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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:2.2.2反证法]


选修 2-2

第二章

2.2

2.2.2

1 1.已知 a、b、c∈(0,1).求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能同时大于 . 4 [证明] 1 证法 1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 都大于 . ∵a、b、c 都是小于 1 的正数, 4 1 1 = , 4

2

?1-a?+b ∴1-a、1-b、1-c 都是正数. ≥ ?1-a?b> 2 同理 ?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 > , > . 2 2 2 2

三式相加,得 ?1-a?+b ?1-b?+c ?1-c?+a 3 + + > , 2 2 2 2 3 3 即 > ,矛盾. 2 2 1 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于 . 4 1 1 1 1 证法 2:假设三个式子同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,三式相乘得 4 4 4 4 1 (1-a)b(1-b)c(1-c)a>? ?3 ① ?4? 1-a+a?2 1 因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤? ? 2 ? =4. 1 1 同理,0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ . 4 4 1?3 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤? ?4? . ② 因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 1 3?1+an +1 ? 2?1+an ? 2.已知数列{an }满足:a1 = , = ,an an +1 <0(n≥1);数列{bn }满足: 2 1-an 1-an +1 bn =a n +1-an (n≥1). (1)求数列{an}、{bn }的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. [解析] 2 2 (1)由题意可知,1-a2 n + 1= (1-an ) . 3
2 2

2 令 cn =1-a2 n ,则 cn + 1 = cn . 3 3 3 2 3 2 n -1 又 c1 =1-a2 ( ) , 1 = ,则数列{ cn } 是首项为 c1 = ,公比为 的等比数列,即 cn = · 4 4 3 4 3 3 2 n- 1 2 3 2 n- 1 故 1-a2 ( ) ?an=1- · ( ) . n= · 4 3 4 3

1 又 a1 = >0,an an +1 <0, 2 故 an =(-1)n -1 3 2 n -1 1- · ? ? . 4 3

3 2n 3 2 n - 1 1 2 n- 1 2 bn =a2 ( ) ]-[1- · ( ) ]= · ( ) . n + 1-an =[1- · 4 3 4 3 4 3 (2)用反证法证明. 假设数列{bn }存在三项 br ,bs ,bt (r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn }是首项为 1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 br >bs >bt ,则只可能有 2bs =br +bt 成立. 4 3 1 2 s -1 1 2 r -1 1 2 t -1 ∴2·( ) = ( ) + ( ) , 43 43 43 两边同乘以 3t- 1 21- r ,化简得 3t- r +2t -r =2· 2s- r 3t -s . 由于 r<s<t,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列 {bn }中任意三项不可能成等差数列.


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