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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象hjh


1.5函数 y=Asin(?x+?)的图象

在物理和工程技术的许多问题 中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ) 的函数解析式(其中A,ω,φ是常 数)如交流电、振动和波等.

y

复习:1
-1

-

y ? sin x x ?[0,2? ]
? 6



o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ]的图象上,起关键作用的点有:
( ,1) 最高点: 2

最低点: ( 32? ,?1) 与x轴的交点:(0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点 画出函数的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

-

?

正弦函数的图象
y 1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R
-4? -3? -2? -?

y
1

正弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例1 作函数 y ? sin( x ?

?

x
x?

?
3 ?
3 )

? 3
0
0 1

3 5? 6
? 2

) 及y ? sin( x ?
4? 3
?
0
y ? sin( x ?

?

4 11? 6
3? 2
-1

)的图象。
7? 3
2?
0

sin( x ?

1

y

?
3

?

?
4

)

O

?
3

2?
?
?
4 )

x

?1

y ? sin( x ?

一、函数y=sin(x+φ)图象
?

?
4

1

y ? sin( x ?

?
3

)

O
?1

?
3

2? ?
?
4 )

x

y ? sin( x ?

?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图 象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移 |φ|个单位而得到的。

1 例2 作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin x 的图象。 2
1. 列表: x
2x sin 2 x
0
0 0

?
? 2

4

?

2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

y 2 2. 描点:

连线:

1 O ?1 ?

y=sinx
2? 3? x

?2

y=sin2x

1. 列表:
x
1 x 2
sin 1 x 2

1 对于函数y ? sin x 2
0 0 0 ?
?
2

2?
?

3?
3? 2

? 4

2? 0

1

0

-1

2. 描点 作图:
y
1

1 y=sin x 2
2?

O ?1

?

3?

4? x

y=sinx

二、函数y=sin?x(?>0)图象
y 1 2? O ?1 ? 3? 4? x

y=sin1 x
2

y=sin2x y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变)。

2

y 1

y=sin1 x
2
2? 3?

O ?1

?

4?

x

y=sin2x y=sinx (? >0且?≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1 1 时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍(纵坐标 ? 不变) 而得到的。
?函数y=sin?x

1 例3 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

解:1.列表 x
sin x 2 sin x

0 0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?2 ?

y=2sinx y=sinx
2? x

y=

1 sinx 2

三、函数y=Asinx(A>0)的图象
y 2 1 O ?1

y=2sinx y=sinx
?
2? x

1 y= sinx ?2 2
y=2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 有点的纵坐标伸长到原来的2倍。
y= 2 sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 有点的纵坐标缩短到原来的 1 倍。 2
1

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最 大值 为A,最小值为-A.
? 函数y=Asinx

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 ? ? 例4 作函数y ? sin( 2 x ? ) 及y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 3 4 11? ? 2? 7? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?

?

sin( 2 x ? ) 3 y 1
O

3 ?

0
0

? 2

?
0

3? 2

2?
0
?

1

-1
y ? sin(2 x ? ) 3

?

? 2

?

x

?1

6

y=sin2x

y 1
?
8

?

O ?1

?

? 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?

?
7? 6

x

6

y ? sin(2 x ? ) 4

?

函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把 y=sinωx 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右 ? (当φ<0时)平移| |个单位而得到的。
?

?

巩固练习:

y ? 3 sin( ? ) 的图象? 2 6 x ? 2、怎样由函数 y ? 3 sin( ? ) 的图象得到函数 2 6 x y ? 3 sin 的图象?
2

x 1、怎样由函数 y ? 3 sin 的图象得到函数 2 x ?

x ? 3、怎样由函数 y ? 3 sin( ? ) 的图象得到函数 2 6 x ? y ? 3 sin( ? ) 的图象? 2 6

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈R的图象可以看作是用下面的方法得 到的:
1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0) 或右(φ<0)平行移动| φ|个单位; 2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或 伸长(0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不变); 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变);

理论迁移

例1 说明函数 的图象是 由函数 y ? sin x的图象经过怎样的变换 而得到的? p 右移 p 6 y = sin(x ) y ? sin x 6 1 p 横坐标伸长到原来的3倍 y = sin( x - )
3 6

1 ? y ? 2sin( x ? ) 3 6

纵坐标伸长到原来的2倍

1 p y = 2 sin( x - ) 3 6

x ? 问题:怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin( ? )的图象? 3 x6 所有点的横坐标

y ? sin x

途径一:

y ? sin x
途径二:

3 x ? y ? sin( ? ) 平移多少个单位? 3 6 x ? 所有点的纵坐标 y ? 2 sin( ? ) 伸长为原来的2倍 3 6 ? 所有的点向右 y ? sin( x ? ) 平移多少个单位? 6 x ? 所有点的横坐标 y ? sin( ? ) 伸长为原来的多少倍? 3 6 x ? 所有点的纵坐标 y ? 2 sin( ? ) 伸长为原来的多少倍? 3 6

伸长为原来的3倍 所有的点向右

y ? sin

定义: 当函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0), x ∈[0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这 个量振动时离开平衡位置的最大距离 , 通 常把它叫做这个振动的振幅 ; 往复振动一 次所需要的时间T=2π/ω,它叫做振动的周 期;单位时间内往复振动的次数 f=1/T=ω/2π,它叫做振动的频率 ; ωx+φ 叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相).

y ? A sin(? x ? j )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念 :
(1) A (2)T ? 2?

振幅
?

周期

1 ? (3) f ? ? T 2? (4)? x ? j (5) j

频率
相位 初相

例2 如图是某简谐运动的图象,试根 据图象回答下列问题:
y/cm 2
2p

A

E

0.4

O
-2

B

0.8 D

1.2

F

x/s

C

⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频 率各是多少?
y/cm 2 A E

振幅A=2 周期T=0.8s
1.2 F x/s

0.4
O -2

B

0.8 D

频率f=1.25

C

⑵ 从O点算起,到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往返运动?如从A点算 起呢?
y/cm 2 A E

O~D
1.2 F x/s

0.4

O
-2

B

0.8 D

A ~E

C

⑶ 写出这个简谐运动的表达式.
y/cm 2

5p y = 2 sin x , x ? [0, ? ) 2
A
E

0.4 O -2 C B

0.8 D

1.2 F
x/s


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