn+q (p,q是常数,n∈N*) ; (4)前n项和公式法: 验证Sn=An2+Bn (A,B是常数,n∈N*). 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能 用来证明等差数列.

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思考辨析:
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是 常数,则这个数列是等差数列. ( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都 有2an+1=an+an+2. ( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( √ ) (4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为 常数),则数列{an}一定是等差数列.( √ ) (5) 在等差数列的前n项和公式 中, Sn 一定是关于n的二次函数. ( × ) (6)若数列{an}和{bn}都是等差数列,则数列{pan-qbn} (p,q为常数),也是等差数列. ( √ )

例题讲解:
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考点一、等差数列的基本运算 例 1: 在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

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解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3. 解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n (2)由(1)可知an=3-2n. 所以Sn=2n-n2. 进而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7为所求.

练习1、
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(1){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,则a3=0,则 公差d等于( B ) A.-2 B.C. D.2

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(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1= ,S4 =20,则S6等于 ( D ) A.16 B.24 C.36 D.48

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考点二、等差数列的性质及应用 例2:等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和 为100,则它的前3m项和为( C ) A.130 B.170 C.210 D.260

练习2、
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(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10 ,S20=30,则S30=________. 60

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(2)已知正项等差数列{an}的前20项和为100,那 么a6· a15的最大值为( A ) A.25 B.50 C.100 D.不存在

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考点三、等差数列的前n项和及其最值 例3:在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和 为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大 值,并求出它的最大值.

练习3、
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(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11, a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于 ( A ) A.6 B.7 C.8 D.9

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(2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若ak 10 +a4=0,则k=________.

小结:
通过本节课的学习,你最大的体验是什么?
1.要熟练应用通项公式及其变形公式. 2.要熟用和活用等差数列的中项公式及其推广. 3.等差数列的判定方法有: (1)定义法;(2)中项公式法;(3)通项公式法;(4)前n项和公式法; 4.重视从一般到特殊和从特殊到一般以及函数与方程等数学思想在 数列问题中的应用. 5.等差数列的性质可以大大简化解题过程. 6.注重化归与转化的思想,把某些问题转化为等差数列问题,再利用 等差数列的定义或性质求解.

课后思考:
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(1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和, 若a1= ,S2=a3,则a2= ;Sn= .

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(2)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差
d=-2,则前n项和Sn的最大值为________. (3)设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为前n 项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的 值为 ( ) A.5 B.6 C.5或6 D.11

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