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江苏省句容市第三中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题


江苏句容三中 2015—2016 学年度第一学期高二数学第一次月考试题 命题人:吕金勇 审核人:夏新德 行政审核人:

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的焦点坐标为 9 7



2.已知椭圆方程 3.离心率 e ?

/>
x2 y2 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为 4 k 2




1 ,焦距为 4 的椭圆标准方程为 3
5 ) ,则双曲线的标准方程为 2

4.双曲线过点 (4, 3) 、 (3,

. .

5.若圆 x 2 ? y 2 ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相切,则实数 m 的值为 6.已知双曲线 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点为 (2,0) ,则 k 的值为 .

7.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲线 y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点 则该椭圆的离心率为 .

?

2,2 ,

?

2 2 8.若椭圆 x ? y ? 1 与双曲线 x 2 ? 15 y 2 ? 15 的焦距相等,则 m 的值为 25 m

. .

9.过点 P(0,1) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 引切线,则切线长为

x2 y2 3 10.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C a b 3
于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 11.圆心在 x 轴上,且与直线 y ? x 相切于点 (1,1) 的圆的方程为 . .

x2 y2 12 .已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a b
PF1⊥PF2.
若 ?PF 1 F2 的面积为 9,则 b 的值为 .

x2 y2 13.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,连接点 F1,F2 为边作正三角形,若椭圆恰 a b
好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 . 14.已知直线 l 的方程是 x ? y ? 6 ? 0 , A, B 是直线 l 上的两点,且△ OAB 是正三角形 ( O 为坐标原点),则△ OAB 外接圆的方程是 .

二、解答题:解答应写出必要的文字步骤. 15.(本小题满分 14 分)

求以椭圆

x2 y2 ? ? 1 短轴的两个顶点为焦点,且过点 A(4, ?5) 的双曲线的标准方程. 16 9

16.(本小题满分 14 分) 已知方程

x2 y2 ? ?1 4?m 2?m

(1)若方程表示双曲线,求实数 m 的取值范围; (2)若方程表示椭圆,且椭圆的离心率为

3 ,求实数 m 的值. 2

17.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 y2 2 ? ?1 与双曲线 x ? ?1 有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点 若椭圆 10 m b
? 10 ? P? ? 3 , y? ?, ? ?
求椭圆及双曲线的方程.

18.(本小题满分 16 分) 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 ,过 A(?3, 0) 的直线 l 交圆 C1 于 M , N 两点. (1)若△ C1MN 为直角三角形,求直线 l 的方程; (2)若圆 C2 过点 A 且与圆 C1 切于坐标原点,求圆 C2 的标准方程.

19.(本小题满分 16 分) 已知 A 点坐标为 (0,8) ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 y 轴交于 B 点, P 为直线 l 上动点. (1)求以 AB 为直径的圆 C 的标准方程; (2)圆 E 过 A,B 两点,截直线 l 得到的弦长为 6 5 ,求圆 E 的标准方程; (3)证明:以 PA 为直径的动圆必过除 A 点外的另一定点,并求出该定点坐标.

20.(本小题满分 16 分) 已知 F1 , F2 分别为椭圆的左、右两个焦点,椭圆的离心率为

6 ,短轴的一个端点到一 3

个焦点的距离为 3 .设点 P 是椭圆上的动点, 过点 F2 作∠ F1PF2 的外角平分线 PR 的垂

线,交 F1 P 的延长线于 E ,垂足为 R . (1)求椭圆的标准方程; (2)求点 R 的轨迹方程;

y
P R
F1
O

E

???? ???? (3)求证: RF1 ? RF2 为定值.

F2

x

江苏句容三中 2015—2016 学年度第一学期高二数学月考试题参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的焦点坐标为 9 7

(0, 4),(0, ?4)



2.已知椭圆方程 3.离心率 e ?

x2 y2 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为___2 或 8____. 4 k 2

1 x2 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ? 1 _____. ,焦距为 4 的椭圆标准方程为___ 36 32 36 32 3
5 ) ,则双曲线的标准方程为 2
x2 ? y2 ? 1 4
. 1 或 81 .

4.双曲线过点 (4, 3) 、 (3,

5.若圆 x 2 ? y 2 ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相切,则实数 m 的值为 6.已知双曲线 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点为 (2,0) ,则 k 的值为

?

5 3



7.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲线 y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点 则该椭圆的离心率为

?

2,2 ,

?

2 2

. 9 或 41 .

2 2 8.若椭圆 x ? y ? 1 与双曲线 x 2 ? 15 y 2 ? 15 的焦距相等,则 m 的值为 25 m

9.过点 P(0,1) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 引切线,则切线长为

7



10.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 于

x2 y2 a b

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 3

x2 y2 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为_____ + =1____.
3 2 11.圆心在 x 轴上,且与直线 y ? x 相切于点 (1,1) 的圆的方程为 12 .已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

( x ? 2)2 ? y 2 ? 2



x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a2 b2

PF1⊥PF2.
若 ?PF 1 F2 的面积为 9,则 b 的值为____3___. 13.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,连接点 F1,F2 为边作正三角形,若椭圆恰 a2 b2
3-1 .

好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为

14.已知直线 l 的方程是 x ? y ? 6 ? 0 , A, B 是直线 l 上的两点,且△ OAB 是正三角形 ( O 为坐标原点),则△ OAB 外接圆的方程是

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8



二、解答题:解答应写出必要的文字步骤. 15.(本小题满分 14 分) 求以椭圆

x2 y2 ? ? 1 短轴的两个顶点为焦点,且过点 A(4, ?5) 的双曲线的标准方程. 16 9
………………………4 分 ………………………6 分

解:由题意可知,双曲线的两焦点为 F1 (0, ?3) , F2 (0,3) , 设双曲线的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

? 25 16 ?a 2 ? 5 ? ? ?1 ? ? a2 b2 解得 ? 2 , b ?4 2 2 ? ? a ? b ? 9 ?
所以双曲线的标准方程为

………………………12 分

y 2 x2 ? ?1 5 4

………………………14 分

16.(本小题满分 14 分) 已知方程

x2 y2 ? ?1 4?m 2?m

(1)若方程表示双曲线,求实数 m 的取值范围; (2)若方程表示椭圆,且椭圆的离心率为

3 ,求实数 m 的值. 2

解:(1)若方程表示双曲线,则 (4 ? m)(2 ? m) ? 0 ,

………………………4 分 ………………………6 分

?实数 m 的取值范围为 (?2, 4)
(2)方程可化为

x2 y2 ? ? 1 ,因为方程表示椭圆, 4 ? m ?2 ? m
………………………8 分

? 4?m?0 ? 所以 ? ?2 ? m ? 0 ? m ? ?2 ?4 ? m ? ?2 ? m ?
所以椭圆的焦点在 x 轴上 因为离心率为

………………………10 分

3 ,所以 4(?2 ? m) ? 4 ? m , 2
………………………14 分

所以实数 m 的值为 ?4 .

17.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 y2 2 ? ?1 与双曲线 x ? ?1 有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点 若椭圆 10 m b
? 10 ? P? ? 3 , y? ?, ? ?
求椭圆及双曲线的方程. 解:由题意可知

10 ? m ? 1 ? b ,

………………………2 分 ………………………4 分

1 y2 ? ?1, 9 m 10 y 2 ? ? 1, 9 b
解得

………………………6 分

m?1 , b ? 8
x2 ? y2 ? 1 10
2

………………………10 分

所以椭圆的方程为

………………………12 分

双曲线的方程为 x ?

y2 ?1 8

………………………14 分

18.(本小题满分 16 分) 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 ,过 A(?3, 0) 的直线 l 交圆 C1 于 M , N 两点.

(1)若△ C1MN 为直角三角形,求直线 l 的方程; (2)若圆 C2 过点 A 且与圆 C1 切于坐标原点,求圆 C2 的标准方程. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时显然不合题意, 设 l : y ? k ( x ? 3) ,…1 分
|3k ? 3 ? 3k | 1? k
2

当 ?MC1 N ? 90? 时,圆心 C2 到直线 l 得距离为 3,…3 分
2

?3?

|2k ? 1 | 1? k

? 1 解得: k ? 0 或 k ?

4 ,……5 分 3

所以,直线方程为: y ? 0 或 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .……7 分

3 (2)可知圆 C1 和圆 C2 相外切,……8 分 圆 C2 的圆心在直线 x ? ? 上,……10 分 2
同时也在直线 y ? x 上,……12 分

3 3 3 得 C2 (? , ? ) , r ? 2 ,……14 分 2 2 2

3 3 9 圆 C2 : ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? .……16 分 2 2 2

19.(本小题满分 16 分) 已知 A 点坐标为 (0,8) ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 y 轴交于 B 点, P 为直线 l 上动点. (1)求以 AB 为直径的圆 C 的标准方程; (2)圆 E 过 A,B 两点,截直线 l 得到的弦长为 6 5 ,求圆 E 的标准方程; (3)证明:以 PA 为直径的动圆必过除 A 点外的另一定点,并求出该定点坐标. 解:(1)圆的方程为 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ………………………2 分 ……………8 分

(2)圆 E 的标准方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 50 或 ( x ? 10)2 ? ( y ? 3)2 ? 125 (3)由题意可设动点 P(2t ? 4, t ) ,则以 PA 为直径的圆的方程为

x( x ? 2t ? 4) ? ( y ? t )( y ? 8) ? 0
即 (8 ? y ? 2x)t ? ( x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y) ? 0

………………………10 分 ………………………12 分 ………………………14 分 ………………………16 分

? 8 ? y ? 2x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 4 由? 2 ?? 或? 2 ?x ? y ? 4x ? 8 y ? 0 ? y ? 8 ? y ? 0
所以该定点坐标为 (4,0)

20.(本小题满分 16 分)

已知 F1 , F2 分别为椭圆的左、右两个焦点,椭圆的离心率为

6 ,短轴的一个端点到一 3

y
E

个焦点的距离为 3 .设点 P 是椭圆上的动点,过点 F2 作∠ F1PF2 的外角平分线 PR 的垂 线,交 F1 P 的延长线于 E ,垂足为 R . (1)求椭圆的标准方程; (2)求点 R 的轨迹方程; (3)求证: RF1 ? RF2 为定值.

???? ????

x2 y2 解:(1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b
?a ? 3 ? ?a ? 3 6 ?c ? 则? ? , ?? 3 ? ?a ?b ? 1 ?a 2 ? b2 ? c 2 ?
椭圆的方程为

………………………4 分

x2 ? y2 ? 1. 3

………………………6 分

(2)设 F2 R 交 F1 P 于 Q ,由题意知直线 m 垂直平分线段 F2 E 得到 PF2 ? PE ,又 O 为 F1 F2 中点, R 为 F2 E 的中点,

1 1 1 1 OR ? F1E ? ( F1P ? PE ) ? ( F1P ? PF2 ) ? ? 2a ? a ? 3 . 2 2 2 2
因此所求 R 点轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 3 ( y ? 0) .

……………………10 分 ………………………12 分 ……………14 分

(3)设 R( x, y ) ,则 RF 1 ? (? 2 ? x,0 ? y), RF 2 ? ( 2 ? x,0 ? y)
2 2 2 2 RF 1 ? RF 2 ? ?(2 ? x ) ? y ? x ? y ? 1

………………………16 分


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