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【创新方案】2015届高考数学一轮复习第五章 第三节 等比数列及其前n项和教案 文


第三节

等比数列及其前 n 项和

【考纲下载】 1.理解等比数列的概念. 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

1.等比数列的相关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与

它的前一项的比等于同一常数, 那么这个数列叫做等比数列. (2)公比:指定义中的“同一常数”,通常用字母 q(q≠0)表示. (3)定义的符号表示:

an+1 an * * =q(q 是常数且 q≠0,n∈N ),或 =q(n≥2,n∈N ,q 为 an an-1

常数且 q≠ 0). 2.等比数列的通项公式及其推广 (1)等比数列的通项公式 n-1 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,q≠0,则它的通项公式 an=a1·q . (2)通项公式的推广 an=am·qn-m. 3.等 比中项 如果三个数 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等比中项,那么 = ,即 G =ab. 4.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1;当 a1 -qn a1-anq q≠1 时 ,Sn= = . 1-q 1-q 5.等比数列的性质 (1)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq. 2 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=ap. 2 (2)若等比数列前 n 项和为 Sn, 则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m 仍成等比数列, 即(S2m-Sm) =Sm(S3m * -S2m)(m∈N ,公比 q≠-1). (3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an k +3k,?为等比数列,公比为 q . 1.b =ac 是 a,b,c 成等比数列的充要条件吗? 2 提示:不是.b =ac 是 a,b,c 成等比数列的必要不充分条件,因为当 b=0,a,c 至 2 少有一个为零时,b =ac 成立,但 a,b,c 不成等比数列;若 a,b,c 成等比数列,则必有 b2=ac. a -an 2 3 n 2.若 a≠0,则数列 a,a ,a ,?,a ,?的前 n 项和为 Sn= 吗? 1-a a -an 提示:不一定.当 a=1 时,Sn=na1=n;当 a≠1 时,Sn= . 1-a
1
2

G b a G

2

1.(2013·江西高考)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 2 解析:选 A 由 x,3x+3,6x+6 成等比数列,知(3x+3) =x·(6x+6),解得 x=-3 或 x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24. 1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( ) 4 1 1 A.- B.-2 C.2 D. 2 2 1 1 a5 4 1 3 1 解析:选 D ∵a2=2,a5= ,∴ = = =q ,∴q= . 4 a2 2 8 2 3.在等比数列{an}中,已知 a7·a12=5,则 a8a9a10a11=( ) A.10 B.25 C.50 D.75 2 解析:选 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12) =25. n 4.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4 +a,则 a=________. n n-1 n 解析:当 n=1 时,a1=S1=4+a,当 n≥ 2 时,an=Sn-Sn-1=(4 +a)-(4 +a)=4 n-1 n-1 -4 =3×4 . 0 又∵该数列为等比数列,∴4+a=3×4 ,即 a=-1. 答案:-1 5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =________. 解析:∵8a2+a5=0,∴8a2=-a5,即 =-8. ∴q =-8,∴q=-2. a1 -q5 5 1-q S5 1-q 1- - ∴ = = 2= S2 a1 -q2 1-q 1- - 1-q 答案:-11
3

S5 S2

a5 a2

5 2

=-11.

数学思想( 八) 分类讨论思想在等比数列中的应用 分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: (1)已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况. (2)等比数列中遇到求和问题要分公比 q=1,q≠1 讨论. (3) 项数的奇、偶数讨论. (4)等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. 3 * [典例] (2013·天津高考)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且- 2 2S2,S3,4S 4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6
2

[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. [解] (1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为-2S2, S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4 a4 1 -S3,即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 3 3 ? 1?n-1 3 n-1 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×?- ? =(-1) · n. 2 2 ? 2? 2 ? 1?n (2)证明:Sn=1-?- ? , ? 2? 1 1 ? 1? Sn+ =1-?- ?n+ Sn ? 2? ? 1?n 1-?- ? ? 2?

? ?2+2 =? ? ?2+2

n

1 n + 1 n -

,n为奇数, ,n为偶数.

n

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ . Sn 6 [题后悟道] 1.数列与函数有密切的联系, 证明与数列有关的不等式, 一般是求数列中 的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解, 同时注意数列的增减性与函数 单调 性的区别. 2.本题易忽视对 n 的分类讨论,导致问题无法证明或证 明过程错误. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a≠0),则{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 n 解析:选 C ∵Sn=a -1(a≠0), ? ?S1,n=1, ∴an=? ?Sn-Sn-1,n≥2, ? 即 an=?
? ? ?a-1,n=1, ?
n

)

a- an-1,n≥2. 当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当 a≠1 时,数列{an}是一
个等比数列.

3


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