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宋健个性化辅导讲义 1-1


个性化辅导讲义
学生:宋健 科目: 数学 教研组签字:
函数 课 题 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和 值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求 选择恰当的方法表示简单的函数。 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 教学目标 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数

的单调性;理解函数 奇偶性的含义,会判断简单的函数奇偶性。 5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最 大(小)值. 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质. 函数单调性 奇偶性 对称性 周期性

第 1 阶段第 1 次课 教务处签字:

教师: 陈培艳 日期: 2014-07-15

重点、难点

教学内容
考点 1:映射的概念 考点 2:判断两函数是否为同一个函数 考点 3:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x ) 题型 1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f ( x ) (三种方法) 例 2. (09 湖北改编)已知 f ( 题型 2:求抽象函数解析式 例 1.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际 操作时要注意: ① 分母不能为 0; ② 对数的真数必须为正; ③ 偶次根式中被开方数应为非负数; ④零 指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定
1

1? x 1? x2 )= ,则 f ( x ) 的解析式可取为 1? x 1? x2
1 x

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义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研 究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 例 1.(08 年湖北)函数 f ( x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x

A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [,?4,0) ? (0,1] ;D. [,?4,0) ? (0,1) 答案: D 题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1. (2007·湖北)设 f ? x ? ? lg

2? x x? ?2? ,则 f ? ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2?;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
答案:B. 例 2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 例 3.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域 例 4.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域(-3<x<-1) 考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 如求函数 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ,可变为 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ? (cosx ? 1) ? 2 解决
2 2 2

(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
2 如函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3) 就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x ? 2 x ? 3 的值域来求。

2

2

2

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数 y ?

2x ? 1 3 ? 13 3 ? 13 的值域 [ , ] x ? 2x ? 2 2 2
2

(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ? (5)利用基本不等式求值域: 如求函数 y ?

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1

3x 的值域 x ?4
2

(6)利用函数的单调性求求值域:

如求函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 的值域
4 2
3 2

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ?[?3,3] 的最 小值。 (-48) (9)对勾函数法 像 y=x+

m , (m>0)的函数,m<0 就是单调函数了 x
2

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三种模型: (1)如 y ? x ? 求值域 (2)如 y ? x ?

4 ,求(1)单调区间(2)x 的范围[3,5],求值域(3)x ? [-1,0 ) ? (0,4], x

4 求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x ? 0 或 x ? 4) x?4,
1 x?3
, (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间

(3)如

y ? 2x ?

函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调增 区间;如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说

y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调减区间。
如果用导数的语言来,那就是:设函数 y ? f ( x) ,如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x ) 为区间

I 上的增函数;如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数;
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1) ①定义法 (取值――作差――变形――定号) ; ② 导数法 (在区间 ( a, b) 内, 若总有 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 , (2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? 型 函 数 的 图 象 和 单 调 性 在 解 题 中 的 运 用 : 增 区 间 为 (??, ?

b (a ? 0 , b ? 0) x

b b ],[ , ??) , 减 区 间 为 a a

[?

b b , 0), (0, ]. a a
(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若 f ( x ) 与 g ( x) 在定义域内都是增函数(减函数) ,那么 f ( x) ? g ( x) 在其公共定义域内

是增函数(减函数) 。 3、单调性的说明: (1) 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义 域; (2)函数单调性定义中的 x1 , x2 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ; 三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
3

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(3) 函数的单调性是对某个区间而言的, 所以受到区间的限制, 如函数 y ?

1 分别在 (??,0) 和 x

(0,??) 内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即 (??,0) ? (0,??) 内是单调递减的,只能
说函数 y ?

1 的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) 。 x

4、函数的最大(小)值 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒 成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值;如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有

f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值。
(二)考点分析
考点 1 函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性 例 1. (1)求函数 y ? log0.7 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间;
2

(2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.
2 2

解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) ,
3 2 2 2 (2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 , g ?( x) ? ?4 x ? 4 x ,
4 2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) . 例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.
2

解: 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1}, 则 f(x)=
x2 ? 1 ,

可分解成两个简单函数. f(x)= u ( x) , u ( x) =x -1 的形式.当 x≥1 时,u(x)为增函数, u ( x) 为增函数. ∴f(x)= x ? 1 在[1,+∞)上为增函数.当 x≤-1 时,u(x)为减函数, u ( x) 为减函数,
2

2

∴f(x)= x ? 1 在(-∞,-1]上为减函数.
2

题型 2:研究抽象函数的单调性 例 1 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

4

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f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,
(1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 . 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴ f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,∴ f ( x ) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ?

x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

x x2 ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. (3)

f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ,

2 2 ∵ f ( x ) 是偶函数∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x ?1|) ? f (4) ,

又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴ | 2 x ? 1|? 4 ,解得: ?
2

10 10 ?x? , 2 2

即不等式的解集为 (?

10 10 , ). 2 2

题型 3:函数的单调性的应用 例 1.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是
2

______(答: a ? ?3 )); 例 2 .已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围 _____ (答: x?2

1 ( , ??) ) ; 2
考点 2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的 单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等 式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得) 。 (4)导数法:当 函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几 何意义,在图上找其变化范围。 题型 1:求分式函数的最值

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例 1. (2007 上海)已知函数 f ( x) ? [解析]当 a ?

x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??). 当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值。 x 2

1 1 1 ? 2, f ' ( x) ? 1 ? 2 时, f ( x) ? x ? 2x 2x 2

? x ? 1 ,? f ?( x) ? 0 。? f ( x) 在区间 [1,??) 上为增函数。
? f ( x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 f (1) ?
题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围 例 2. (2008 广东) 已知函数 f ( x) ? 试求实数 a 的取值范围。

7 。 2

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). 若对任意 x ? [1, ??), f ( x) ? 0 恒成立, x

x 2 ? 2x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立;? x 2 ? 2 x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒 [解析]? f ( x) ? x
成立; ? x 2 ? 2 x ? ?a 在区间 [1,??) 上恒成立; ? 函数 y ? x 2 ? 2 x 在区间 [1,??) 上的最小值为 3,

??a ?3

即 a ? ?3

函数的奇偶性
(一)知识梳理
1、函数的奇偶性的定义:①对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 〔或

f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f ( x ) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f ( x ) 的定义
域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f ( x ) 为偶函数. 偶函数的图 象关于 y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说, 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x) (2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对 称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充
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分也不必要条件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和 (或差) ” 。如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.
(5)设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇

=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.

(二)考点分析
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年 山 东 ) 定 义 在 区 间 ( ?1,1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 的 x, y ? (?1,1) , 都 有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy
[解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f (

令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1)∴ f (x) + f (-x) = f ( ∴ f (-x) =-f (x)∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数

0?0 ) ? f (0) ∴ f (0) = 0 1? 0 x?x
1 ? x2

) = f (0) = 0

例 2. (1)函数 f ( x ) , x ? R ,若对于任意实数 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f ( x ) 为奇函数。 (2)设函数 f ( x ) 定义在 ( ?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取 值范围。 [解析]

f ( x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数? 对任意 x ? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ?

由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)

f ( x) 是定义在 (?2,2) 上减函数? ?2 ? 1 ? 2m ? m ? 1 ? 2 ,解得 ?

1 2 ?m? 2 3

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? 实数 m 的取值范围是 ?

1 2 ?m? 2 3

例 2 . 设 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 的 x, y ? R , 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 x ? 0 时

f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2
(1)求证 f ( x ) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x ) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。 例 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并在区间(-∞,0)内单调递增, f(2a +a+1)<f(3a -2a+1). 求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y=(
2 2

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2

[解析]设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.

1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 2 2 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a +a+1>3a -2a+1.解之,得 0<a<3. 3 2 5 2 又 a -3a+1=(a- ) - . 2 4 3 1 2 ∴函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调减区间是 [ , ??) 2 2 3 2 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2

函数的周期性
(一)知识梳理
1. 函数的周期性的定义: 对于函数 f ( x ) , 如果存在一个非零常数 T , 使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2.周期性的性质 (1)若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周 期为 T ? 2 | a ? b | ; (2)若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一 周期为 T ? 2 | a ? b | ; ( 3 )如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) 的周期函数;
8

则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a

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③若 f ( x ? a) ? 则 T ? 2a .

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立, f ( x) f ( x)

(二)考点分析
考点 2 函数的周期性 例 1.设函数 f ( x ) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( (1)证明: y ? f ( x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值 考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例 1 .(09 年江苏题改编)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒成立, 且 f ( x) ? 0 ,则 f (119) ? ________ 。

3 3 ? x ) ? ? f ( ? x ) 成立 2 2

[解析]由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 得到 f ( x ? 2) ?

1 ,从而得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,可见 f ( x ) 是以 4 f ( x) 1 f (1)

为周期的函数,从而 f (119) ? f (4 ? 29 ? 3) ? f (3) ,又由已知等式得 f (3) ?

又 由 f ( x ) 是 R 上 的 偶 函 数 得 f (1) ? f (?1) 又 在 已 知 等 式 中 令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? 1 , 即

f (1) ? 1 所以 f (119) ? 1
例 2.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) (1)求证: f ( x ) 是周期函数; (2)若 f ( x ) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 的个数。

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? x 在 ?0,2009 ? 上的所有 x 2 2

2.5 二次函数
(一)知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式(配方式) :f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解) :f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。
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2. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线, 对称轴 x ? (1)a>0 时,抛物线开口向上, 函数在 ( ?? ,? 时, f ( x) min ?

?b b 4ac ? b 2 , ) , 顶点坐标 (? 2a 2a 4a

b b ?b ] 上单调递减,在 [ ? ,?? ) 上单调递增,x ? 2a 2a 2a

4ac ? b 2 ; 4a
b b ?b ] 上单调递增,在 [ ? ,?? ) 上单调递减,x ? 2a 2a 2a

(2)a<0 时,抛物线开口向下, 函数在 ( ?? ,? 时, f ( x) max ?

4ac ? b 2 。 4a
2

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0)

M 1 M 2 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

? 。 a

4. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解, 有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0) ,

?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /(2a) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /(2a) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ? ? ? b /( 2 a ) ? ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 5 最值问题:二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[α ,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称 轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在 区间右边 要注意系数 a 的符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: 2 2 2 ① ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax +bx+c=0 无实根 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; 2 2 2 ② ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax +bx+c=0 有两个相等的实根 ? ax +bx+c>0(<0) 的解集为 ? 或者是 R; 2 2 ③ ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax +bx+c=0 有两个不等的实根
2
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? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ( ? , ??)
(二)考点分析
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考点 1.求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)= -1,f(-1)= -1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数。 法一:利用一般式

? ?a ? ?4 ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ? 2 2 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意得: ? a ? b ? c ? ?1 解得: ? b ? 4 ∴f(x)= - 4x +4x+7 2 ? 4ac ? b ?c?7 ?8 ? ? 4a ?
法二:利用顶点式 ∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 x ?

2 ? (?1) 1 ? 2 2

又最大值是 8

∴可设 f ( x) ? a ( x ? ) ? 8 (a ? 0) ,由 f(2)= -1 可得 a= - 4
2

1 2

1 ? f ( x) ? ?4( x ? ) 2 ? 8 ? ?4 x 2 ? 4 x ? 7 2
法三:由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)即 f(x)=ax -ax-2a-1,又
2

y max ? 8即

4a(?2a ? 1) ? a 2 ? 8 得 a= - 4 或 a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7 4a

例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求函数的解析式.
2 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2) ? b ,又∵ f ( x ) 截 x 轴上

的弦长为 4 ,∴ f ( x ) 过点 (? 2 ? 2,0) , f ( x ) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ?2
∴ f ( x) ?

1 ( x ? 2) 2 ? 2 2

考点 2.二次函数在区间上的最值问题 2 例 1.已知函数 f(x)= - x +2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 2 2 解:f(x)= -(x-a) +a -a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 1 a<0 时, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2? a ? ?1
0

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x
11

0

1a

x
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2 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2得a ?
0

2

1? 5 (舍) 2

3 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2
0

综上所述:a= - 1 或 a=2 2 例 2.已知 y=f(x)=x -2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。 答案: t ? 1 时, ymax ? t 2 ? 2, ymin ? t 2 ? 2t ? 3

1 ? t ? 1时, y max ? t 2 ? 2, y min ? 2 2 1 0 ? t ? 时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? 2 2

t ? 0时, ymax ? t 2 ? 2t ? 3, ymin ? t 2 ? 2
例 3.已知函数 y ? ? sin x ? a sin x ?
2

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,

a 2 1 2 a ( a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 4 2 a 1 2 (1)当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3 (舍去) . 2 4 a 2 1 2 a (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [ ?1,1] 单调递增, 2 4 2 1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 4 2 3 a 2 1 2 a (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [ ?1,1] 单调递减, 2 4 2 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3
∴ y ? ?(t ? ) ? 考点 3.一元二次方程根的分布及取值范围 2 例 1.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求 m 的范围。 思维分析:一般需从三个 方面考虑①判别式Δ ②区间端点函数值的正负③对 称轴 x ? ?

b 与区间相 2a
2

y

对位置。

解:设 f(x)=x +2mx+2m+1
-1 0 1 2 x

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(1) 由
y

题意画出示意图

? f ( 0) ? 2 m ? 1 ? 0 5 1 ? ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ? ? ? m ? ? 6 2 ? f (1)6m ? 5 ? 0 ?

( 2 )
0 1 x

? ??0 ? f (0) ? 0 1 ? ?? ? ? ? m ? 1? 2 2 ? f (1) ? 0 ? ?0 ? ?m ? 1

3 x ? k 在(- 1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2 9 5 3 2 k ? [? , ) 宜采用函数思想,求 f ( x) ? x ? x(?1 ? x ? 1) 的值域。 16 2 2
练习:方程 x ?
2

【反思归纳】 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题, 用图 象求解,主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。 例 2. 已知函数 f ( x) ? x ? (2a ?1) x ? a ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围.
2 2

解法一:由题知关于 x 的方程 x ? (2a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根为 x1 , x2
2 2

?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2
? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ? ?? ? 0

巩固作业 1.(2003 北京春,文 3,理 2)若 f(x)=

x ?1 ,则方程 f(4x)=x 的根是( x
C.-



A.-2

B.2

1 2

D.

1 2


2.(2003 北京春,文 4)若集合 M={y|y=2x},P={y|y= A.{y|y>1} B.{y|y≥1}


x ? 1 },则 M∩P 等于(
D.{y|y≥0}

C.{y|y>0}

3.(2003 北京春,理 1)若集合 M={y|y=2 x},P={y|y=
13

x ? 1 },则 M∩P 等于(



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A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} 4.(2003 北京春,文 8)函数 f(x)=|x|和 g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( A.(-∞,0 ] , (-∞,1 ] C.[0,+∞ ) , (-∞,1 ] 5.(2003 北京春,理 4)函数 f(x)= B.(-∞,0 ] , [1,+∞ ) D.[0,+∞) , [1,+∞) )

1 的最大值是( 1 ? x(1 ? x)
C.



A.

4 5

B.

5 4

3 4

D.

4 3


6. (2002 上海春, 5) 设 a>0, a≠1, 函数 y=logax 的反函数和 y=loga

1 的反函数的图象关于 ( x

A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.y=x 对称 D.原点对称 x 7.(2002 全国文 4,理 13)函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 等于( A.



1 2

B.2

C.4

D.

1 4

8.(2002 全国文,9)已知 0<x<y<a<1,则有( ) A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 2 9.(2002 全国文 10,理 9)函数 y=x +bx+c(x∈[0,+∞) )是单调函数的充要条件是( A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0 10.(2002 全国理,10)函数 y=1-



1 的图象是( x ?1



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