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高二数学竞赛辅导材料2——立体几何


高二数学竞赛辅导材料 2——立体几何
1 (06 年) .如图, 点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点且 PA ? 平面 ABCD ,PA ? AB ? 1 , BC ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; P (Ⅲ)在 BC 边上是否存在一点 Q ,使得 D 点到平面

PAQ 的距离为 1.若存在,求出 BQ 的值;若不存在,请说明理由. A E

D

B

C

2. (07)多面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的直观图,主视图,俯视图,左视图如下所示.

D1 A1

C1 B1
a 2

a
a
a

D A
直观图

C B a

a 2

主视图 图 (Ⅰ)求 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅱ)求面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)求此多面体的体积.

2 2 俯视图

a
左视图

3. (08)如图 3 所示, 在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC,

AC ? BC ? CC1 ? 2 .
(1)若点 D、E、F 分别为棱 CC1、C1 B1、CA 的中点,求证: EF ? 平面 A1 BD ; (2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法 :要求用平行于三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的某一 条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出 一种切割和拼接方法,
C1

并写出拼接后的长方体的表面积(不必计算过程).
B1

E A1 D

C F B A

图3

4. (09)如图 1 所示的等边△ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC、BC 边的中点.现将△ABC 沿 CD 折叠成如图 2 所示的直二面角 A—DC—B. (1)试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求四面体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥 D-ABFE 的体积之比. A E D F B 图1 C B D F 图2 A E C

5 (10)如图,已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45 , 在半平面 ? 内有一个半圆 O , 其直
?

径 AB 在 l 上, 面 ? 所成的

M 是这个半圆 O 上任一点(除 A 、 B 外), 直线 AM 、 BM 与另一个半平
?
M

角分别为 ?1 、 ?2 . 试证明 cos

2

?1 ? cos2 ?2 为定值.
l A B

?

6. (11)如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为 CE 的中点. (1)求证 BF⊥平面 CDE; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角的大小. A

B

C

F

E

D

7.

(12) 如 图 , 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 ,

SA ? 平 面 ABC ,
S

?ABC ? 90? ,

SA ? BC ? 2, AB ? 4 ,
M , N , D 分别是 SC , AB, BC 的中点.
(1) 求证: MN ? AB ; (2) 求二面角 S ? ND ? B 的余弦值; (3) 求点 M 到平面 SND 的距离.
A N B D M

C

8. ( 13 )如图,己知△ BC D 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1 , AB ? 平面 BC D , ?ADB ? 60? , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且
?

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) 。 AC AD (1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF ⊥平面 ABC ;
(2) 若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60 , 求 ? 的值.
?


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