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广东省湛江市遂溪县2015届高三数学上学期第一次统考试卷 文(含解析)


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广东省湛江市遂溪县 2015 届高三上学期第一次统考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)在复平面内,复数 A. 第一象限 B. 第二象限 (i 是虚数单位)

的共轭复数 对应的点位于() C. 第三象限 D. 第四象限

2. (5 分)等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=() A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 3. (5 分)设函数 f(x)=cosx,把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为 y=f′(x) 的图象,则 m 可以为() A. B. C. π D.

4. (5 分)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时到 12 时的销售 额为()

A. 6 万元

B. 8 万元

C. 10 万元

D. 12 万元

5. (5 分)如图,在△ABC 中,AB=AC=BC=2,则

=()

A. 1

B. ﹣1

C. 2

D. ﹣2

6. (5 分)已知函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时, f(x)的值域是[n,m],则 m﹣n 的值是()

,且当 x∈[﹣3,﹣1]时,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. 1 D.

7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有下列四个命题 ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m? α ⊥β ④l⊥m? α ⊥β 其中正确的两个命题是() A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ D. ①与③

8. (5 分)如图圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= 的概率为()

,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在圆 C 内

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上

的一点,若∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. (5 分)如图所示的曲线是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1 +x2 等于()
3 2 2 2

A.

B.

x2

C.

D.

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14.15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 2 11. (5 分)已知命题 p 为真命题,q:y=(x﹣a) 在[1,+∞)为增函数,又¬p∨¬q 为假 命题,则 a 的取值范围是.

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12. (5 分) 已知函数 那么 a2=,an=.

, 对于数列{an}有 an=f (an﹣1) (n∈N , 且 n≥2) , 如果 a1=1,

*

13. (5 分)设函数 f(x)=|x+a|﹣2,若不等式|f(x)|<1 的解集为(﹣2,0)∪(2,4) , 则实数 a 的值是.

五、 14. (5 分)已知点 A(﹣3, ) ,B(3, ) ,O 为极点,则△ABO 的面积是.

五、 15.如图,⊙O1 与⊙O2 交于 M、N 两点,直线 AE 与这两个圆及 MN 依次交于 A、B、C、D、E; 且 AD=19,BE=16,BC=4,则 AE=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知向量 , ,且 .

(1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域. 17. (13 分)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1,AA1=AB=2a,D、E 分别为 CC1、A1B 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:AE⊥BD; (Ⅲ)求三棱锥 D﹣A1BA 的体积.

18. (13 分)某单位为解决职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m ) 2 的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m ,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 层的 2. 5 倍. 经工程技术人员核算, 第一、 二层的建筑费用都为 445 元/m , 以后每增 2014-2015 2 学年高一层,其建筑费用就增加 30 元/m .试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最小,并 求出其最小费用. (总费用为建筑费用和征地费用之和) 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,对一切正整数 n,点(n,Sn)都在函数 f(x)=2 ﹣4 的图象上. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=an?log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
x+2 2

20. (14 分)如图所示,椭圆

的离心率为

,且 A(0,1)是

椭圆 C 的顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l,在直线 l 上求一点 M,使得以椭圆 C 的焦点为焦点,且过 点 M 的双曲线 E 的实轴最长,并求此双曲线 E 的方程.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

+2x,g(x)=lnx.

(1)如果函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a>0,使得方程 =f(x)﹣(2a+1)在区间( ,e)内有且只有

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

广东省湛江市遂溪县 2015 届高三上学期第一次统考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)在复平面内,复数 A. 第一象限 B. 第二象限 (i 是虚数单位)的共轭复数 对应的点位于() C. 第三象限 D. 第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简复数,求出共轭复数,可得对应的点的坐标,即可得出结论.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:复数 = =﹣1﹣i,共轭复数 =﹣1+i,对应的点(﹣1,1)位

于第二象限. 故选 B. 点评: 本题考查复数的几何意义,考查复数的运算,正确化简复数是关键. 2. (5 分)等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=() A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,由等差数列中:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; 及 a5+a7=10,我们及得到 a1+a11 的值,进而根据等差数列前 n 项和公式得到 S11 的值. 解答: 解:S11= = = ×11 ×11=55, ×11

故答案选 C. 点评: 在等差数列中:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; 在等比数列中:若 m+n=p+q,则 am?an=ap?aq; 这是等差数列和等比数列最重要的性质之一,大家一定要熟练掌握. 3. (5 分)设函数 f(x)=cosx,把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为 y=f′(x) 的图象,则 m 可以为() A. B. C. π D.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)=cosx,把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后得到 f(x﹣m)=cos(x﹣m) , 而 y=f′(x)=﹣sinx,利用 cos(x﹣m)=﹣sinx,可得答案. 解答: 解:∵f(x)=cosx, ∴f(x)=cosx 又 f′(x)=﹣sinx=cos(x+ ∴cos(x﹣m)=cos(x+ f(x﹣m)=cos(x﹣m) , )=cos(x﹣ ) , ) ,

)=cos(x﹣

∴可排除 A、B、C. 故选 D. 点评: 本题考查余弦函数的图象,着重考查诱导公式及图象的平移变换,得到 cos(x﹣m) =﹣sinx 是关键,属于中档题.

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4. (5 分)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时到 12 时的销售 额为()

A. 6 万元

B. 8 万元

C. 10 万元

D. 12 万元

考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 计算题;图表型. 分析: 设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元, 因为组距相等, 所以对应的销售额之比等于 之比,也可以说是频率之比,解等式即可求得 11 时到 12 时的销售额. 解答: 解:设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依题意有 ,

故选 C. 点评: 本题考查频率分布直方图的应用问题.在频率分布直方图中,每一个小矩形的面积 代表各组的频率.

5. (5 分)如图,在△ABC 中,AB=AC=BC=2,则

=()

A. 1

B. ﹣1

C. 2

D. ﹣2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积运算即可得出. 解答: 解: = = =﹣2.

故选:D. 点评: 本题考查了向量的数量积运算,注意向量的夹角,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 6. (5 分)已知函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时, f(x)的值域是[n,m],则 m﹣n 的值是() A. B. C. 1 D. ,且当 x∈[﹣3,﹣1]时,

考点: 函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 可根据偶函数的性质求得 x<0 时 f (x) 的解析式, 再结合其图象分析函数的单调性, 从而确定答案. 解答: 解:∵当 x>0 时, ,∴x<0 时,﹣x>0, ,

∵函数 y=f(x)是偶函数,f(﹣x)=f(x) , ∴x<0 时, 由其图象可知, , 在[﹣3,﹣2]单调递减,在[﹣2,﹣1]单调递增, ,f(﹣1)=5>f(﹣3) ,∴f(x)max=f(﹣1)

∴f(x)min=f(﹣2)=4=n,又 f(﹣3)= =5=m, ∴m﹣n=1. 故选 C.

点评: 本题考查函数奇偶性的性质,难点在于对 x<0 时,对 析,属于中档题. 7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有下列四个命题 ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m? α ⊥β ④l⊥m? α ⊥β 其中正确的两个命题是() A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ D. ①与③

单调性的分

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 空间中线面位置关系的推理证明. 解答: ①因为 α ∥β 且 l⊥平面 α , 所以 l⊥平面 β , 又因为直线 m? 平面 β , 所以 l⊥m; ②α ⊥β ? l∥m 错误; ③因为 l∥m,直线 l⊥平面 α ,所以直线 m⊥平面 α ,又因为直线 m? 平面 β ,所以 α ⊥β ; ④l⊥m? α ⊥β 错误. 故选 D. 点评: 空间中线面位置关系的推理证明,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8. (5 分)如图圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= 的概率为() ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在圆 C 内

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型;扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇 形 AOB, 满足条件的事件是圆, 根据题意, 构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系, 进而根据面积的求法求得扇形 OAB 的面积与⊙P 的面积比. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,设圆 C 的半径为 r, 试验发生包含的事件对应的是扇形 AOB, 2 满足条件的事件是圆,其面积为⊙C 的面积=π ?r , 连接 OC,延长交扇形于 P. 由于 CE=r,∠BOP= ,OC=2r,OP=3r,

则 S 扇形 AOB=

=



∴⊙C 的面积与扇形 OAB 的面积比是 . ∴概率 P= , 故选 C.

点评: 本题是一个等可能事件的概率,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事 件同集合结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果.连接圆心和切点 是常用的辅助线做法,本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系.

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9. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上

的一点,若∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 等差数列的性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查的是双曲线的简单性质,要求出双曲线的离心率,关键是要根据已知构造 一个关于离心率 e,或是关于实半轴长 2a 与焦距 2C 的方程,解方程即可求出离心率,注意到 已知条件中,∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列,结合双曲线的定义,我们不难得 到想要的方程,进而求出离心率. 解答: 解:设|PF1|=m,|PF2|=n, 不妨设 P 在第一象限,

则由已知得

∴5a ﹣6ac+c =0, 2 方程两边同除 a 得: 2 即 e ﹣6e+5=0, 解得 e=5 或 e=1(舍去) , 故选 D. 点评: 解题过程中,为了解答过程的简便,我们把未知|PF1|设为 m,|PF2|设为 n,这时要 求离心率 e,我们要找出 a,c 之间的关系,则至少需要三个方程,由已知中,若∠F1PF2=90°, 且△F1PF2 的三边长成等差数列,我们不难得到两个方程,此时一定要注意双曲线的定义,即 P 点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值. 10. (5 分)如图所示的曲线是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1 +x2 等于()
3 2 2 2

2

2

A.

B.

x2

C.

D.

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. ′ 分析: 由图象知 f(﹣1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d 的值,由 x1 和 x2 是 f (x) =0 的根,使用根与系数的关系得到 x1+x2= ,x1?x2=﹣ ,则由 x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1?x2 代入 可求得结果. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x +bx +cx+d,由图象知,﹣1+b﹣c+d=0,0+0+0+d=0,
2 2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=﹣1,c=﹣2 ′ 2 2 ∴f (x)=3x +2bx+c=3x ﹣2x﹣2. 由题意有 x1 和 x2 是函数 f(x)的极值, 故有 x1 和 x2 是 f
2 2 ′

(x)=0 的根,∴x1+x2= ,x1?x2=﹣ . ,

则 x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1?x2= + =

2

故选 C. 点评: 本题考查一元二次方程根的分布,根与系数的关系,函数在某点取的极值的条件, 以及求函数的导数. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14.15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 2 11. (5 分)已知命题 p 为真命题,q:y=(x﹣a) 在[1,+∞)为增函数,又¬p∨¬q 为假 命题,则 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 由¬p 是假命题,¬q 是假命题,得出 q 是真命题,从而得出结论. 解答: 解:∵¬p∨¬q 为假命题, ∴¬p 是假命题,¬q 是假命题, ∴q 是真命题, 2 ∴y=(x﹣a) 在[1,+∞)为增函数, ∴对称轴 x=a≤1, 故答案为: (﹣∞,1] 点评: 本题考查了复合命题的真假,二次函数的性质,对称性,是一道基础题,
*

12. (5 分) 已知函数 那么 a2= ,an=
*

, 对于数列{an}有 an=f (an﹣1) (n∈N , 且 n≥2) , 如果 a1=1, (n∈N ) .

考点: 数列的函数特性;数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 由函数 及数列{an}有 an=f(an﹣1) (n∈N ,且 n≥2) ,我们不难由此得
*

到数列的递推公式,再由 a1=1,代入即可求出 a2 的值,并由递推公式不难得到数列的通项公 式. 解答: 解:∵函数 且数列{an}有 an=f(an﹣1) (n∈N ,且 n≥2) ,
*

∴an=

由 a1=1,则 a2=

=

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由 n=



3an?an﹣1=an﹣1﹣an 即 故数列{ 则 }是以一个以 1 为首项,以 3 为公差的等差数列

=3n﹣2 (n∈N ) (n∈N ) }是以一个以 为
* *

则 an= 故答案为: ,

点评: 如果一个数列的递推公式满足 kan?an﹣1=an﹣1﹣an,则表示数列{ 首项,以 k 为公差的等差数列.

13. (5 分)设函数 f(x)=|x+a|﹣2,若不等式|f(x)|<1 的解集为(﹣2,0)∪(2,4) , 则实数 a 的值是﹣1. 考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值不等式的意义解出用参数 a 表示的解集,利用同一性得出参数 a 的方程, 解出 a 的值. 解答: 解:∵f(x)=|x+a|﹣2,且|f(x)|<1, 即有﹣1<|x+a|﹣2<1, ∴1<|x+a|<3, ∴1<x+a<3 或﹣3<x+a<﹣1 ∴1﹣a<x<3﹣a 或﹣a﹣3<x<﹣a﹣1, ∵不等式的解集是(﹣2,0)∪(2,4) , ∴1﹣a=2,3﹣a=4,﹣a﹣3=﹣2,﹣a﹣1=0 应同时成立,解得 a=﹣1; 故答案为:﹣1. 点评: 考查绝对值不等式的解法,以及解的同一性.同一性在平时学习时不常用,故此处 用同一性得到方程,对一般的学生是个易错点. 五、 14. (5 分)已知点 A(﹣3, ) ,B(3, ) ,O 为极点,则△ABO 的面积是 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由点 A(﹣3, S= ) ,B(3, 即可得出. ) ,B(3, ) , ) ,可得∠AOB= ,利用△ABO 的面积

解答: 解:∵点 A(﹣3, ∴∠AOB= ,

∴△ABO 的面积 S= 故答案为: .

=

=



点评: 本题考查了极坐标的意义、三角形的面积计算公式,属于基础题. 五、 15.如图,⊙O1 与⊙O2 交于 M、N 两点,直线 AE 与这两个圆及 MN 依次交于 A、B、C、D、E; 且 AD=19,BE=16,BC=4,则 AE=28.

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用相交弦定理推出 AB?CD=BC?DE.设 CD=x,表示出 AB、DE 然后解出 x,再求出 AE. 解答: 解:因为 A,M,D,N 四点共圆,所以 AC?CD=MC?CN.同理,有 BC?CE=MC?CN. 所以 AC?CD=BC?CE,即(AB+BC)?CD=BC?(CD+CE) , 所以 AB?CD=BC?DE. 设 CD=x,则 AB=AD﹣BC﹣CD=19﹣4﹣x=15﹣x,DE=BE﹣BC﹣CD=16﹣4﹣x=12﹣x, 2 则(15﹣x)x=4(12﹣x) ,即 x ﹣19x+48=0,解得 x=3 或 x=16(舍) . AE=AB+DE﹣BD=19+16﹣7=28. 故答案为:28 点评: 本题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和解决问题 的能力,以及转化与化归的思想方法. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知向量 , ,且 .

(1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域. 考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;数量积的坐标表达式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)根据 tanA= 求得答案; 时,f(x)有最大 =0,利用向量的基本运算求得得 ,利用

(2)首先对函数 f(x)化简,然后根据 sinx∈[﹣1,1],可知当 值;当 sinx=﹣1 时,f(x)有最小值,求出函数的值域. 解答: 解: (1)由题意得 因为 cosA≠0,所以 tanA=2. (4 分) (2)由(1)知 tanA=2 得 , (2 分)

. (6 分) 因为 x∈R,所以 sinx∈[﹣1,1]. (7 分) 当 时,f(x)有最大值 ; (9 分)

当 sinx=﹣1 时,f(x)有最小值﹣3; (11 分) 故所求函数 f(x)的值域是 . (12 分)

点评: 本题考查向量的数量积,三角函数的二倍角,函数的值域,做题时注意正弦函数的 值域.属于基础题. 17. (13 分)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1,AA1=AB=2a,D、E 分别为 CC1、A1B 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:AE⊥BD; (Ⅲ)求三棱锥 D﹣A1BA 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理及线面平行的 判定定理即可得出; (Ⅱ)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明; (Ⅲ)利用三棱锥的体积计算公式即可得出. 解答: 证明: (Ⅰ)如图所示:取 AB 的中点 F,连接 EF、CF、ED. 又∵BE=EA1,∴ .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由已知得 ,∴ .

∴四边形 EFCD 为平行四边形, ∴ED∥FC. 又∵ED?平面 ABC,CF? 平面 ABC. ∴ED∥平面 ABC. (Ⅱ)由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1,可得 A1A⊥底面 ABC,∴A1A⊥CF. 由 F 是正△ABC 的边 AB 的中点,∴CF⊥AB. 又 A1A∩AB=A,∴CF⊥侧面 ABB1A1, ∵ED∥FC,∴DE⊥侧面 ABB1A1. ∴DE⊥AE. 在等腰△ABA1 中,由 AB=AA1,BE=EA1. ∴AE⊥A1B. 又∵A1B∩DE=E. ∴AE⊥平面 A1BD. ∴AE⊥BD. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知:DE⊥侧面 ABB1A1,且 . ∴ = = = .

点评: 熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及三棱锥的体积计算公式是解题的 关键. 18. (13 分)某单位为解决职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m ) 2 的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m ,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一 2 层的 2.5 倍. 经工程技术人员核算, 第一、 二层的建筑费用都为 445 元/m , 以后每增 2014-2015 2 学年高一层,其建筑费用就增加 30 元/m .试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最小,并 求出其最小费用. (总费用为建筑费用和征地费用之和) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题. 分析: 如果设楼高为 x 层,总费用为 y 元,那么征地面积为 m ,征地费用为
2 2

元,楼层建筑费用为{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(x﹣

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2)]}× ;则总费用 y=建筑费用+征地费用,整理化简,可得总费用 y 的最小值及对应的 x 值. 解答: 解:设楼高为 x 层,总费用为 y 元, 则征地面积为 ,征地费用为 元,

楼层建筑费用为{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(x﹣2)]}× ={445x+30[1+2+3+…+(x﹣2)]}× ={445x+[15x ﹣45x+30]}× ={15x+ 从而总费用为: 整理化简,得 当且仅当 ,解得 x=20(层)时,总费用 y 最小. (x>0) ; ,
2

+400}A 元,

故当这幢宿舍的楼高层数为 20 层时,最小总费用为 1000A 元. 点评: 本题考查了等差数列前 n 项和公式,基本不等式 a+b≥2 应用;本题中求前 n 项和时要注意项数是多少,以免出错.

(其中 a>0,b>0)的

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn,对一切正整数 n,点(n,Sn)都在函数 f(x)=2 ﹣4 的图象上. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=an?log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

x+2

考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (I)要求数列的通项公式,当 n 大于等于 2 时可根据数列的前 n 项的和减去数列的 前 n﹣1 项的和求出,然后把 n=1 代入验证; (II)要求数列{bn}的前 n 项和 Tn.可先求出该数列的通项公式,列举出数列的各项,然后利 用错位相减法得到数列的前 n 项的和即可. n+2 解答: 解: (I)由题意,Sn=2 ﹣4,n≥2 时, n+2 n+1 n+1 an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 3 当 n=1 时,a1=S1=2 ﹣4=4,也适合上式 n+1 * ∴数列{an}的通项公式为 an=2 ,n∈N ; n+1 (II)∵bn=anlog2an=(n+1)?2 , 2 3 4 n n+1 ∴Tn=2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ① 3 4 5 n+1 n+2 2Tn=2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ② 3 3 4 5 n+1 n+2 ②﹣①得,Tn=﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 +(n+1)?2 = =﹣2 ﹣2 (2 ﹣1)+(n+1)?2 =(n+1)?2 ﹣2 ?2 n+2 n+2 n+2 =(n+1)?2 ﹣1 =n?2 .
3 3 n﹣1 n+2 n+2 3 n﹣1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了利用做差法求数列通项公式,利用错位相减法求数列的前 n 项的和,以 及利用等比数列的前 n 项和的公式,学生做题时应注意利用做差法时讨论 n 的取值.

20. (14 分)如图所示,椭圆

的离心率为

,且 A(0,1)是

椭圆 C 的顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l,在直线 l 上求一点 M,使得以椭圆 C 的焦点为焦点,且过 点 M 的双曲线 E 的实轴最长,并求此双曲线 E 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;双曲线的标准方程. 分析: (1)根据 A(0,1)是椭圆 C 的顶点得 a 值,根据离心率为 ,求出 b 值,从而

求椭圆 C 的方程; (2)欲求双曲线 E 的方程,只须求出其实轴长即可, 而要使双曲线 E 的实轴最长,只需||MF1| ﹣|MF2||最大即可,根据对称性知,直线 F2F1′与直线 l 的交点即为所求的点 M 即能使||MF1| ﹣|MF2||最大,从而问题解决. 解答: 解: (1)由题意可知,b=1(1 分) ∵e=



∴a =5(3 分)

2

∴所以椭圆 C 的方程为:

(4 分)

(2)设椭圆 C 的焦点为 F1,F2, 则可知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 直线 l 方程为:x﹣y+1=0(6 分) 因为 M 在双曲线 E 上,所以要使双曲线 E 的实轴最长, 只需||MF1|﹣|MF2||最大. 又∵F1(﹣2,0)关于直线 l:x﹣y+1=0 的对称点为 F′1(﹣1,﹣1) , 则直线 F2F1′与直线 l 的交点即为所求的点 M(9 分) ∵直线 F2F1′的斜率为 k= ,其方程为:y= (x﹣2)

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解得

∴M(﹣ ,﹣ ) (12 分) 又 2a′=||MF1|﹣|MF2||=||MF1′|﹣|MF2||≤|F2F1′|= ∴a′max= ,此时 b′= , =1. (14 分) =

故所求的双曲线方程为

点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问 题.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在 2015 届高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉 及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、 分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

+2x,g(x)=lnx.

(1)如果函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a>0,使得方程 =f(x)﹣(2a+1)在区间( ,e)内有且只有

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 函数在某点取得极值的条件;二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 压轴题;数形结合;分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,则[1,+∞)为函数 f(x)的减 区间的子集,分 a=0,a>0,a<0 三种情况讨论即可; (2) )把方程 =f′(x)﹣(2a+1)整理为
2

,即方程 ax +(1

2

﹣2a)x﹣lnx=0,设 H(x)=ax +(1﹣2a)x﹣lnx(x>0) ,则原问题等价于函数 H(x)在区 间( ,e)内有且只有两个零点.利用导数判断出函数 H(x)的单调性、最小值,求出区间 端点处的函数值,借助图象可得不等式组,解出即可; 解答: 解: (1)①当 a=0 时,f(x)=2x 在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意; ②当 a>0 时,y=f(x)的对称轴方程为 x=﹣ ,y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,不符 合题意; ③当 a<0 时,函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调减函数,则﹣ ≤1,解得 a≤﹣2, 综上,a 的取值范围是 a≤﹣2;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)把方程 2a)x﹣lnx=0, 设 H(x)=ax +(1﹣2a)x﹣lnx(x>0) ,则原问题等价于函数 H(x)在区间( ,e)内有且 只有两个零点. H′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = =0,因为 a>0,解得 x=1 或 x=﹣ (舍) , = ,令 H′(x)
2

=f′(x)﹣(2a+1)整理为

,即方程 ax +(1﹣

2

当 x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数;当 x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H (x)是增函数.

H(x)在( ,e)内有且只有两个不相等的零点,只需

,即



所以

,解得 1<a<



所以 a 的取值范围是(1,

) .

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、方程根的个数问题,考查数形结合思想、分 类讨论思想、转化思想,考查学生对问题的分析解决能力,能力要求较高.

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