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广东省揭阳三中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷 (Word版


广东省揭阳三中 2014-2015 学年高一上学期第二次段考数学试卷
一.选择题(每题 5 分,共 50 分,每题只有一个符合题意的选项) 2 2 1. (5 分)若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=() A.{﹣1} B.{1} C. ? D.{3} 2. (5 分)下列给出函数 f(x)与 g(x)的各组中,是同一个关于 x 的函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)= C. f(x)=x ,g(x)=
2

B. f(x)=2x﹣1,g(x)=2x+1 D.f(x)=1,g(x)=x
0

3. (5 分)可作为函数 y=f(x)的图象的是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分) A.3 B. 1
2

=() C. 0 D.﹣1

5. (5 分)不论 m 为何值时,函数 f(x)=x ﹣mx+m﹣2 的零点有() A.2 个 B. 1 个 C. 0 个 D.都有可能 6. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 A.a<c<b B.a<b<c
2 0.3

之间的大小关系是() C.b<a<c D.b<c<a
2

7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(﹣1)=() A.﹣3 B.﹣1 C. 1 D.3 8. (5 分)若函数 y=x +2ax+1 的减区间是(﹣∞,2],则实数 a 值是() A.[2,+∞) B.﹣2 C. 2 D.(﹣∞,﹣2] 9. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则 f(﹣2) ,f(3) ,f(﹣ π)的大小顺序是() A.f(﹣π)>f(3)>f(﹣2) B.f(﹣π)>f(﹣2)>f(3) C. f (﹣2)>f(3)>f(﹣π) D. f (3) >f (﹣2) >f (﹣ π)
2

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10. (5 分)设 f(x)为奇函数,且在(﹣∞,0)内是减函数,f(﹣2)=0,则 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣1,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)函数 g(x)=
x+1

的定义域为(用区间表示) .

12. (5 分)函数 y=a

﹣2 的图象恒过一定点,这个定点是.
2

13. (5 分)已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a﹣1,2a],则 a=,b=. 14. (5 分)已知 f(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,f(x) 的图象如图所示,则不等式 x[f(x)﹣f(﹣x)]<0 的解集为.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 15. (12 分)计算: (1) (2) .

16. (12 分) (1)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求(?RA)∩B (2)设非空集合 B={x|x=log2m},若 B?{1,2},求实数 m 的取值. 17. (14 分)设函数 f(x)=1+ . (1)用定义证明函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 18. (14 分)已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地, (1)把汽车离开 A 地的距离 y(千米)表示为时间 x(小时)的函数表达式;

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(2)根据(1)中的函数表达式,试求出当汽车距离 A 地 100 千米时的时刻 x 是多少(小 时) . 19. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[0,3]上的值域; 2 (2)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x ﹣2ax+a 的定义域为[﹣1,1],值域为[﹣2,2]?若 存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 20. (14 分)已知函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20,记 . (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)+f(1﹣x)=1; (3)求 的值.
x 2

广东省揭阳三中 2014-2015 学年高一上学期第二次段考 数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分,共 50 分,每题只有一个符合题意的选项) 2 2 1. (5 分)若 A={x|x =1},B={x|x ﹣2x﹣3=0},则 A∩B=() A.{﹣1} B.{1} C. ? D.{3} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求出 A 与 B 中方程的解,确定出 A 与 B,求出交集即可. 解答: 解:由 A 中的方程解得:x=±1,即 A={﹣1,1}; 由 B 中的方程变形得: (x﹣3) (x+1)=0,解得:x=3 或 x=﹣1,即 B={﹣1,3}, 则 A∩B={﹣1}. 故选 A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列给出函数 f(x)与 g(x)的各组中,是同一个关于 x 的函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)= C. f(x)=x ,g(x)=
2

B. f(x)=2x﹣1,g(x)=2x+1 D.f(x)=1,g(x)=x
0

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考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可. 解答: 解:A.函数 g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一函 数. B.函数 f(x)和 g(x)的定义域为 R,两个函数的定义域相同,但对应法则不相同,不是 同一函数. C.函数 g(x)=x ,两个函数的定义域相同,对应法则相同,是同一函数. D.函数 g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一函数. 故选 C. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数, 判断的依据是判断两个函数的定义域 和对应法则是否完全相同. 3. (5 分)可作为函数 y=f(x)的图象的是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的表示方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的定义可知:每当给出 x 的一个值,则 f(x)有唯一确定的实数值与之对 应,即可判断出. 解答: 解:由函数的定义可知:每当给出 x 的一个值,则 f(x)有唯一确定的实数值与 之对应,只有 D 符合. 故正确答案为 D. 故选 D. 点评: 本题考查了函数的定义,属于基础题.

4. (5 分) A.3 B. 1 C. 0

=() D.﹣1

考点: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 由 f(x)= ,知 f[f(﹣1)]=f(1) ,由此能够求出结果.

解答: 解:∵f(x)= ∴f[f(﹣1)]=f(1)=1+2=3.



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故选 A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意分段函数 的性质和应用. 5. (5 分)不论 m 为何值时,函数 f(x)=x ﹣mx+m﹣2 的零点有() A.2 个 B. 1 个 C. 0 个 D.都有可能 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据不论 m 为何值时,二次函数 f(x)的判别式△ >0,可得 函数的图象和 x 轴 一定有 2 个不同的交点,从而求得函数零点的个数. 解答: 解:不论 m 为何值时,二次函数 f(x)=x ﹣mx+m﹣2 的判别式 2 2 2 △ =m ﹣4(m﹣2)=m ﹣4m+8=(m﹣2) +4>0, 故函数的图象和 x 轴一定有 2 个不同的交点, 2 故函数 f(x)=x ﹣mx+m﹣2 的零点有 2 个, 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,二次函数的性质应用,属于中档题. 6. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 A.a<c<b B.a<b<c
2 0.3 2 2

之间的大小关系是() C.b<a<c D.b<c<a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 2 0.3 x x 分析: 将 a=0.3 ,c=2 分别抽象为指数函数 y=0.3 ,y=2 之间所对应的函数值,利用它 们的图象和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象可知小于零.最 后三者得到结论. 解答: 解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 点评: 本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质. 7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(﹣1)=() A.﹣3 B.﹣1 C. 1 D.3 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇函数,将 f(﹣1)转化为 f(1)进行求值. 解答: 解:因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(﹣1)=﹣f(1) , 2 因为 x≥0 时,f(x)=2x ﹣x, 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2﹣1)=﹣1, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,要求熟练掌握函数奇偶性的性质.
2

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8. (5 分)若函数 y=x +2ax+1 的减区间是(﹣∞,2],则实数 a 值是() A.[2,+∞) B.﹣2 C. 2 D.(﹣∞,﹣2] 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 对 f(x)进行求导,令 f′(x)<0,解出其减区间,根据函数 y=x +2ax+1 的减区 间是(﹣∞,2],求出 a 值; 解答: 解:∵函数 y=x +2ax+1, ∴y′=2x+2a,令 y′<0, 2 ∴x<﹣a,∵函数 y=x +2ax+1 的减区间是(﹣∞,2], ∴﹣a=2,∴a=﹣2, 故选 B. 点评: 此题主要考查利用导数求函数的单调区间及二次函数的性质,此题是一道基础题. 9. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则 f(﹣2) ,f(3) ,f(﹣ π)的大小顺序是() A.f(﹣π)>f(3)>f(﹣2) B.f(﹣π)>f(﹣2)>f(3) C. f (﹣2)>f(3)>f(﹣π) D. f (3) >f (﹣2) >f (﹣ π) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的单调性比较函数值的大小, 需要在同一个单调区间上比较, 利用偶函数 的性质,f(﹣2)=f(2) ,f(﹣π)=f(π)转化到同一个单调区间上,再借助于单调性求 解即可比较出大小. 解答: 解:由已知 f(x)是 R 上的偶函数,所以有 f(﹣2)=f(2) ,f(﹣π)=f(π) , 又由在[0,+∞]上单调增,且 2<3<π,所以有 f(2)<f(3)<f(π) , 所以 f(﹣2)<f(3)<f(﹣π) , 故答案为:f(﹣π)>f(3)>(﹣2) . 故选:A. 点评: 本题考查函数的奇偶性与函数的单调性, 以及它们的综合应用, 函数值的大小比较, 要利用单调性,统一在某个单调区间上比较大小. 10. (5 分)设 f(x)为奇函数,且在(﹣∞,0)内是减函数,f(﹣2)=0,则 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣1,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 根据函数的奇偶性求出 f(2)=0,x f(x)<0 分成两类,分别利用函数的单调性 进行求解. 解答: 解:∵f(x)为奇函数,且在(﹣∞,0)内是减函数,f(﹣2)=0,
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2

∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,在(0,+∞)内是减函数 ∴x f(x)<0 则 或

根据在(﹣∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是减函数 解得:x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 故选 C 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质, 以及函数单调性的应用等有关知识, 属于基 础题. 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)函数 g(x)= 的定义域为 [﹣4,1)∪(1,+∞) (用区间表示) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据使函数的解析式有意义的原则,结合偶次被开方数不小于 0,分母不等于 0, 可以构造一个关于自变量 x 的不等式组,解不等式组即可,得到答案. 解答: 解:要使函数 g(x)= 自变量 x 须满足: 的解析式意义,

解得:x≥﹣4,且 x≠1 故函数 g(x)= 的定义域[﹣4,1)∪(1,+∞)

故答案为:[﹣4,1)∪(1,+∞) 点评: 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法, 其中根据使函数的解析式有意义的原 则,构造一个关于自变量 x 的不等式组,是解答此类问题的关键. 12. (5 分)函数 y=a
x+1

﹣2 的图象恒过一定点,这个定点是(﹣1,﹣1) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 令解析式中的指数 x+1=0 求出 x 的值,再代入解析式求出 y 的值,即得到定点的 坐标. x+1 解答: 解:令 x+1=0 解得,x=﹣1,代入 y=a ﹣2 得,y=﹣1, ∴函数图象过定点(﹣1,﹣1) , 故答案为: (﹣1,﹣1) . 点评: 本题考查了指数函数的图象过定点(0,1)的应用,即令解析式中的指数为 0 求出 对应的 x 和 y 的值. 13. (5 分)已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a﹣1,2a],则 a= ,b=0.
2

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考点: 偶函数. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 先由“定义域应关于原点对称”则有 a﹣1=﹣2a,又 f(﹣x)=f(x)恒成立,用待定 系数法可求得 b. 解答: 解:∵定义域应关于原点对称, 故有 a﹣1=﹣2a, 得 a= . 又∵f(﹣x)=f(x)恒成立, 2 2 即:ax +bx+3a+b=ax ﹣bx+3a+b ∴b=0. 故答案为: ,0 点评: 本题主要考查函数的奇偶性定义,首先定义域要关于原点对称,二是研讨 f(x) 与 f(﹣x)的关系,属中档题. 14. (5 分)已知 f(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,f(x) 的图象如图所示,则不等式 x[f(x)﹣f(﹣x)]<0 的解集为(0,3)∪(﹣3,0) .

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(x)的图象关于原点对称,不等式即 2x?f (x)<0,即 x 与 f(x)的符号相反,结合函数 f(x)在 R 上的图象可得,2x?f(x)<0 的解集. 解答: 解:∵已知 f(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞) 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(x)的图象关于原点对称, ∴不等式 x[f(x)﹣f(﹣x)]<0,即 2x?f(x)<0, 即 x 与 f(x)的符号相反,结合函数 f(x)在 R 上的图象可得, 2x?f(x)<0 的解集为(0,3)∪(﹣3,0) , 故答案为 (0,3)∪(﹣3,0) .

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点评: 本题主要考查函数的奇偶性的性质,根据函数的图象解不等式,属于基础题. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 15. (12 分)计算: (1) (2) .

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接根据有理数指数幂的运算性质进行化简即可; (2)直接利用对数的运算性质以及换底公式进行整理即可. 解答: 解: (1)=

= = = (2)= = (6 分) (6 分)

点评: 本题主要考查对数的运算性质和有理数指数幂的化简求值的知识点, 解答本题的关 键是熟练对数的运算性质,此题难度一般. 16. (12 分) (1)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求(?RA)∩B (2)设非空集合 B={x|x=log2m},若 B?{1,2},求实数 m 的取值. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.
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专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由集合 A={x|3≤x<7},知 CRA={x|x<3,或 x≥7},再由 B={x|2<x<10},能 求出(CRA)∩B. (2)由非空集合 B={x|x=log2m},若 B?{1,2},知 log2m=1,或 log2m=2,由此能求出实 数 m 的取值. 解答: 解: (1)∵集合 A={x|3≤x<7}, ∴CRA={x|x<3,或 x≥7}, ∵B={x|2<x<10}, ∴(CRA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}. (2)∵非空集合 B={x|x=log2m},若 B?{1,2}, ∴log2m=1,或 log2m=2, ∴m=0,或 m=4. ∴实数 m 的取值是 0 或 4. 点评: 本题考查集合的运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意对数的性质 的灵活运用.

17. (14 分)设函数 f(x)=1+ . (1)用定义证明函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数单调性的定义即可证明函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数; (2)根据函数奇偶性的定义即可判断函数 f(x)的奇偶性. 解答: 解: (1)证明:任取 0<x1<x2, ∵ ,

∵0<x1<x2 ∴x2﹣x1>0,x1x2>0, ∴f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. (2)∵f(1)=2,f(﹣1)=0, ∵f(1)≠f(﹣1)且 f(﹣1)≠﹣f(1) ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 点评: 本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明, 利用相应的定义法是解决本题的 关键. 18. (14 分)已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地, (1)把汽车离开 A 地的距离 y(千米)表示为时间 x(小时)的函数表达式; (2)根据(1)中的函数表达式,试求出当汽车距离 A 地 100 千米时的时刻 x 是多少(小 时) .
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考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)算出该人从 A 地到达 B 地所用时间和从 B 地返回到 A 地所用的时间,即可 得到本题函数的定义域且不难将其分为三段, 再结合各个时间段上该人的运动状态, 可得汽 车离开 A 地的距离 y(千米)与时间 x(小时)的函数表达式; (2)根据(1)中分段函数的表达式,分两种情况加以讨论,建立关于 x 的方程并解之,即 可得到汽车距离 A 地 100 千米时的时刻 x 的值. 解答: 解: (1)从开始计时到 2.5 小时时间段,该人与 A 地距离以 60 千米/小时的速度逐 渐变远; 从 2.5 小时到 3.5 小时时间段,该人与 A 地距离恒为 150 不变; 从 2.5 小时到 6.5 小时时间段,该人与 A 地距离以 50 千米/小时的速度逐渐靠近,直到 6.5 小时时刻距离为 0 因此,y 与 x 的函数关系式为

…. (7 分)

(2)当 x∈[0,2.5]时,60x=100,解之得 x= 当 x∈(3.5,6.5]时, =100,解之得 x=

综上所述,当汽车距离 A 地 100 千米时,x= 或 答:当汽车距离 A 地 100 千米时的时刻 x 是 或 (小时) . (5 分) 点评: 本题给出分段函数应用题, 求函数的表达式并求指定函数值 y 对应的 x 值, 着重考 查了基本初等函数的应用和分段函数的理解等知识点,属于基础题. 19. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[0,3]上的值域; 2 (2)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x ﹣2ax+a 的定义域为[﹣1,1],值域为[﹣2,2]?若 存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)由题意可得,f(x)=(x﹣1) ,根据定义域为[0,3],f(x)在[0,1)上 单调减,在(1,3]上单调增,求得函数的值域. (2)由条件可得二次函数的对称轴为 x=a,分当 a≥1 时、当 0≤a<1 时、当﹣1≤a<0 时三种 情况,根据定义域为[﹣1,1],值域为[﹣2,2],分别利用二次函数的性质求得 a 的值. 2 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x ﹣2ax+a,a=1,∴f(x)=(x﹣1) , ∵x∈[0,3],∴f(x)在[0,1)上单调减,在(1,3]上单调增, ∴最小值为 f(1)=0,而 f(0)=1 f(3)=4,
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2

∴函数的值域为[0,4]. (2)当 a≥1 时,由于 f(x)在[﹣1,1]上是减函数,可得 去) . 当 0≤a<1 时,由 ,即 (舍去) . ,故有 (舍

当﹣1≤a<0 时,由

,即

,求得 a=﹣1.

当 a<﹣1 时,由

,求得

,解得 a=﹣1(舍去) .

综上所述:a=﹣1. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值, 函数的定义域和单调性的应用, 体现 了分类讨论的数学思想,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20,记 . (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)+f(1﹣x)=1; (3)求 的值.
x

考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题. x 分析: (1)因为函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减,所以最大值 和最小值一定取到端点处,列方程即可解得 a 值; (2)利用指数运算性质,代入函数解析式 即可化简证明; (3)注意到和式中的自变量的特点,利用(2)的结论,将所求分组求和即 可 x 解答: 解: (1)函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20, x 而函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减 2 ∴a+a =20,得 a=4,或 a=﹣5(舍去) ∴a=4 (2)证明:



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=

=

=

=1

(3)由(2)知, ,… ∴ =

=1,

…+

=1+1+1+…+1=1005 点评: 本题考查了指数函数的单调性及其应用, 利用指数运算性质化简求值, 倒序相加的 求和思想

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