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2016届宁夏石嘴山三中高三(上)期末数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年宁夏石嘴山三中高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案 是正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上) . 1. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,3,4}, 则 A

∪(?∪B)=( ) A.{0,1,2,3} B.{1} C.{0,1} D.{0} 2. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)若复数 z=i(1+i) , (i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数是( ) A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 3. (5 分) (2014?长安区校级三模)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的 分组依次为[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100],若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人 数是( )

A.45 B.50 C.55 D.60 4. (5 分) (2014 秋?芗城区校级期末)某程序框图如图所示,若输出的 S=41,则判断框内应填(



A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7? ,则 z=2x+y 的取值范

5. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)若实数 x,y 满足约束条件 围是( ) A.[0,6] B.[1,6]

C.[1,5]

D.[2,4] , 2a2 成等差数列, 则 =

6. (5 分) (2010?湖北) 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1,

( ) A.1+ B.1﹣ C.3+2 D.3﹣2 7. (5 分) (2016?海南校级模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.6

B.8

C.10

D.12 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, )

8. (5 分) (2015 秋?保定期末)将函数 f(x)=sin(4x+ 再向右平移 A.x=

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线( B.x= C.x= D.x=

9. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)向如图中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图

中阴影部分的概率为( A. B. C.

) D. )

10. (5 分) (2016?湛江二模)设 α,β,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( A.α⊥β,α∩β=n,m⊥n B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥β,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α
2 2

11. (5 分) (2015?日照一模)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 A. B. ﹣y =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( C. D. )

12. (5 分) (2014?宁城县模拟)已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,

x4 满足 f (x1) =f (x2) =f (x3) =f (x4) , 且 x1<x2<x3<x4, 则 A. (20,32) B. (9,21) C. (8,24) D. (15,25)

的取值范围是 (



二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)已知向量



,若

与 平行,则 m

的值是______. 5 3 14. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)在(1+x) (2+x) 的展开式中,x 的系数为______(用数字作答) . 15. (5 分) (2010?广东模拟) 已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数, 数列{bn}满足 bn=lnan, b3=18, b6=12,则数列{bn}前 n 项和的最大值为______. 16. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)给出下列四个命题: ①函数 f(x)=lnx﹣2+x 在区间(1,e)上存在零点; ②在△ABC 中,已知 ③“a=1”是“函数 ? =4, ? =﹣12,则| |=4;

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;

④若命题 p 是:对任意的 x∈R,都有 sinx<1,则?p 为:存在 x∈R,使得 sinx>1. 其中所有真命题的序号是______. 三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2005?罗湖区模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosA= . ①求 的值.

②若 ,求△ABC 的面积 S 的最大值. 18. (12 分) (2016?西宁校级模拟)为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取 60 人, 从文史类乙班抽取 50 人参加环保知识测试 (1)根据题目条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断你是否有 99%的把握认为环保知识与专业有关 优秀 非优秀 总计 甲班 30 乙班 60 总计 (2)为参加上级举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,预选赛答卷满分 100 分,优秀的同学得 60 分 以上通过预选,非优秀的同学得 80 分以上通过预选,若每位同学得 60 分以上的概率为 ,得 80 分以上 的概率为 ,现已知甲班有 3 人参加预选赛,其中 1 人为优秀学生,若随机变量 X 表示甲班通过预选的

人数,求 X 的分布列及期望 E(X) .附:k =

2

,n=a+b+c+d

2 0.050 0.025 0.010 0.005 P(K >k0) 0.100 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 k0 19. (12 分) (2014?广东)如图,四边形 ABCD 为正方形.PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于 点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D﹣AF﹣E 的余弦值.

20. (12 分) (2016?池州一模)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点 O 为圆心,

椭圆 C 的长半轴为半径的圆与直线 2x﹣ y+6=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A,B 为动直线 y=k(x﹣2) (k≠0)与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存在点 E,使
2

+

?

为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由.
2

21. (12 分) (2015?贵州模拟)已知函数 f(x)=ax +x﹣xlnx(a>0) . 2 (1)若函数满足 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx +2x 恒成立,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 <x<y<1 时,试比较 与 的大小.

22. (10 分) (2014?长春一模)选做题:几何证明选讲 如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F, 延长 CF 交 AB 于 E. (1)求证:E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

23. (2015 秋?石嘴山校级期末)以平面直角坐标系的原点为极点,正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,设点 A 的极坐标为(2, 极坐标方程为 ρ= cos(θ﹣ ) . ) ,直线 l 过点 A 且与极轴成角为 ,圆 C 的

(Ⅰ)写出直线 l 参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线圆 C 交于 B、C 两点,求|AB|?|AC|的值. 24. (2015 秋?石嘴山校级期末)设函数 (1)求 a; 的最小值为 a.

(2)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求

2

2

的最小值.

2015-2016 学年宁夏石嘴山三中高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案 是正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上) . 1. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,3,4}, 则 A∪(?∪B)=( ) A.{0,1,2,3} B.{1} C.{0,1} D.{0} 【分析】由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 B 补集与 A 的并集即可. 【解答】解:全集 U={0,1,2,3,4},B={2,3,4}, ∴?∪B={0,1}, ∵A={1,2,3}, ∴A∪(?∪B)={0,1,2,3}, 故选:A. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)若复数 z=i(1+i) , (i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数是( A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:∵z=i(1+i)=i﹣1=﹣1+i, ∴ . 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 3. (5 分) (2014?长安区校级三模)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的 分组依次为[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100],若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人 数是( ) )

A.45 B.50 C.55 D.60 【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于 60 分的频率,结合已知中的低于 60 分的 人数是 15 人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量. 【解答】解:∵成绩低于 60 分有第一、二组数据, 在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为 0.005,0.01, 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3, 又∵低于 60 分的人数是 15 人,

则该班的学生人数是

=50.

故选:B. 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩形的高×组 距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键. 4. (5 分) (2014 秋?芗城区校级期末)某程序框图如图所示,若输出的 S=41,则判断框内应填( )

A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 【分析】模拟执行程序框图,k=5 时,S=41,由题意此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 41, 结合选项,判断框内应填:k>4? 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,k=1 k=2,S=2 不满足条件,k=3,S=7 不满足条件,k=4,S=18 不满足条件,k=5,S=41 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 41,结合选项,判断框内应填:k>4?, 故选:A. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.

5. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)若实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的取值范

围是( ) A.[0,6] B.[1,6] C.[1,5] D.[2,4] 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求 z 的取值范围. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

设 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A(0,1)时,直线的截距最小, 此时 z 最小,为 z=0+1=1, 当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线的截距最大, 此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 C(2,1) ,此时 z=2×2+1=5, 即 1≤z≤5, 故选:C. 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结 合是解决问题的基本方法.

6. (5 分) (2010?湖北) 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1, ( ) A.1+

, 2a2 成等差数列, 则

=

B.1﹣

C.3+2

D.3﹣2 )=a1+2a2,进而利用通项公式表示出 q =1+2q,求得 q,
2

【分析】先根据等差中项的性质可知得 2×(

代入

中即可求得答案.

【解答】解:依题意可得 2×( 即,a3=a1+2a2,整理得 q =1+2q, 求得 q=1± , ∵各项都是正数 ∴q>0,q=1+
2

)=a1+2a2,



=

=3+2

故选 C 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解. 7. (5 分) (2016?海南校级模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】通过三视图判断几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边的几何体,利用三视 图的数据,求出几何体的体积即可. 【解答】解:由几何体的三视图知:该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到 的, 由俯视图得长方体的长、宽分别是 0.6+2.4=3 和 2, 由正视图知长方体的高为 1+1=2, ∴长方体的体积 V=3×2×2=12. 故选 D. 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,正确判断几何体的形状与相关数据是解答问题的关键.

8. (5 分) (2015 秋?保定期末)将函数 f(x)=sin(4x+ 再向右平移 A.x=

)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, )

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线( B.x= C.x= D.x=

【分析】由题意根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(4x+ 的图象, 再向右平移 令 x= 个单位长度,得到函数 y=g(x)=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ )的图象. )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得 y=sin(2x+ )

,求得 g(x)=1,为函数 g(x)的最大值, ,

则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线 x=

故选:C. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.

9. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)向如图中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图

中阴影部分的概率为( A. B. C.

) D.

【分析】首先利用定积分公式,求出阴影部分的面积,然后代入几何概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解:阴影部分的面积 S=2× + 又边长为 2 的正方形的面积为:4, 故随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率 P= ; =1+2ln2,

故选:A 【点评】本题考查的知识点是几何概型,其中利用定积分公式,求出阴影部分的面积,是解答的关键, 难度中档. 10. (5 分) (2016?湛江二模)设 α,β,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( ) A.α⊥β,α∩β=n,m⊥n B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥β,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α 【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确,根据平面 α 与平面 β 的位置关系进行判定可知 选项 B 和 C 是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一 个平面,可知选项 D 正确 【解答】解:对于选项 A:α⊥β,α∩β=n,m⊥n,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m? α,故不 正确; 对于选项 B:α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 C:α⊥β,β⊥γ,m⊥α,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 D:因为 n⊥α,n⊥β,所以 α∥β,又因为 m⊥α,所以 m⊥β.正确, 故选:D. 【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断,根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的 关键. 11. (5 分) (2015?日照一模)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 A. B. ﹣y =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( C. D.
2 2



【分析】求得抛物线的准线方程,再由抛物线的定义可得 p=8,求出 M 的坐标,求得双曲线的左顶点和 渐近线方程,再由斜率公式,结合两直线平行的条件:斜率相等,计算即可得到 a 的值.

【解答】解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ , 由抛物线的定义可得 5=1+ ,可得 p=8, 即有 y =16x,M(1,4) , 双曲线 ﹣y =1 的左顶点为 A(﹣ x, ,
2 2

2

,0) ,

渐近线方程为 y=± 直线 AM 的斜率为

由双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, 可得 = ,解得 a= ,

故选 A. 【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质,主要考查抛物线的定义和渐近线方程,运用两 直线平行的条件是解题的关键.

12. (5 分) (2014?宁城县模拟)已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,

x4 满足 f (x1) =f (x2) =f (x3) =f (x4) , 且 x1<x2<x3<x4, 则 A. (20,32) B. (9,21) C. (8,24) D. (15,25)

的取值范围是 (



【分析】 画出函数 ( f x) 的图象, 确定 x1x2=1, x3+x4=12, 2<x3<x4<10, 由此可得则 的取值范围. 【解答】解:函数的图象如图所示, ∵f(x1)=f(x2) , ∴﹣log2x1=log2x2, ∴log2x1x2=0, ∴x1x2=1, ∵f(x3)=f(x4) , ∴x3+x4=12,2<x3<x4<10 ∴ ∵2<x3<x4<10 ∴ 的取值范围是(9,21) . =x3x4﹣(x3+x4)+1=x3x4﹣11,

故选:B.

【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综 合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)已知向量 的值是 . , ,若 与 平行,则 m

【分析】根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示,列出方程求出 m 的值. 【解答】解:∵向量 ∴2 ﹣ =(1,2﹣m) ; 又 与 平行, , ,

∴3(2﹣m)﹣m=0, 解得 m= . 故答案为: . 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题,是基础题目. 14. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)在(1+x) (2+x) 的展开式中,x 的系数为 120 (用数字作 答) . 5 5 3 【分析】根据(2+x) 的展开式的通项公式,计算在(1+x) (2+x) 的展开式中含 x 的项是什么,从而 3 求出 x 的系数. 5 【解答】解: (2+x) 的展开式的通项是 , 所以在(1+x) (2+x) =(2+x) +x(2+x) 的展开式中, 含 x 的项为
3 5 5 5 5 3



所以 x 的系数为 120. 故答案为:120. 【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是基础题目. 15. (5 分) (2010?广东模拟) 已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数, 数列{bn}满足 bn=lnan, b3=18, b6=12,则数列{bn}前 n 项和的最大值为 132 . 【分析】由已知条件推导出 a3=a1q =
2

3

=e ,

18

=

=e ,从而得到 an=e

12

24﹣2n

,bn=24﹣2n,

由此能求出{bn}的前 n 项和 Sn 的最大值. 【解答】解:∵等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数, 数列{bn}满足 bn=lnan,b3=18,b6=12, ∴a3=a1q = =
3 2

=e , =e ,
﹣6

18

12



=q =

=e ,

解得 q=e ,a1=

﹣2

=

=e ,
24﹣2n

22

∴{an}的通项公式为 ∵数列{bn}满足 bn=lnan, =24﹣2n, 当 n=12 时,bn=0 则当 n≥12 时,bn<0 ∴{bn}的前 n 项和 Sn 取最大值时,n=12, ∴Sn 的最大值是 S12=

=e



=6(24﹣2+24﹣24)=132.

故答案为:132. 【点评】本题考查数列的前 n 项和的最大值的求法,是中档题,解题时要注意对数函数性质的灵活运用. 16. (5 分) (2015 秋?石嘴山校级期末)给出下列四个命题: ①函数 f(x)=lnx﹣2+x 在区间(1,e)上存在零点; ②在△ABC 中,已知 ③“a=1”是“函数 ? =4, ? =﹣12,则| |=4;

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;

④若命题 p 是:对任意的 x∈R,都有 sinx<1,则?p 为:存在 x∈R,使得 sinx>1. 其中所有真命题的序号是 ①②③ . 【分析】①根据函数零点的存在条件进行判断即可.

②根据向量的数量积运算进行判断. ③根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件进行判断. ④根据含有量词的命题的否定进行判断即可. 【解答】解:①函数 f(x)=lnx﹣2+x 在区间(1,e)上为增函数, ∵f(1)=ln1﹣2+1=﹣1<0,f(e)=lne﹣2+e=e﹣1>0, ∴函数 f(x)在区间(1,e)上存在零点; ②在△ABC 中,已知 则 即 | ? ?( ﹣ ﹣ ? =16, )= ?( ﹣ )= ? =16, ? =4, ? =﹣12,

|=4;故②正确, 在定义域上是奇函数”,

③若“函数



=

=

,即解得 a=±1,故“a=1”是函数



定义域上是奇函数的充分不必要条件正确;故③正确, ④若命题 p 是:对任意的 x∈R,都有 sinx<1,则¬p 为:存在 x∈R,使得 sinx≥1.故④错误, 故答案为:①②③. 【点评】本题是命题的真假判断为载体考查了函数的零点,奇函数的定义,函数图象的平移,函数的对 称性,是函数与逻辑的综合应用.综合性较强难度不大. 三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2005?罗湖区模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosA= . ①求 ②若 的值. ,求△ABC 的面积 S 的最大值. = ﹣ ,利用诱导公式 cos( ﹣α)=sinα 化简所求式子的第一项,然后再利用

【分析】①根据

二倍角的余弦函数公式化为关于 cosA 的式子,将 cosA 的值代入即可求出值; ②由 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,根据三角形的面积公式 S= bcsinA 表 示出三角形的面积,把 sinA 的值代入得到关于 bc 的关系式,要求 S 的最大值,只需求 bc 的最大值即可, 方法为:根据余弦定理表示出 cosA,把 cosA 的值代入,并利用基本不等式化简,把 a 的值代入即可求出 bc 的最大值,进而得到面积 S 的最大值. 【解答】解:①∵cosA= , ∴

= = ② ∴ , , ∴ ∴ . 【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:诱导公式,二倍角的正弦、余弦函数公式,同角三 角函数间的基本关系,三角形的面积公式,以及基本不等式的应用,熟练掌握公式是解本题的关键. 18. (12 分) (2016?西宁校级模拟)为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取 60 人, 从文史类乙班抽取 50 人参加环保知识测试 (1)根据题目条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断你是否有 99%的把握认为环保知识与专业有关 优秀 非优秀 总计 甲班 30 乙班 60 总计 (2)为参加上级举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,预选赛答卷满分 100 分,优秀的同学得 60 分 以上通过预选,非优秀的同学得 80 分以上通过预选,若每位同学得 60 分以上的概率为 ,得 80 分以上 的概率为 ,现已知甲班有 3 人参加预选赛,其中 1 人为优秀学生,若随机变量 X 表示甲班通过预选的 , , , ; ,

人数,求 X 的分布列及期望 E(X) .附:k = P(K >k0) k0
2

2

,n=a+b+c+d 0.005 7.879
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

【分析】 (1)由题设条件作出列联表,根据列联表中的数据,得到 K = 7.8>6.635.由此得到有 99%的把握认为环保知识测试与专业有关. (2)由题设知 X 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 EX. 【解答】解(1)2×2 列联表如下 优秀 非优秀 总计 40 20 60 甲班 20 30 50 乙班



总计 K=
2

60

50

110 ≈7.8>6.635,

所以有 99%的把握认为环保知识与专业有关 (4 分) (2)不妨设 3 名同学为小王,小张,小李且小王为优秀,记事件 M,N,R 分别表示小王,小张,小李 通过预选,则 P(M)= ,P(N)=P(R)= 随机变量 X 的取值为 0,1,2,3 所以 P(X=0)=P( P(X=1)=P(M )= × × = , + N + R)= × × + × × + × × = , , (10 分) (5 分) (6 分)

P(X=2)=P(MN + NR+M R)= × × + × × + × × = P(X=3)=P(MNR)= × × = 所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X)=0× +1× +2× +3× =

(12 分)

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合 知识的合理运用. 19. (12 分) (2014?广东)如图,四边形 ABCD 为正方形.PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于 点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D﹣AF﹣E 的余弦值.

【分析】 (1)结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判 PC⊥平面 ADF,即得所求; (2)由已知数据求出必要的线段的长度,建立空间直角坐标系,由向量法计算即可. 【解答】解: (1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD, 又 CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面 PCD, ∴AD⊥PC,又 AF⊥PC, ∴PC⊥平面 ADF,即 CF⊥平面 ADF;

(2)设 AB=1,在 RT△PDC 中,CD=1,∠DPC=30°, ∴PC=2,PD= ,由(1)知 CF⊥DF, ∴DF= ∴CF= ∴ ,AF= = ,

= ,又 FE∥CD, ,∴DE= ,同理可得 EF= CD= ,

如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,1) ,E( ,0,0) ,F( , ,0) ,P( , ,0,0) ,C(0,1,0) ,

设向量 =(x,y,z)为平面 AEF 的法向量,则有



,令 x=4 可得 z=

,∴ =(4,0,

) ,

由(1)知平面 ADF 的一个法向量为

=(

,1,0) ,

设二面角 D﹣AF﹣E 的平面角为 θ,可知 θ 为锐角, cosθ=|cos< , >|= = =

∴二面角 D﹣AF﹣E 的余弦值为:

【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值,建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解 决问题的关键,属中档题.

20. (12 分) (2016?池州一模)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点 O 为圆心,

椭圆 C 的长半轴为半径的圆与直线 2x﹣ y+6=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A,B 为动直线 y=k(x﹣2) (k≠0)与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存在点 E,使
2

+

?

为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由.

【分析】 (1)求得圆 O 的方程,由直线和圆相切的条件:d=r,可得 a 的值,再由离心率公式,可得 c 的 值,结合 a,b,c 的关系,可得 b,由此能求出椭圆的方程; (2)由直线 y=k(x﹣2)和椭圆方程,得(1+3k )x ﹣12k x+12k ﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的数 量积,结合已知条件能求出在 x 轴上存在点 E,使 【解答】解: (1)由离心率为 即 c= a,①
2 2 2 2 2 2 2

?

为定值,定点为( ,0) .

,得 =



又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x +y =a , 且与直线 所以 所以 b =a ﹣c =2. 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.
2 2 2

相切, ,代入①得 c=2,

(2)由
4 2

,可得(1+3k )x ﹣12k x+12k ﹣6=0,
2 2

2

2

2

2

△=144k ﹣4(1+3k ) (12k ﹣6)>0,即为 6+6k >0 恒成立. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 所以 x1+x2= ,x1x2= ,

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0) , 使得 则有 为定值, =(x1﹣m,y1)?(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)?(x2﹣m)+y1y2
2

=(x1﹣m) (x2﹣m)+k (x1﹣2) (x2﹣2) 2 2 2 2 =(k +1)x1x2﹣(2k +m) (x1+x2)+(4k +m ) =(k +1)?
2

﹣(2k +m)?

2

+(4k +m )

2

2

=


2 2

要使上式为定值,即与 k 无关,则应 3m ﹣12m+10=3(m ﹣6) , 即 ,此时 = 为定值,定点 E 为 .

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用.

21. (12 分) (2015?贵州模拟)已知函数 f(x)=ax +x﹣xlnx(a>0) . 2 (1)若函数满足 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx +2x 恒成立,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 <x<y<1 时,试比较 与 【分析】 (1)依题意,1﹣ ﹣ 的大小. ,利用导数可求得 g(x)min,从

2

≥b,构造函数 g(x)=1﹣ ﹣

而可求得实数 b 的取值范围; (2)f′(x)=2ax﹣lnx, (x>0) ,令 f′(x)≥0 可求得 a 的范围,对 a 的范围分情况讨论可由 f(x)在定 义域上是单调函数,求得实数 a 的取值范围; (3)由(1)知 g(x)=1﹣ 进一步分析即可得到 < 在(0,1)上单调递减,从而可得, <x<y<1 时, . < ,

【解答】解: (1)由 f(1)=2,得 a=1,又 x>0, ∴x +x﹣xlnx≥bx +2x 恒成立?1﹣ ﹣ 令 g(x)=1﹣ ﹣
2 2

≥b,…(1 分)

,可得 g(x)在(0,1]上递减,

在[1,+∞)上递增,所以 g(x)min=g(1)=0, 即 b≤0…(3 分) (2)f′(x)=2ax﹣lnx, (x>0) , 令 f′(x)≥0 得:2a≥ ∴当 a≥ 若 0<a< ,设 h(x)= ,当 x=e 时,h(x)max= ,

时,函数 f(x)在(0,+∞)单调递增…(5 分) ,g(x)=2ax﹣lnx, (x>0) ,g′(x)=2a﹣ , ,x∈(0, ) ,g′(x)<0,x∈( ,+∞) ,g′(x)>0,

g′(x)=0,x= ∴x=

时取得极小值,即最小值. 时,g( )=1﹣ln <0,

而当 0<a<

f′(x)=0 必有根,f(x)必有极值,在定义域上不单调…(8 分) ∴a≥ …(9 分) 在(0,1)上单调递减, < …(10 分)

(3)由(1)知 g(x)=1﹣

∴ <x<y<1 时,g(x)>g(y)即 而 <x<y<1 时,﹣1<lnx<0,

∴1+lnx>0, ∴ < …(12 分)

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查函数的单调性与导数的关系,突出分类讨论思 想在分析解决问题中的应用,属于难题. 22. (10 分) (2014?长春一模)选做题:几何证明选讲 如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F, 延长 CF 交 AB 于 E. (1)求证:E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

【分析】 (1)根据∠CDO=∠FDO,BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦,得到

,即∠CDO=

∠BCE,得到两个三角形全等,得到线段相等,得到结论. (2)根据两个角对应相等,得到两个三角形相似,得到对应边成比例,根据所给的长度,代入比例式, 得到要求的线段. 【解答】 (1)证明:连接 DF,DO,则∠CDO=∠FDO, 因为 BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦, 所以 ,即∠CDO=∠BCE,

故 Rt△CDO≌Rt△BCE, 所以 .…(5 分)

所以 E 是 AB 的中点. (2)解:连接 BF, ∵∠BEF=∠CEB,∠ABC=∠EFB ∴△FEB∽△BEC, 得 ,

∵ABCD 是边长为 a 的正方形, 所以 .…(10 分)

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,考查圆周角定理,本题解题的关键是得到三角形全等和三 角形相似,本题是一个中档题目. 23. (2015 秋?石嘴山校级期末)以平面直角坐标系的原点为极点,正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,设点 A 的极坐标为(2, 极坐标方程为 ρ= cos(θ﹣ ) . ) ,直线 l 过点 A 且与极轴成角为 ,圆 C 的

(Ⅰ)写出直线 l 参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线圆 C 交于 B、C 两点,求|AB|?|AC|的值. 【分析】 (Ⅰ)写出 A 的直角坐标,通过倾斜角,得到参数方程. (Ⅱ)化简极坐标方程为直角坐标方程,利用直线参数方程的几何意义,求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题知点 A 的极坐标为(2, 倾斜角为 的参数方程为 ) ,的直角坐标为 A( ) ,所以直线 L 过 A 点

,t 为参数.

因为圆 C 的极坐标方程为 ρ=
2

cos(θ﹣
2

) .所以 ρ=cosθ+sinθ,

所以圆 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣x﹣y=0. (Ⅱ)将直线的参数方程代到圆 C 的直角坐标方程中整理得: t +(
2

)t+3﹣

=0 设 B,C 对应的参数分别为 t1,t2

∴|AB|?|AC|=|t1t2|= . 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程的几何意义,考查计算能力.

24. (2015 秋?石嘴山校级期末)设函数 (1)求 a; (2)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求
2 2

的最小值为 a.

的最小值.

【分析】 (1)求出 f(x)的分段函数的形式,通过讨论 x 的范围,求出 a 的值即可; (2)根据基本不等 式的性质求出其最小值即可.

【解答】解: (1)函数



当 x∈(﹣∞,1]时,f(x)单调递减; 当 x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增, 所以当 x=1 时,f(x)的最小值 a= . (2)由(Ⅰ)知 m +n = ,由 m +n ≥2mn,得 mn≤ , ∴ ≥ , ≥ ,当且仅当 m=n= . 时取等号,
2 2 2 2

故有 + ≥2 所以

的最小值为

【点评】本题考查了绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质,是一道中档题.


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