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北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案


北师大版高中数学选修 第一章《常用逻辑用语》 北师大版高中数学选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》全部教案 扶风县法门高中 扶风县法门高中 姚连省

1.1 命题及其关系 第一课时 1.1.1 命题 知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题, 一、教学目标:1、知识与技能 教学目标: 知识与技能 能判断命题的真假;能把命题改写成“若

p,则 q”的形式;2、过程与方法 过程与方法:多让学生举命题 过程与方法 的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;3、情感、态度与 情感、 情感 价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 价值观 二、教学重点与难点:重点:命题的概念、命题的构成;难点:分清命题的条件、结论和判断命 教学重点与难点: ; 题的真假。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 三、教学过程 、复习回顾: (一) 复习回顾:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 、复习回顾 、探析新课 (二) 探析新课 、 1、思考、分析:下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗? 思考、分析: (1)若直线 a∥b,则直线 a 与直线 b 没有公共点. (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平 面平行. (4)若 x =1,则 x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 2、讨论、判断:学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么 讨论、判断: 事情。其中(1) (5)的判断为真, (4) (3) (2) (6)的判断为假。 教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。 一般地, 3、抽象、归纳:定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫 抽象、归纳: 一般地 我们把用语言、符号或式子表达的, 做命题. 做命题. 命题的定义的要点:能判断真假的陈述句. 在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子. 教师再与学生共同从命题的 定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解. 4、练习、深化:判断下列语句是否为命题? 练习、深化: (1)空集是任何集合的子集. (2)若整数 a 是素数,则是 a 奇数. (3)指数函数是增函数吗? (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. (5)
2

(?2) 2

=-2. (6)x>15.

让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结:判断一个语句是不是命题,关

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键看两点:第一是“陈述句” ,第二是“可以判断真假” ,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、 感叹句均不是命题.解略。 引申:以前,同学们学习了很多定理、推论,这些定理、推论是否是命题?同学们可否举出 一些定理、推论的例子来看看? 通过对此问的思考,学生将清晰地认识到定理、推论都是命题. 过渡:同学们都知道,一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成(结合学生所举定理和 推论的例子,让学生分辨定理和推论条件和结论,明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部 分构成) 。紧接着提出问题:命题是否也是由条件和结论两部分构成呢? 命题是否也是由条件和结论两部分构成呢? 命题是否也是由条件和结论两部分构成呢 命题的构成――条件和结论: 从构成来看, 所有的命题都具由条件和结论两部分构成. 在 5、 命题的构成――条件和结论: ――条件和结论 定义: 数学中,命题常写成“若 p,则 q” “ q”或者 “如果 p,那么 q” q”这种形式,通常,我们把这种形式 , 的命题中的 p 叫做命题的条件,q 叫做命题结论. 叫做命题的条件,q 叫做命题结论. 6、练习、深化:指出下列命题中的条件 p 和结论 q,并判断各命题的真假. 练习、深化: (1)若整数 a 能被2整除,则 a 是偶数. (2)若四边行是菱形,则它的对角线互相垂直平分. (3)若 a>0,b>0,则 a+b>0. (4)若 a>0,b>0,则 a+b<0. (5)垂直于同一条直线的 两个平面平行. 此题中的(1) (2) (3) (4) ,较容易,估计学生较容易找出命题中的条件 p 和结论 q, 并能判断命题的真假。其中设置命题(3)与(4)的目的在于:通过这两个例子的比较,学更 深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句,不管判断的结果是对的还是错的。 此例中的命题(5) ,不是“若 P,则 q”的形式,估计学生会有困难,此时,教师引导学生 一起分析:已知的事项为“条件” ,由已知推出的事项为“结论” .解略。 过渡:从例2中,我们可以看到命题的两种情况,即有些命题的结论是正确的,而有些命题的结 论是错误的,那么我们就有了对命题的一种分类:真命题和假命题. 7、命题的分类――真命题、假命题的定义. 命题的分类――真命题、假命题的定义. ――真命题 真命题: 真命题:如果由命题的条件 P 通过推理一定可以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做真 命题. 假命题: 假命题:如果由命题的条件 P 通过推理不一定可以得出命题的结论 q,那么这样的命题叫做 假命题. 强调:(1)注意命题与假命题的区别.如: “作直线 AB” .这本身不是命题.也更不是假命题. (2)命题是一个判断,判断的结果就有对错之分.因此就要引入真命题、假命题的的概念,强 调真假命题的大前提,首先是命题。
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8、怎样判断一个数学命题的真假?(1)数学中判定一个命题是真命题,要经过证明.(2)要判 怎样判断一个数学命题的真假? 断一个命题是假命题,只需举一个反例即可. 9、练习、深化:例3:把下列命题写成“若 P,则 q”的形式,并判断是真命题还是假命题: 练习、深化: (1) 面积相等的两个三角形全等。 (2) 负数的立方是负数。 (3) 对顶角相等。 分析:要把一个命题写成“若 P,则 q”的形式,关键是要分清命题的条件和结论,然后写成“若 条件,则结论”即“若 P,则 q”的形式.解略。 、课堂练习:P4 (三) 课堂练习:P4 、课堂练习:P 、课堂总结 (四) 课堂总结 、 2、3

师生共同回忆本节的学习内容. 2.命题是由哪两部分构成的? 4.如何判断真假命题.

1.什么叫命题?真命题?假命题? 3.怎样将命题写成“若 P,则 q”的形式.

教师提示应注意的问题:1.命题与真、假命题的关系.2.抓住命题的两个构成部分,判断一些 语句是否为命题.3.判断假命题,只需举一个反例,而判断真命题,要经过证明. 、作业:P9: (五) 作业:P9:习题 1.1A组第 1 题 、作业 五、教后反思: 教后反思:

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第二课时 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题的相互关系 知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念, 一、教学目标:1、知识与技能 教学目标: 知识与技能 掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系,会用等价命题判断四种命题的真假. 2、过程与 过程与 方法:多让学生举命题的例子,并写出四种命题,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有 方法 创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力.3、情感、态度与价值观:通过 情感、态度与价值观 情感 学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题 和解决问题的能力. 二、教学重点与难点 重点: (1)会写四种命题并会判断命题的真假; (2)四种命题之间的相互关系. 重点: 难点: (1)命题的否定与否命题的区别; (2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题; (3)分 难点: 析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、复习引入: (一) 复习引入:初中已学过命题与逆命题的知识,请同学回顾:什么叫做命题的逆命题? 、复习引入 、探析新课 (二) 探析新课 、 、 、 1、思考、分析:问题 1:下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件与结论之间 思考、分析: 分别有什么关系? (1) f(x)是正弦函数, f(x)是周期函数. 若 f(x)是周期函数, f(x) 若 则 (2) 则 是正弦函数. (3)若 f(x)不是正弦函数,则 f(x)不是周期函数. (4)若 f(x)不是周期函数,则 f(x)不是正弦函数. 2、归纳总结:问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论.紧接结合此例给出四个命题的概 归纳总结: 念, (1)和(2)这样的两个命题叫做互逆命题, 互逆命题, 互否命题, 互逆命题 (1)和(3)这样的两个命题叫做互否命题, 互否命题 (1)和(4)这样的两个命题叫做互为逆否命题。 互为逆否命题。 互为逆否命题 定义1 3、抽象概括:定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 抽象概括 定义 的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题 互逆命题.其中一个命题叫做原命题 原命题,另一个命 互逆命题 原命题 题叫做原命题的逆命题 逆命题.让学生举一些互逆命题的例子。定义2:一般地,对于两个命题,如果 定义2 逆命题 定义 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命 题叫做互否命题 互否命题.其中一个命题叫做原命题 原命题,另一个命题叫做原命题的否命题 否命题.让学生举一些互 互否命题 原命题 否命题 否命题的例子。定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题 定义3 定义 的结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做 互为逆否命题 互为逆否命题 原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题 逆否命题.让学生举一些互为逆否命题的例子。 原命题 逆否命题
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小结: (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题 (2)同时否定原命题的条件 逆命题; 小结: 逆命题 和结论,所得的命题就是它的否命题 (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命 否命题; 否命题 题就是它的逆否命题 逆否命题.强调:原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 逆否命题 4、四种命题的形式:让学生结合所举例子,思考:若原命题为“若 P,则 q”的形式,则它的逆 四种命题的形式: 命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式? 学生通过思考、分析、比较,总结如下:原命题:若 P,则 q.则:逆命题:若 q,则 P. 原命题: 逆命题: 原命题 逆命题 否命题:若¬P,则¬q. 否命题: (说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号. “¬p”表示 p 的 否定;即不是 p;非 p)逆否命题:若¬q,则¬P. 逆否命题: 逆否命题 5、练习巩固:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假: 练习巩固: (1) 若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (2) 若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; (3) 若 x =1,则 x=1; (4) 若整数 a 是素数,则是 a 奇数。 6、思考、分析:结合以上练习思考:原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系? 思考、分析: 通过此问,学生将发现:①原命题为真,它的逆命题不一定为真。②原命题为真,它的否命题不 一定为真。③原命题为真,它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格: 原 真 命 题 逆 真 假 假 假 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
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由表格学生可以发现:原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 逆命题与否命题也总是具 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也总是具 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 有相同的真假性. 有相同的真假性 由此会引起我们的思考:一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系 思考:一个命题的逆命题、 思考 呢?让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系. 学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示: 7、总结归纳 若 P, 则 q. 若 q, 则 P.

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互 原命题 互 互 否 互 否命题 互 若 ¬ P, 则 ¬ q. 为 为

逆 逆命题 否 逆 逆 否 逆否命题 逆 若 ¬ q, 则 ¬ P. 互 否

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 同的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题. 、例题分析: (三) 例题分析:例 4: 证明:若 p + q =2,则 p + q ≤ 2. 、例题分析 分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。 将“若 p + q =2,则 p + q ≤ 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明 它的逆否命题“若 p + q >2,则 p + q ≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的. 证明:若 p + q >2,则 p + q
2 2 2 2 2 2 2 2 2



1 1 1 2 2 2 2 [ -q) +(p +q) ]≥ (p +q) > ×2 =2 (p 2 2 2
2 2

所以 p + q ≠2.这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。 练习巩固:证明:若 a -b +2a-4b-3≠0,则 a-b≠1. 、课堂总结: (2)两个命题互为逆否命题,他 (四) 课堂总结: 、课堂总结 (1)逆命题、否命题与逆否命题的概念; 们有相同的真假性; (3)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系; (4)原命 题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价. 、作业 (五) 作业 、 五、教后反思: 教后反思: P9:习题 1.1A组第2、3、4题

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第三课时

1.2.1 充分条件与必要条件

一、教学目标:1.知识与技能:正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念;会判断命题 教学目标: 的充分条件、必要条件.2.过程与方法:通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养 学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 3.情感、态度与价值观:通过学生的举例,培养他们 的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. 二、教学重点与难点 重点:充分条件、必要条件的概念.(解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详 细讲述概念,最后再应用概念进行论证.) 难点:判断命题的充分条件、必要条件 关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出条件 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 (一)、创设情境 当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候, 你向老师介绍你的妈妈说: “这是我的妈妈” . 那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说: “你是她的孩子”呢?不会了!为什么呢? 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么, 这在数学中是一层什么样的关 系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. 、 (二) 活动尝试 问题 1:前面讨论了“若 p 则 q”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真假,并说 明条件和结论有什么关系? (1)若 x=y,则 x =y (2)若 ab = 0,则 a = 0(3)若 x >1,则 x>1(4)若 x=1 或 x=2, 则 x -3x+2=0 推断符号“ 的含义: 推断符号“ ? ”的含义 “若 p 则 q”为真,是指由 p 经过推理可以得出 q,也就是说,如果 p 符号 成立,那么 q 一定成立,记作 p ? q,或者 q ? p;如果由 p 推不出 q,命题为假,记作 p 简单地说, “若 p 则 q”为真,记作 p ? q(或 q ? p)“若 p 则 q”为假,记作 p ; 、 (三) 师生探究 命题(1)、 (4)为真,是由 p 经过推理可以得出 q,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,此时可 记作“p ? q” ,命题(2)、 (3)为假,是由 p 经过推理得不出 q,即如果 p 成立,推不出 q 成立, 此时可记作“p q(或 q q. p).
2 2 2 2

q.”

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说明: “p ? q”表示“若 p 则 q”为真,可以解释为:如果具备了条件 p,就是以保证 q 成立, 即表示“p 蕴含 q” 。 、 (四) 归纳概括 1.什么是充分条件?什么是必要条件? 1.什么是充分条件?什么是必要条件? 什么是充分条件 一般地, 如果已知 p ? q, 那么就说: 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 如果已知 p ? q, p 充分条件; 必要条件; 充分条件 必要条件 且 q ? p,那么就说:p 是 q 的充分且必要条件,简记充要条件;如果已知 p 充分且必要条件,简记充要条件 充分且必要条件 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 充分条件; 必要条件; 充分条件 必要条件 回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 命题(1)中因 x=y ? x =y ,所以“x=y”是“x =y ”的充分条件, x =y ”是“x=y”的必 “
2 2 2 2 2 2

q,那么就说:p

要条件;x =y 条件;

2

2

x=y,所以“x2=y2”不是“x=y”的充分条件, x=y”不是“x2=y2”的必要 “

,所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0” 命题(2)中因 a = 0 ? ab = 0, 的必要条件. ab = 0 0 ”的必要条件; 命题(3)中, “x>1 ? x >1” 所以 x>1” x >1 的充分条件, x >1” “x>1” 因 , “ 是 “ 是 的必要条件. x >1
2 2 2 2 2

a = 0,所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件, = 0”不是“ab = “a

“ x>1,所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件, x>1”不是“x2>1”的必要条件. 命题 4)中,因 x=1 或 x=2 ? x -3x+2=0,所以“x=1 或 x=2”是“x -3x+2=0”的充要
2 2

分条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,可确定命题按条件和结论的充分性、必要性 可分为四类: (1)充分不必要条件, p ? q, q 即 而

p.(2)必要不充分条件, p 即:

q, q ? p. 而 q, 又有 q p.

(3)既充分又必要条件, p ? q, 即 又有 q ? p.(4)既不充分又不必要条件, p 即

2.充分条件与必要条件的判断: 2.充分条件与必要条件的判断: 充分条件与必要条件的判断 (1)直接利用定义判断:即“若 p ? q 成立,则 p 是 q 的充分条 件,q 是 p 的必要条件”.(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题关系判断: ? q”的等价 “p 命题是“ ? q ? ? p” 。即“若┐q ? ┐p 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件” 。 、 (五) 巩固运用 例 1 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件: (1) p:x-1=0;q:(x-1)(x+2)=0. (2) p:两条直线平行;q:内错角相等. (3) p:a>b;q:a >b
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(4)p:四边形的四条边相等;q:四边形是正四边形.

分析:可根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断. 解:⑴由 p ? q,即 x-1=0 ? (x-1)(x+2)=0,知 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.
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⑵由 p ? q,即两条直线平行 ? 内错角相等,知 p 是 q 的充要条件,q 是 p 的充要条件; ⑶由 p q, a>b 即

a2>b2, p 不是 q 的充分条件, 不是 p 的必要条件; 知 q q

p, a >b 即

2

2

a>b,

知 q 不是 p 的充分条件,p 不是 q 的必要条件.综述:p 是 q 的既不充分条件又不必要条件。 ⑷由 q ? p,即四边形是正四边形 ? 四边形的四条边相等,知 q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要 条件. 由 p q,即四边形的四条边相等 四边形是正四边形,知 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p

的必要条件;综述:p 是 q 的必要不充分条件。 以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么, 如果由命题不是很好判 断的话,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否 命题来进行判断. 例 2(补)如图 1,有一个圆 A,在其内又含有一个圆 B. 请回答: ,则“B 为绿色”中, 为绿色”是“B 为绿色”的 “A ⑴命题:若“A 为绿色” 什么条件; 为绿色”又是“A 为绿色”的什么条件. “B ,则“红点一定在 A 内”中, “红点在 B 内”是“红点在 A 内”的什么 ⑵命题:若“红点在 B 内” 条件; “红点在 A 内”又是“红点在 B 内”的什么条件. 解法 1(直接判断):⑴∵“A 为绿色 ? B 为绿色”是真的,∴由定义知, “A 为绿色”是“B 为绿色”的充分条件; 为绿色”是“A 为绿色”的必要条件. “B “红点在 ⑵如图 2⑴,∵“红点在 B 内 ? 红点在 A 内”是真的,∴由定义知, B 内”是“红点在 A 内”的充分条件; “红点在 A 内”是“红点在 B 内”的必 要条件. 解法 2(利用逆否命题判断):⑴它的逆否命题是:若“B 不为绿色”则“A 不 为绿色”. ∵“B 不为绿色 ? A 不为绿色”为真,∴“A 为绿色”是“B 为 绿色”的充分条件; 为绿色”是“A 为绿色”的必要条件. “B ⑵它的逆否命题是:若“红点不在 A 内” ,则“红点一定不在 B 内”. 如图 2⑵,∵“红点不在 A 内 ? 红点一定不在 B 内”为真,∴“红点在 B 内”是“红点在 A 内”的充分条件; “红点在 A 内” 是“红点在 B 内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?下面我们以例 2 为例来说明. 先说充分性: 说条件是充分的, 也就是说条件是充足的, 条件是足够的, 条件是足以保证的.例如, 说“A 为绿色”是“B 为绿色”的一个充分条件,就是说“A 为绿色” ,它足以保证“B 为绿色”. 它符合上述的“若 p 则 q”为真(即 p ? q)的形式. “ q”为真 为真( 再说必要性:必要就是必须,必不可少.从例 2 的图可以看出,如果“B 为绿色” 可能为绿色, ,A
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A 也可能不为绿色.但如果“B 不为绿色” ,那么“A 不可能为绿色”.因此,必要条件简单说就是: 有它不一定,没它可不行 p”为真 为真( 有它不一定,没它可不行.它满足上述的“若非 q 则非 p”为真(即┐q ? ┐p)的形式. “ 总之,数学上的充分条件、必要条件的“充分”“必要”两词,与日常生活中的“充分”“必 、 、 要”意义相近,不过,要准确理解它们,还是应该以数学定义为依据. 例 2 的问题,若用集合观点又怎样解释呢?请同学们想一想. 给定两个条件 p ,q,要判断 p 是 q 的什么条件,也可考虑集合:A={x |x 满足条件 q},B={x |x 满足条件 p}①A ? B,则 p 为 q 的充分条件,q 为 p 的必要条件;②B ? A, 则 p 为 q 的充要条件,q 为 p 的充要条件; 、 (六) 回顾反思 本节主要学习了推断符号“ ? ”的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分条件与 必要条件的方法.(1)若 p ? q(或若┐q ? ┐p) ,则 p 是 q 的充分条件;若 q ? p(或若┐p ? ┐q) ,则 p 是 q 的必要条件.(2)条件是相互的; (3)p 是 q 的什么条件,有四种回答方式: ① p 是 q 的充分而不必要条件;② p 是 q 的必要而不充分条件; ③ p 是 q 的充要条件; ④ p 是 q 的既不充分也不必要条件。

、练习巩固: (七) 练习巩固:P12 练习 第 1、2、3、4 题 、练习巩固 、作业: (八) 作业: P14:习题 1.2A 组第 1(1)(2),2(1)(2)题 、作业 注: (1)条件是相互的; (2)p 是 q 的什么条件,有四种回答方式: ① p 是 q 的充分而不必要条件;② p 是 q 的必要而不充分条件;③ p 是 q 的充要条件;④ p 是 q 的既不充分也不必要条件. 五、教后反思: 教后反思:

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第四课时 一、教学目标

1.2.2 充要条件

1.知识与技能目标: 、 (1) 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义. 、 (2) 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、 充要条件、 既 不充分也不必要条件.(3) 、通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,. 2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质. 3. 情感、态度与价值观:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养 积极进取的精神. 二、教学重点与难点 重点:1、正确区分充要条件;2、正确运用“条件”的定义解题 难点:正确区分充要条件. 三、教学过程 、 (一) 复习提问 1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“ ? ”的含义 2.指出下列各组命题中, ? q”及“q ? p”是否成立 “p (1)p:内错角相等 (2)p:三角形三边相等 、探析新课 (二) 探析新课 、 (通过复习提问直接引入课题)充要条件定义: 1、 通过复习提问直接引入课题)充要条件定义: 一般地,如果既有 p ? q,又有 q ? p,就记作:p ? q。 这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,我们说 p 是 q 的充分必要条件,简称充要 条件 q 点明思路 :判断 p 是 q 的什么条件,不仅要考查 p?是否成立,即若 p 则 q 形式命题是否正 确,还得考察 q ? p 是否成立,即若 q 则 p 形式命题是否正确。 (学生讨论并解答 2、辨析题: 学生讨论并解答,教师引导并归纳) 辨析题: 学生讨论并解答,教师引导并归纳) ( 思考:下列各组命题中,p 是 q 的什么条件: 1) p: x 是 6 的倍数。 2) p: x 是 2 的倍数。 q:x 是 2 的倍数 q:x 是 6 的倍数 q:两直线平行 q:三角形三个角相等

3) p: x 是 2 的倍数,也是 3 的倍数。q:x 是 6 的倍数

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4) p: x 是 4 的倍数

q:x 是 6 的倍数

总结:1) p ? q 且 q≠> p 则 p 是 q 的充分而不必要条件 2) q ? p 且 p≠>q 则 p 是 q 的必要而不充分条件 3) p ? q 且 q ? p 则 q 是 p 的充要条件 4) p≠>q 且 q≠>p 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 强调:判断 p 是 q 的什么条件,不仅要考虑 p ? q 是否成立,同时还要考虑 q ? p 是否成立。 且 p 是 q 的什么条件,以上四种情况必具其一. 3、巩固强化 例题:指出下列各命题中,p 是 q 的什么条件: 1) p:x>1 2) p:x>5 3) p:(x-2)(x-3)=0 4) p:x=3 5) p:x=±1 q:x>2 q:x>-1 q:x-2=0 q: x =9 q:x 2 -1=0 ∴ p 是 q 的必要而不充分条件 ∴p 是 q 的充分而不必要条件
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解:1) ∵x>1≠> x>2 但 x>2 ? x>1 2) ∵x>5 ? x>-1 但 x>-1≠> x>5

3) ∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0 但 x-2=0 ? (x-2)(x-3)=0 ∴p 是 q 的必要而不充分条件 4) ∵x=3 ? x 2 =9 但 x 2 =9 ≠>x=3 ∴ p 是 q 的充分而不必要条件 ∴p 是 q 的充要条件

5) ∵x= ±1 ? x 2 -1=0 且 x 2 =1 ? x=±1

通过例题引导同学观察归纳:当 p、q 分别从集 A、B 合出现时若 A ? B 但 B 不包含于 A,即 A 是 B 的真子集,则 p 是 q 的充分而不必要条件;若 A ? B 但 A 不包含于 B, 即 B 是 A 的真子集,则 p 是 q 的必要而不充分条件;若 A ? B 且 B ? A 即 A=B 则 p 是 q 的充要条件;若 A 不包含于 B,且 B 不包含于 A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 总结判断 p 是 q 的什么条件:方法 1:考察 p ? q 及 q ? p 是否成立。即:判断若 p 则 q 形式命 题及若 q 则 p 形式命题真假.方法 2:集合观点 4、拓展联系:1)请举例说明:p 是 q 的充分而不必要条件;p 是 q 的必要而不充分条件 拓展联系: p 是 q 的既不充分也不必要条件;p 是 q 的充要条件

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2)从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件” 中选出适当一种填空: ①“a ∈ N”是“a ∈ Z”的 ②“a≠0”是“ab≠0”的 ③“x 2 =3x+4”是“x= 3 x + 4 ”的 ④“四边相等”是“四边形是正方形”的 3)判断下列命题的真假: ①“a>b”是“a 2 >b 2 ”的充分条件;②“a>b”是“a 2 >b 2 ”的必要 条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是“ac 2 >bc 2 ”的充分条件 (点题:举反例在说明 p≠>q 或 q≠>p 时应用) 、巩固提高: 学生讨论,师生共同完成) (三) 巩固提高: 学生讨论,师生共同完成) 、巩固提高 (学生讨论 ( 1、若甲是乙的充分而不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件,问丁是甲的 什么条件? 2、求证:关于 X 的方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是 ac<0 P: 1 ?

3、已知

x ?1 ≤ 2 ,q:x 2 -2x+1-m 2 ≤0 3

(m>0)且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条

件,求实数 m 的取值范围。 (点题:依据:若 p 则 q 命题与其逆否命题若 ? q 则 ? p 同真假,由 ? q ? ? p 且 ? p≠> ? q, 知 p ? q 且 q≠>p) 、小结 学生回顾所学内容并小结,教师补充完善) (四) 小结 (学生回顾所学内容并小结,教师补充完善) 、 (1) 充要条件:若 p ? q 且 q ? p 则 p 是 q 的充要条件 (2) 判断 p 是 q 的什么条件,不仅要考察 p ? q 是否成立,还要考察 q ? p 是否成立 (3) 判断 p ? q 是否成立, 思路 1: 判断若 p 则 q 形式命题真假 ;思路 2: 若 p 则 q 形式命题真假难判断时 判断其逆否命 题真假;思路 3: 集合的观点 、作业: (五) 作业:P14:习题 1.2A 组第 1(3)(2),2(3),3 题 、作业 五、教后反思: 教后反思:

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1.3 简单的逻辑联结词 第五课时 1.3.1 且与或 (1)掌握逻辑联结词“或、且”的含义; (2)正确应用逻辑 一、教学目标:1.知识与技能目标: 教学目标: 联结词“或、且”解决问题; (3)掌握真值表并会应用真值表解决问题。2.过程与方法目标:在 观察和思考中,在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养.3.情感态 度价值观目标:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 二、教学重点与难点 重点: 重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“或、且”的含义,使学生能正确地表述相关数学内 容。难点:1、正确理解命题“P∧q” 难点: “P∨q”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“P 难点 ∧q” “P∨q”. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、引入: (一) 引入:在当今社会中,人们从事任何工作、学习,都离不开逻辑.具有一定逻辑知识是 、引入 构成一个公民的文化素质的重要方面.数学的特点是逻辑性强,特别是进入高中以后,所学的数 学比初中更强调逻辑性.如果不学习一定的逻辑知识,将会在我们学习的过程中不知不觉地经常 犯逻辑性的错误.其实,同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识. 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且” “或” “非” 。在生活用语中,我们也使用这些联 结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且” “或” “非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便,今后常用小写字母 p,q,r,s,…表示命题。 (注意与上节学习命题的条件 p 与结 论 q 的区别) 、探析新课 (二) 探析新课 、 1、思考、分析:问题 1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系? 思考、分析: (1)①12 能被 3 整除;②12 能被 4 整除;③12 能被 3 整除且能被 4 整除。 (2)①27 是 7 的倍数;②27 是 9 的倍数;③27 是 7 的倍数或是 9 的倍数。 学生很容易看到,在第(1)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题, 在第(2)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题, 。 问题 2:以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢?你能否举一些例 子?
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例如:命题 p:菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。 命题 q:三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。 2、归纳定义 一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作 p∧q 读作“p 且 q” 。 一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作 p∨q,读作 “p 或 q” 。 命题“p∧q”与命题“p∨q”即,命题“p 且 q”与命题“p 或 q”中的“且”字与“或” 字 与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗? (1)若 x∈A 且 x∈B,则 x∈A∩B。 (2)若 x∈A 或 x∈B,则 x∈A∪B。 定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻 辑联结词“且”与日常语言中的“和”“并且”“以及”“既…又…”等相当,表明前后两者同 , , , 时兼有,同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同,例如“你去或我去”,理解 上是排斥你我都去这种可能. 说明:符号“∧”与“∩”开口都是向下,符号“∨”与“∪”开口都是向上。 注意: q”, q”,命题中的“p”、“q”是两个命题 而原命题,逆命题,否命题, 是两个命题, 注意:“p 或 q”,“p 且 q”,命题中的“p”、“q”是两个命题,而原命题,逆命题,否命题, 逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. 逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. “p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分 3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定 命题“ 与命题“ 你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗?命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命 题 p,q 的真假之间有什么联系? 引导学生分析前面所举例子中命题 p,q 以及命题 p∧q 的真假性,概括出这三个命题的真假之间 的关系的一般规律。 例如:在上面的例子中, 例如:在上面的例子中,第(1)组命题中,①②都是真命题,所以命题③是真命题。 组命题中,①②都是真命题,所以命题③是真命题。 都是真命题 第(2)组命题中,①是假命题,②是真命题,但命题③是真命题。 组命题中, 是假命题, 是真命题,但命题③是真命题。 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假

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p 真 真 假 ( 即 一 假 则 假 ) 假

q 真 假 真 假

p∨q 真 真 真 假 (即一真则真)

一般地,我们规定: 都是真命题时, 是真命题; 两个命题中有一个命题是假命题时, 当 p,q 都是真命题时,p∧q 是真命题;当 p,q 两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q 是假命题; 两个命题中有一个是真命题时, 是真命题; 是假命题;当 p,q 两个命题中有一个是真命题时,p∨q 是真命题;当 p,q 两个命题都是假命题 是假命题。 时,p∨q 是假命题。 (三) 例题 、 例 1:将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式,并判断它 们的真假。 (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等。 (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35 是 15 的倍数,q:35 是 7 的倍数. 解: (1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形 的对角线互相平分且相等. p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成平行四边形的对角 线互相平分或相等. 由于 p 是真命题,且 q 也是真命题,所以 p∧q 是真命题, p∨q 也是真命题. (2) p∧q: 菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直 且平分. p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直或平 分. 由于 p 是真命题,且 q 也是真命题,所以 p∧q 是真命题, p∨q 也是真命题. (3)p∧q:35 是 15 的倍数且 35 是 7 的倍数. 也可简写成 35 是 15 的倍数且是 7 的倍数. p∨q: 35 是 15 的倍数或 35 是 7 的倍数. 也可简写成 35 是 15 的倍数或是 7 的倍数. 由于 p 是假命题, q 是真命题,所以 p∧q 是假命题, p∨q 是真命题. 说明,在用"且"或"或"联结新命题时,如果简写,应注意保持命题的意思不变. 例 2:选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题,并判断它们的真假。 (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 是素数且 3 是素数; (3)2≤2. 解略. 例 3、判断下列命题的真假; (1)6 是自然数且是偶数; (2)?是 A 的子集且是 A 的真子集; (3)
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集合 A 是 A∩B 的子集或是 A∪B 的子集; (4)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角 形全等. 解略. 、练习: (四) 练习:P20 练习第 1 , 2 题 、练习 、课堂总结: (2)正确应用逻辑联结词“或、且” (五) 课堂总结: 、课堂总结 (1)掌握逻辑联结词“或、且”的含义; ; 解决问题; ; (3)掌握真值表并会应用真值表解决问题 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P∧q 真 假 假 假 P∨q 真 真 真 假

(六) 作业:P20:习题1.3A组第 1、2 题 、作业: 、作业 五、教后反思: 教后反思:

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第六课时 一、教学目标

1.3.2 1.3.2



1.知识与技能目标: (2)正确应用逻辑联结词“非”解决问 1.知识与技能目标: 知识与技能目标 (1)掌握逻辑联结词“非”的含义; 题; (3)掌握真值表并会应用真值表解决问题 2.过程与方法目标:观察和思考中,在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维能力中严 过程与方法目标: 密性品质的培养. 3.情感态度价值目标:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积 3.情感态度价值目标: 情感态度价值目标 极进取的精神. 二、教学重点与难点 重点:通过数学实例,了解逻辑联结词“非”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容. 难点: 1、正确理解命题 “¬P”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题 “¬P”. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 三、教学过程: 教学过程 、思考、 (一) 思考、分析 问题 1:下列各组命题中的两个命题间有什么关系? (1) ①35 能被 5 整除; (2) ①方程 x +x+1=0 有实数根。
2

②35 不能被 5 整除; ②方程 x +x+1=0 无实数根。
2

学生很容易看到,在每组命题中,命题②是命题①的否定。 、 (二) 归纳定义 1、定义:一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作¬p;读作“非 p”或 定义: 定义 “p 的否定” 。 2、命题“¬p”与命题 p 的真假间的关系 ¬ 命题“¬p”与命题 p 的真假之间有什么联系? ¬ 引导学生分析前面所举例子中命题 p 与命题¬p 的真假性,概括出这两个命题的真假之间的关系 ¬ 的一般规律。 例如:在上面的例子中,第(1)组命题中,命题①是真命题,而命题②是假命题。 第(2)组命题中,命题①是假命题,而命题②是真命题。 由此可以看出,既然命题¬P 是命题 P 的否定,那么¬P 与 P 不能同时为真命题,也不能同时为假 命题,也就是说, 是真命题, 必是假命题; 是假命题, 必是真命题; 若 p 是真命题,则¬p 必是假命题;若 p 是假命题,则¬p 必是真命题;
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p 命题的否定与 3、 么区别? 真 假

¬P 假 真 否命题的区别: 否命题的区别:让学生思考:命题的否定与原命题的否命题有什

命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定, 命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定,因此在 解题时应分请命题的条件和结论。 例:如果命题 p:5 是 15 的约数,那么命题¬p:5 不是 15 的约数; p 的否命题:若一个数不是 5,则这个数不是 15 的约数。 显然,命题 p 为真命题,而命题 p 的否定¬p 与否命题均为假命题。 、例题分析 (三) 例题分析 、 例 1 写出下表中各给定语的否定语。 若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个

其否定语分别为 分析: 分析:“等于”的否定语是“不等于”;“大于”的否定语是“小于或者等于”;“是”的 否定语是“不是”; “都是”的否定语是“不都是”;“至多有一个”的否定语是“至少有两 个”;“至少有一个”的否定语是“一个都没有”。 例 2:写出下列命题的否定,判断下列命题的真假 (1)p:y = sinx 是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合 A 的子集。 解析: (1)¬P:y = sinx 不是周期函数;假命题; (2)¬P:3≥2;真命题; (3)¬P:空集不 是集合 A 的子集;假命题。 、练习巩固: (四) 练习巩固:P20 练习第 3 题 、练习巩固 、小结 (2)简洁、准确地表述命题 “¬ (五) 小结(1)正确理解命题 “¬P”真假的规定和判定. 、小结 P”. 、作业 (六) 作业 、 五、教后反思: 教后反思: P20:习题1.3A组第 3 题

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第七课时

简单的逻辑联结词( 简单的逻辑联结词(一)或且非

、 、 一、教学目标:了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,理解复合命题的结构. 教学目标: 、 、 二、教学重点:逻辑联结词“或”“且”“非”的含义及复合命题的构成。 教学重点: 教学难点: 教学难点:对“或”的含义的理解; 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 (一) 创设情境:前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框 、 创设情境: 架。本节内容,我们将学习一些简单命题的组合,并学会判断这些命题的真假。 问题 1:下列语句是命题吗?如果不是,请你将它改为命题的形式 ①11>5 ②3 是 15 的约数吗? ③0.7 是整数 ④x>8

、 (二) 活动尝试 ①是命题,且为真;②不是陈述句,不是命题,改为③是 3 是 15 的约数,则为真; ③是假命题 ④是陈述句的形式,但不能判断正确与否。改为 x ≥0,则为真; 例如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前, 是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题) 。我们 不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,只要能从正面的例子了解命 题的概念就可以了。 、 (三) 师生探究 (1)6 可以被 2 或 3 整除; (2)6 是 2 的倍数且 6 是 3 的倍数; (3) 2 不是有理数; 问题 2: 上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别?比前面的命题复杂了,且(1)和(2)明显 是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。 命题(1)中的“或”与集合中并集的定义:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}的“或”意义相同. 命题(2)中的“且”与集合中交集的定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}的“且”意义相同. 命题(3)中的“非”显然是否定的意思,即“ 2 不是有理数”是对命题 2 是有理数”进行否 定而得出的新命题. 、 (四) 抽象概括 逻辑连接词:命题中的“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词 、 、 1. 逻辑连接词
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奎屯

2

复合命题的构成:简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 2. 复合命题的构成 复合命题:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
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3.复合命题构成形式的表示 3.复合命题构成形式的表示:常用小写拉丁字母 p、q、r、s……表示简单命题. 复合命题构成形式的表示 复合命题的构成形式是:p 或 q;p 且 q;非 p. 即:p 或 q 记作 p∨q p且q 记作 p∧q 非p (命题的否定) 记作 ?p

释义: 或 q”是指 p,q 中的任何一个或两者.例如, ∈ A 或 x ∈ B” “p “x ,是指 x 可能属于 A 但不属 于 B(这里的“但”等价于“且”,x 也可能不属于 A 但属于 B,x 还可能既属于 A 又属于 B(即 ) x ∈ A∪B) ;又如在“p 真或 q 真”中,可能只有 p 真,也可能只有 q 真,还可能 p,q 都为真. “p 且 q” 是指 p,q 中的两者.例如, ∈ A 且 x ∈ B” 是指 x 属于 A, “x , 同时 x 也属于 B (即 x ∈ A I B) . ,则“非 p”表示 x 不是集合 A 的元素(即 “非 p”是指 p 的否定,即不是 p. 例如,p 是“x ∈ A” x ∈ ?U A ). 、巩固运用: 1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题: (五) 巩固运用:例 1: (1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员; (3)平行线不相 交 解: (1)中的命题是 p 且 q 的形式,其中 p:24 是 8 的倍数;q:24 是 6 的倍数. (2)的命题是 p 或 q 的形式,其中 p:李强是篮球运动员;q:李强是跳高运动员. (3)命题是非 p 的形式,其中 p:平行线相交。 (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) π 不是整数; 例 2: 分别指出下列复合命题的形式(1)8≥7; 解: (1)是“ p ∨ q ”形式, p : 8 > 7 , q :8=7; (2)是“ p ∧ q ”形式, p :2 是偶数, q : 2 是质数; (3)是“ ?p ”形式, p : π 是整数; (1)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; (2)q:存在一个实数 x, 例 3:写出下列命题的非命题: 使得 x -9=0(3) “AB∥CD”且“AB=CD”(4) ; “△ABC 是直角三角形或等腰三角形” . 解: (1)存在一个实数 x,使得 x -2x+1<0; (2)不存在一个实数 x,使得 x -9=0; (3)AB 不平行于 CD 或 AB≠CD; (4)原命题是“p 或 q”形式的复合命题,它的否定形式是: △ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形. 复合命题的构成要注意: “p 或 q”“p 且 q”的两种复合命题中的 p 和 q 可以是毫无关系的 (1) 、 两个简单命题(2) “非 p”这种复合命题又叫命题的否定;是对原命题的关键词进行否定。 下面给出一些关键词的否定: 正面 或 语词 否定 且 于 不 不大于 不小于
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2 2 2 2

等 大于 小于 是 不是 都是 不都是 至少一个

至多 一个 一个也 至少

等 于

(小于等于) (大于等于)

没有

两个

、回顾反思: 、 、 (六) 回顾反思:本节课讨论了简单命题与复合命题的构成,以及逻辑联结词“或”“且”“非” 的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。 、作业布置: (七) 作业布置:1.命题“方程 x =2 的解是 x=± 2 是(
2

)

A.简单命题 B.含“或”的复合命题 C.含“且”的复合命题 D.含“非”的复合命题 2.用“或” “且” “非”填空,使命题成为真命题: (1)x∈A∪B,则 x∈A__________x∈B; (2)x∈A∩B,则 x∈A__________x∈B; (3)a、b∈R,a>0__________b>0,则 ab>0. R 3.把下列写法改写成复合命题“p 或 q” 且 q”或“非 p”的形式: “p (1) (a-2) (a+2)=0; (2) ?

?x = 1 ; (3)a>b≥0. ?y = 2

4.已知命题 p:a∈A,q:a∈B,试写出命题“p 或 q” p 且 q” p”的形式. “ “┐ 5.用否定形式填空: (1)a>0 或 b≤0; (3)A 是 B 的子集.___________________ (2)三条直线两两相交 (4)a,b 都是正数.___________________

(5)x 是自然数.___________________(在 Z 内考虑) 6.在一次模拟打飞机的游戏中,小李接连射击了两次,设命题 p1是“第一次射击中飞机” ,命题

p2是“第二次射击中飞机”试用 p1、p2以及逻辑联结词或、且、非(∨,∧,┐)表示下列命题:
命题 S:两次都击中飞机;命题 r:两次都没击中飞机;?命题 t:恰有一次击中了飞机; 命题 u:至少有一次击中了飞机.? 【参考答案:1.B;2. (1)或 (2)且 (3)且;3. (1)p:a-2=0 或 q:a+2=0; (2)p: x=1 且 q: y=2 ; (3)p:a>b 且 q:b≥0;4.命题“p 或 q” :a∈A 或 a∈B. 且 q” “p :a∈A 且 a∈B. “┐p” ? A;5.(1)a≤0 且 b>0(2)三条直线中至少有两条不相交(3)A 不是 B 的子集 :a (4)a,b 不都是正数(5)x 是负整数.6. (1) p ∧ q (2)?p ∧ ?q (3)( p ∧ ?q ) ∨ (?p ∧ q ) (4) 五、教后反思: 后反思:

22

第八课时

简单的逻辑联结词( 简单的逻辑联结词(二)复合命题

“且” “非”的含义的理解,能利用真值表判断含有复合命题的真假; 一、教学目标:加深对“或” 教学目标: 教学难点: 二、教学重点:判断复合命题真假的方法;教学难点:对“p 或 q”复合命题真假判断的方法 教学重点: 教学难点 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、创设情境: (一) 创设情境:1.什么叫做命题?(可以判断真假的语句叫命题 正确的叫真命题,错误的叫 、创设情境
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞
奎屯

假命题 )2.逻辑联结词是什么?( “或”的符号是“∨”“且”的符号是“∧”“非”的符号是 、 、
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“┑” ,这些词叫做逻辑联结词)3.什么叫做简单命题和复合命题?(不含有逻辑联结词的命题 是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题 )4.复合命题 、 、
新疆 王新敞 奎屯

的构成形式是什么?p 或 q(记作“p∨q” ); p 且 q(记作“p∨q” );非 p(记作“┑q” ) 、活动尝试 (二) 活动尝试 、 (1)8≥7; (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) π 不是整数; 问题 1: 判断下列复合命题的真假: 解: (1)真; (2)真; (3)真; 命题的真假结果与命题的结构中的 p 和 q 的真假有什么联系吗?这中间是否存在规律? 、师生探究 (三) 师生探究 、 1. “非 p”形式的复合命题真假:

新疆 王新敞 奎屯

(1)p:方程 x +1=0 有实数根; (2)p:存在一个实数 x, 例 1:写出下列命题的非,并判断真假: 使得 x -9=0. (3)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; (4)p:等腰三角形两底角相等 显然,当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. 当 为真时, 为假; 为假时, 为真. 2. 且 q”形式的复合命题真假: “p (1)正方形 ABCD 是矩形,且是菱形; (2)5 是 10 的约数且是 15 的 例 2:判断下列命题的真假: 约数(3)5 是 10 的约数且是 8 的约数(4)x -5x=0 的根是自然数 所以得:当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。 当 为真时, 为真; 中至少有一个为假时, 为假。 3. 或 q”形式的复合命题真假: “p (1)5 是 10 的约数或是 15 的约数; (2)5 是 12 的约数或是 8 的约 例 3:判断下列命题的真假: 数; (3)5 是 12 的约数或是 15 的约数; (4)方程 x -3x-4=0 的判别式大于或等于零 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。 中至少有一个为真时, 为真; 都为假时, 为假。 、概括归纳 (四) 概括归纳 、 1. “非 p”形式的复合命题真假:当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. 为假; 为假时, 为真. 当 为真时,
2 2 2 2

2

23

p 真 假 2. 且 q”形式的复合命题真假: “p 为真时, 为真; 当 p、q 为真时,p 且 q 为真; p 真 真 假 假 q 真 假 真 假

非p 假 真

(真假相反)

中至少有一个为假时, 为假。 当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。 p且q 真 假 假 假 (一假必假)

3. 或 q”形式的复合命题真假: “p 中至少有一个为真时, 为真; 都为假时, 为假。 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q 真 真 真 假 (一真必真)

注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表; 2°由真值表得: “非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反; 且 q”形式复合命题当 p “p 与 q 同为真时为真,其他情况为假; 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况为 “p 真; 3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。如:p 表示“圆周率π是无理数” 表示“△ ,q ABC 是直角三角形”尽管 p 与 q 的内容毫无关系, , 但并不妨碍我们利用真值表判断其命题 p 或 q 的 真假。 4°介绍“或门电路” “与门电路” 。

或门电路(或)

与门电路(且)
24

、 (五) 巩固运用 例 4:判断下列命题的真假: (1)4≥3 (2)4≥4 (3)4≥5 (4)对一切实数 x, x2 + x +1 ≥ 0

分析: (4)为例:第一步:把命题写成“对一切实数 x, x 2 + x + 1 > 0 或 x 2 + x + 1 = 0 ”是 p 或 q 形式; 第二步: 其中 p 是 “对一切实数 x, x 2 + x + 1 > 0 ” 为真命题; 是 q “对一切实数 x, x 2 + x + 1 = 0 ” 是假命题。第三步:因为 p 真 q 假,由真值表得: “对一切实数 x, x 2 + x + 1 ≥ 0 ”是真命题。 例 5:分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q、p 且 q、非 p 形式的复合命题的真假: (1)p:2+2=5; (2)p:9 是质数; (3)p:1∈{1,2}; (4)p: Φ ? {0}; q:3>2 q:8 是 12 的约数; q:{1} ? {1,2} q: Φ = {0}

解:①p 或 q:2+2=5 或 3>2 ;p 且 q:2+2=5 且 3>2 ;非 p:2+2 ≠ 5. ∵p 假 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ②p 或 q:9 是质数或 8 是 12 的约数;p 且 q:9 是质数且 8 是 12 的约数;非 p:9 不是质数. ∵p 假 q 假,∴“p 或 q”为假, 且 q”为假, “p “非 p”为真. ③p 或 q:1∈{1,2}或{1} ? {1,2};p 且 q:1∈{1,2}且{1} ? {1,2};非 p:1 ? {1,2}. ∵p 真 q 真,∴“p 或 q”为真, 且 q”为真, “p “非 p”为假. ④p 或 q:φ ? {0}或φ={0};p 且 q:φ ? {0}且φ={0} ;非 p:φ ? {0}. ∵p 真 q 假,∴“p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为假. 、回顾反思: (1)把复合命题写成两个简单命题,并确定复 (六) 回顾反思:1.判断复合命题真假的步骤: : 合命题的构成形式; (2)判断简单命题的真假; (3)根据真值表判断复合命题的真假。 2.注意数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别: “或”这个逻辑联结词的用法,一般 有两种解释:一是“不可兼有” ,即“a 或 b”是指 a,b 中的某一个,但不是两者.日常生活中有 时采用这一解释.例如 “你去或我去”人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是 , “可兼有” , 即“a 或 b”是指 a,b 中的任何一个或两者.例如“x ∈ A 或 x ∈ B” ,是指 x 可能属于 A 但不属于 B (这里的“但”等价于“且”,x 也可能不属于 A 但属于 B,x 还可能既属于 A 又属于 B(即 x ∈ A ) ∩B) ;又如在“p 真或 q 真”中,可能只有 p 真,也可能只有 q 真,还可能 p,q 都为真.数学书中 一般采用这种解释,运用数学语言和解数学题时,都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味

25

“一定兼有”.“苹果是长在树上或长在地里”这一命题,按真值表判断,它是真命题,但在日常 生活中,我们认为这句话是不妥的. 、 1. 如果命题 或 q” “非 p” “p 和 都是真命题, 则命题 q 的真假是_________。 (七) 作业布置: (1) 作业布置: (2)如果命题“p 且 q”和“非 p”都是假命题,则命题 q 的真假是_________。 2.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假. (1)5 和 7 是 30 的约数.(2)菱形的对角线互相垂直平分.(3)8x-5<2 无自然数解. 3.判断下列命题真假: (1)10≤8; (3)2+2=5 或 3>2. (2)π为无理数且为实数; (4)若 A∩B= ? ,则 A= ? 或 B= ? .

4.已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若 p 或 q 为 真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围。 【参考答案: 1. (1)真; (2)假;2.(1)是“p 或 q”的形式.其中 p:5 是 30 的约数;q:7 是 30 的约数,为真命题.(2) “p 且 q” .其中 p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平 分;为真命题.(3)是“┐p”的形式.其中 p:8x-5<2 有自然数解.∵p:8x-5<2 有自然数解.如 x=0,则为真命题.故“┐p”为假命题.3. (1)假命题; (2)真命题; (3)真命题. (4)真命 题.4.由 p 命题可解得 m>2,由 q 命题可解得 1<m<3;由命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 命题 p 或 q 中有一个是真, 另一个是假 (1) 若命题 p 真而 q 为假则有 ?

?m > 2 ? m ≥ 3(2) ?m ≤ 1, 或m ≥ 3

若命题 p 真而 q 为假,则有 ? 五、教后反思: 教后反思:

?m ≤ 2 ? 1 < m ≤ 2 所以 m≥3 或 1<m≤2。 ?1 < m < 3

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全称量词与存在量词 1.4 全称量词与存在量词 第九课时 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 一、教学目标 1.知识与技能目标: 1.知识与技能目标: 知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常 见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表 示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标:使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 2.过程与方法目标: 过程与方法目标 3.情感态度价值观: 3.情感态度价值观:通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在 情感态度价值观 练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. 二、教学重点与难点 教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义;难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 三、教学过程 (一)思考、分析 思考、 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数;(2) x>3;(3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本 都是采用人民教育出版社 A 版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的 x ∈R, x>3; (8)对任意一个 x∈Z,2x+1是整数。 、推理、 (二) 推理、判断 、推理 (让学生自己表述) (1)(2)不能判断真假,不是命题。 、(4)是命题且是真命题。 、 (3) (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉 及到“存在量词” “特称命题” “全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出 版社 A 版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. 命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如 x=2) x<3. , (至少有一个 x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个 x∈Z,使 2x+1不是整数。也可以说命题:存在某
27

个 x∈Z使 2x+1不是整数,是假命题. 、发现、 (三) 发现、归纳 、发现 命题(5)-(8)跟命题(3)(4)有些不同,它们用到 “所有的” 任意一个” 这样的 、 “任意一个 所有的” 任意一个” “ 词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部 整体或全部,这样的词叫做全称量词 叫做全称量词,用符号“?” 整体或全部 叫做全称量词 “ 表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。命题(5)-(8)都是全称命题。 含有全称量词的命题,叫做全称命题 含有全称量词的命题 通常将含有变量 x 的语句用 p(x) ,q(x) ,r(x) ……表示,变量 x 的取值范围用 M 表示。 , 那么全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M, p(x) ,读做“对 任意 x 属于 M,有 p(x)成立” 。 刚才在判断命题(5)-(8)的真假的时候,我们还得出这样一些命题: (5)存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社 A 版的教科书; (6)存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. (7) 存在一个(个别、某些)实数 x(如 x=2) ,使 x≤3. (至少有一个 x∈R, x≤3) (8)不存在某个 x∈Z使 2x+1不是整数. 这些命题用到了“存在一个” 至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分 “存在一个” 至少有一个” “至少有一个 “ 整体的一部分 含有存在量词的命题叫做特称命题( 的词叫做存在量词 存在量词。并用符号“ ? ”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)命 含有存在量词的命题叫做特称命题 或存在命题) 存在量词 “ 题(5)-(8)都是特称命题(存在命题) . 特称命题: “存在 M 中一个 x,使 p(x)成立”可以用符号简记为: ?x ∈ M , p ( x ) 。读做“存 在一个 x 属于 M,使 p(x)成立” . 全称量词相当于日常语言中“凡”“所有”“一切”“任意一个”等;存在量词相当于日常 , , , 语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“ 至多有一个”等. , , , , 、练习、 (四) 练习、感悟 、练习 (1)下列全称命题中,真命题是: A. 所有的素数是奇数; C. ?x ∈ R, x + B. ?x ∈ R, ( x ? 1) 2 f 0 ; D. ?x ∈ (0,
, , , , , ,

1 ≥2 x

π
2

),sin x +

1 ≥2 sin x

(2)下列特称命题中,假命题是: A.

?x ∈ R, x 2 ? 2 x ? 3 = 0

B.至少有一个 x ∈ Z , x 能被 2 和 3 整除 D. ?x ∈ {x | x是无理数},x 是有理数.
2

C. 存在两个相交平面垂直于同一直线

28

(3)已知:对 ?x ∈ R , a p x +

+

1 恒成立,则 a 的取值范围是 x

; ;

变式:已知:对 ?x ∈ R + , x 2 ? ax + 1 p 0 恒成立,则 a 的取值范围是 (4)求函数 f ( x) = ? cos x ? sin x + 3 的值域;
2

变式:已知:对 ?x ∈ R, 方程 cos x + sin x ? 3 + a = 0 有解,求 a 的取值范围.
2

、作业、 (五) 作业、探究 、作业 (1)作业:P29 习题 1.4A 组 1、2 题: 判断下列全称命题的真假: ①末位是 o 的整数,可以被 5 整除; ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ③负数的平方是正数; ④梯形的对角线相等。 (2)判断下列特称命题的真假: ①有些实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有些菱形是正方形。 (3)探究: ①请课后探究命题(5)-(8)跟命题(5)-(8)分别有什么关系? ②请你自己写出几个全称命题,并试着写出它们的否命题.写出几个特称命题,并试着写 出它们的否命题。 五、教后反思: 教后反思:
, ,

29

第十课时 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 一、教学目标 教学目标 1.知识与技能目标 1.知识与技能目标 (1) 通过探究数学中一些实例, 使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的 变化规律. (2) 通过例题和习题的教学, 使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化 规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩 证唯物主义思想教育. 二、教学重点与难点 教学重点:通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,会正确地对 含有一个量词的命题进行否定. 教学难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、回顾 (一) 回顾 、 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题 p ,如何得到命题 p 的否定(或非 p ) ,它们的真假性之间有何联系? 、探析新课 (二) 探析新课 、 1、思考、分析:判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出下列命题的否定吗? 思考、分析: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x∈R, x -2x+1≥0。 (4)有些实数的绝对值是正数; (5)某些平行四边形是菱形; (6)? x∈R, 2、推理、判断 推理、
30
2

x +1<0。

2

你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? (让学生自己表述) 前三个命题都是全称命题,即具有形式“ ?x ∈ M , p ( x ) ” 。 其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形” , 也就是说,存在一个矩形不都是平行四边形; 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数;, ” 也就是说,存在一个素数不是奇数; 命题(3)的否定是“并非?x∈R, 也就是说,?x∈R, x -2x+1≥0” , x -2x+1<0;
2 2

后三个命题都是特称命题,即具有形式“ ?x ∈ M , p ( x ) ” 。 其中命题(4)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数” , 也就是说,所有实数的绝对值都不是正数; 命题(5)的否定是“没有一个平行四边形是菱形” , 也就是说,每一个平行四边形都不是菱形; 命题(6)的否定是“不存在 x∈R, 也就是说,?x∈R, 3、发现、归纳 发现、 从命题的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变 成了全称命题。 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 P: , x +1<0” x +1≥0;
2 2

?x ∈ M , p ( x)
它的否定¬P

?x ∈ M , p ( x)
特称命题 P:

?x ∈ M , p ( x)
它的否定¬P: ?x∈M,¬P(x)
31

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。 4、练习、感悟 练习、 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定: (1) p:所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对?x∈Z,x 个位数字不等于 3; (4) p:? x∈R, x +2x+2≤0; (5) p:有的三角形是等边三角形; (6) p:有一个素数含三个正因数。 、小结与作业 (三) 小结与作业 、 (1)小结:如何写出含有一个量词的命题的否定,原先的命题与它的否定在形式上有什么 变化? (2)作业:P29 习题 1.4A 组第 3 题:B 组(1) (3) (2) (4) 五、教后反思: 教后反思:
2 2

32

第十一课时

全称量词与存在量词( 全称量词与存在量词(一)量词

一、教学目标:了解量词在日常生活中和数学命题中的作用,正确区分全称量词和存在量词的概 教学目标: 念,并能准确使用和理解两类量词。 教学难点: 二、教学重点:理解全称量词、存在量词的概念区别;教学难点:正确使用全称命题、存在性命 教学重点: 教学难点 题; 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、创设情境: (一) 创设情境:在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有“至多、至 少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天 我们将专门学习和讨论这类问题,以解心中的郁结。 问题 1:请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 ⑤一 人家;⑥一 小船 纸; ②一 牛;③一 狗;④一 马;

①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,又有 兼表形象特征的作用,选用时主要应该讲求形象性,同时要遵从习惯性,并注意灵活性。不遵守 量词使用的这些原则,就会闹出“一匹牛” “一头狗” “一只鱼”的笑话来。 、活动尝试: (二) 活动尝试:所有已知人类语言都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量 词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的 给予它数学的意境。 (2)存在实数 x,满足 问题 2:下列命题中含有哪些量词?(1)对所有的实数 x,都有 x ≥0;
2 2 x2≥0; (3)至少有一个实数 x,使得 x -2=0 成立; (4)存在有理数 x,使得 x -2=0 成立; 2

(5)对于任何自然数 n,有一个自然数 s 使得 s = n × n; (6)有一个自然数 s 使得对于所有 自然数 n,有 s = n × n;上述命题中含有: “所有的”“存在”“至少”“任何”等表示全体 、 、 、 和部分的量词。 、师生探究: (三) 师生探究:命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。命题的量词,表示的是主词 数量的概念。在谓词逻辑中,量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。 全称量词:如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物 x 来 全称量词 说,x 都是 F。”例句:“所有的鱼都会游泳。”存在量词 存在量词:如“有”、“有的”、“有些”等。 存在量词 其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物 x,x 是 F。”例句:“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
33

单称命题:其公式为“(这个)S 是 P”。例句:“这件事是我经办的。”单称命题表示个体, 单称命题 一般不需要量词标志,有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。 全称命题:其公式为“所有 S 是 P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称 全称命题 量词,也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量 词标志,如“人类是有智慧的。” 特称命题:其公式为“有的 S 是 P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量 特称命题 词,如“有些”、“很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性 量词的命题也称存在性命题。 (2)凡是质数 问题 3:判断下列命题是全称命题,还是存在性命题? (1)方程 2x=5 只有一解; 都是奇数; (3)方程 2x +1=0 有实数根; (4)没有一个无理数不是实数; (5)如果两直线不相交, 则这两条直线平行; (6)集合 A∩B 是集合 A 的子集; 分析: (2)全称命题; (3)存在性命题; (4)全称命题; (5)全称命题; (6) 分析 (1)存在性命题; 全称命题; 、 (四) 概括归纳 1.开语句 开语句:语句中含有变量 x 或 y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这 开语句 种含有变量的语句叫做开语句。如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0. 开语句。 开语句 2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词 量词。量词可分两种: 量词 (1) 全称量词:日常生活和数学中所用的“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡” 全称量词: , , , , , “都”等词可统称为全称量词,记作 ?x 、 ?y 等,表示个体域里的所有个体。 (2) 存在量词 存在量词:日常生活和数学中所用的“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等词统 , , , 称为存在量词,记作 ?x , ?y 等,表示个体域里有的个体。 3.含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式:“对 M 中的所有 x,p(x)”的命题,记为: ?x ∈ M , p ( x) 全称命题的格式 存在性命题的格式:“存在集合 M 中的元素 x,q(x)”的命题,记为: ?x ∈ M , q ( x) 存在性命题的格式 全称量词就是“任意”, 写成上下颠倒过来的大写字母 A, 实际上就是英语"any"中的首字母。 注: 存在量词就是“存在”、“有”,写成左右反过来的大写字母 E,实际上就是英语"exist"中的首 字母。存在量词的“否”就是全称量词。 、 (五) 巩固运用 (1)?x ∈ R, x > x 例 1 判断以下命题的真假:
2

2

(2)?x ∈ R, x > x
2

(3)?x ∈ Q, x 2 ? 8 = 0 (4)

34

?x ∈ R, x + 2 > 0
2

分析: (2)假; (3)假; (4)真; 分析 (1)真;
2

例 2 指出下述推理过程的逻辑上的错误:第一步:设 a=b,则有 a =ab 第二步:等式两边都减去

b2, a2-b2=ab-b2 第三步: 得 因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步: 等式两边都除以 a-b 得, a+b=b
第五步:由 a=b 代人得,2b=b 第六步:两边都除以 b 得,2=1 分析:第四步错:因 a-b=0,等式两边不能除以 a-b 第六步错:因 b 可能为 0,两边不能立即除 以 b,需讨论。心得:(a+b)(a-b)=b(a-b) ? a+b=b 是存在性命题,不是全称命题,由此得到的 结论不可靠。同理,由 2b=b ? 2=1 是存在性命题,不是全称命题。 例 3 判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个 实数; (4)每一个向量都有方向; (2)存在性命题, ? 0∈R, 分析: (1)全称命题, ? 河流 x∈{中国的河流},河流 x 注入太平洋; 0 不能作除数; (3)全称命题, ? x∈R,

x 1

=x; (4)全称命题, ? a , a 有方向;

r

r

(六) 回顾反思:要判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 、 回顾反思: p(x)为真;要判断一个存在性命题为假,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为假。 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为真;但要判断一个 全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为假。 即全称命题与存在性命题之间有可能转化,它们之间并不是对立的关系。 、作业布置: (七) 作业布置:1.判断下列全称命题的真假,其中真命题为( A.所有奇数都是质数 C.对每个无理数 x,则 x 也是无理数
2 2 2



B. ?x ∈ R, x + 1 ≥ 1
2

D.每个函数都有反函数 )

2.将“x +y ≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( A. ?x, y ∈ R ,都有 x 2 + y 2 ≥ 2 xy C. ?x > 0, y > 0 ,都有 x 2 + y 2 ≥ 2 xy 3.判断下列命题的真假,其中为真命题的是 A. ?x ∈ R , x + 1 = 0
2

B. ?x, y ∈ R ,都有 x 2 + y 2 ≥ 2 xy D. ?x < 0, y < 0 ,都有 x 2 + y 2 ≤ 2 xy

B. ?x ∈ R, x + 1 = 0
2

C. ?x ∈ R , sin x < tan x 4.下列命题中的假命题是(

D. ?x ∈ R, sin x < tan x )

A.存在实数α和β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
35

B.不存在无穷多个α和β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对任意α和β,使 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在这样的α和β,使 cos(α+β) ≠cosαcosβ-sinαsinβ 5.对于下列语句(1) ?x ∈ Z , x = 3 (2) ?x ∈ R , x = 2
2 2

(3) ?x ∈ R, x + 2 x + 3 > 0 (4)
2

?x ∈ R, x + x ? 5 > 0 其中正确的命题序号是
2

。 (全部填上)

6.命题

( a + b) b +1

2

=

a+b b +1

是全称命题吗?如果是全称命题,请给予证明,如果不是全称命题,请

补充必要的条件,使之成为全称命题。 【参考答案:1.B; 2.A;3.D;4.B;5. (3) (2) 6.不是全称命题,补充条件: a < ?b < 1 (答案不惟一)当 a < ?b < 1 时, a + b > 0 , b + 1 > 0

( a + b) 2 ? ( a + b ) a + b = ≠ 】 b +1 b +1 b +1
五、教后反思: 教后反思:

36

第十二课时

全称量词与存在量词( 全称量词与存在量词(二)量词否定

一、教学目标:利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定,使学生进一步理解 教学目标: 全称量词、存在量词的作用. 教学难点: 二、教学重点:全称量词与存在量词命题间的转化;教学难点:隐蔽性否定命题的确定; 教学重点: 教学难点 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、创设情境: (一) 创设情境:数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每 一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分 别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ? ”与“ ? ”来表示) ;由这样的量词构成的 命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中, p ∨ q, p ∧ q 都 容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 、 (二) 活动尝试 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2) 问题 1:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。 每一个素数都是奇数; (3)?x∈R,x -2x+1≥0 分析: (1)? x ∈ M,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形; ?x ∈ M,?p(x) (2) ?x ∈ M,p(x),否定:存在一个素数不是奇数; ?x ∈ M,?p(x) (3) ?x ∈ M,p(x),否定:?x∈R,x -2x+1<0; ?x ∈ M,?p(x)
2 2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 结论:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 结论 、 (三) 师生探究 (2)p:有的三角形是等边三角形; 问题 2:写出命题的否定(1)p:? x∈R,x +2x+2≤0; (3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; 分析: (1)? x∈R,x +2x+2>0; (2)任何三角形都不是等边三角形; (3)任何函数都有反函数; (4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分;从集合的运算观点剖析:
2 2

痧( A I B) = U

U

A U  B , 痧( A U B) = U U

U

A I  B U

、 (四) 概括归纳 1.全称命题、 在性命题的否定: 1.全称命题、存在性命题的否定:一般地,全称命题 P:? x∈M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 全称命题 为:?x∈M,使 P(x)不成立。存在性命题 P:?x∈M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x∈M,

37

有 P(x)不成立。 用符号语言表示:P:?∈M, p(x)否定为? P: ?∈M, ? P(x)P:?∈M, p(x)否定为? P: ?∈M, ? P(x)在具体操作中就是从命题 P 把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性 的量词,并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称, 否定肯定得否定,否定否定得肯定. 2.关键量词的否定 2.关键量词的否定 词语 词语的否 不是 定 至多有一 词语 必有一个 至少有 n 个 个 所有 x 成立 立 所有 x 不成 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 是 一定是 都是 大于 小于 且

词语的否 一个也没 至多有 n-1 至少有两 存在一个 x 不 存在有一个 定 有 个 个 成立 成立

、 (五) 巩固运用 (1)p:所有人都晨练; (2)p:?x∈R,x +x+1>0; 例 1 写出下列全称命题的否定: (3)p:平行四边形的对边相等; (4)p:? x∈R,x -x+1=0; 分析: (2)? x∈R,x +x+1≤0; (3)存在平行四边形,它的的对边 分析 (1)? P:有的人不晨练; 不相等; (4)?x∈R,x -x+1≠0; (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 例 2 写出下列命题的否定。 的根。 (3) 对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 (1)的否定:有些自然数的平方不是正数。 (2)的否定:存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的 解: 根。 (3)的否定:存在实数 x,对所有实数 y,有 x+y≤0。 (4)的否定:所有的质数都不是奇 数。 解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若 x>3,则 x >9”。 在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出 其否定形式。 例 3 写出下列命题的否定。 (1) 若 x >4 则 x>2.。 (2) 若 m≥0,则 x +x-m=0 有实数根。 (3) 可以被 5 整除的整数,末位是 0。 (4) 被 8 整除的数能被 4 整除。 (5) 若一个四边 形是正方形,则它的四条边相等。
2 2 2 2 2 2 2

38

解(1)否定:存在实数 x0 ,虽然满足 x0 >4,但 x0 ≤2。或者说:存在小于或等于 2 的数 x0 , (完整表达为对任意的实数 x, 若 x >4 则 x>2)(2)否定:虽然实数 m≥0,但存 ; 满足 x0 >4。 在一个 x0 , x0 + x0 -m=0 无实数根。 使 (原意表达: 对任意实数 m,若 m≥0,则 x +x-m=0 有实数根。 ) (3)否定:存在一个可以被 5 整除的整数,其末位不是 0; (4)否定:存在一个数能被 8 整除, 但不能被 4 整除.(原意表达为所有能被 8 整除的数都能被 4 整除); (5)否定:存在一个四边形, 虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。 (原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形, 则它的四条边中任何两条都相等。 ) (1)p:若 x>y,则 5x>5y; (2)p:若 例 4 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。 x +x﹤2,则 x -x﹤2; (3)p:正方形的四条边相等; (4)p:已知 a,b 为实数,若 x +ax+b≤0 有 非空实解集,则 a -4b≥0。 (1)? P:若 x>y,则 5x≤5y; 假命题; 否命题:若 x≤y,则 5x≤5y;真命题 解: (2)? P:若 x +x﹤2,则 x -x≥2;真命题; 否命题:若 x +x≥2,则 x -x≥2) ;假命题。 (3)? P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。 (4)? P:存在两个实数 a,b,虽然满足 x2+ax+b≤0 有非空实解集,但使 a -4b﹤0。假命题。 否命题:已知 a,b 为实数,若 x2+ax+b≤0 没有非空实解集,则 a -4b﹤0。真命题。 评注: 评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由:1.任何命题均有否定,无论是真命题 还是假命题;而否命题仅针对命题“若 P 则 q”提出来的。2.命题的否定(非)是原命题的矛盾 命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是 一真一假。3. 原命题“若 P 则 q” 的形式,它的非命题“若 p,则?q” ;而它的否命题为 “若 ┓p,则┓q”,既否定条件又否定结论。 、回顾反思: (六) 回顾反思:在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整 地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培 养和发展学生的逻辑思维能力。 、作业布置: (七) 作业布置:1.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的 命题是( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根; B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根;
39
2 2

D.至多有一个实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”结论显然 是错误的,是因为( A.大前提错误
2

2

) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

3.命题“?x∈R,x -x+3>0”的否定是 4. “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 5.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?m∈R,方程 x +x-m=0 必有实根; (2)q:?∈R,使得 x +x+1≤0; 6.写出下列命题的“非 P”命题,并判断其真假: (2)平方和为 0 的两个实数都为 0. (1)若 m>1,则方程 x -2x+m=0 有实数根. (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角. (4)若 abc=0,则 a,b,c 中至 少有一为 0. (5)若(x-1)(x-2)=0 ,则 x≠1,x≠2. 【参考答案:1. B;2.C;3.? x∈R,x2-x+3≤0;4.否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不 能被 5 整除; 否命题:末位数不是 0 且不是 5 的整数,不能被 5 整除;5. (1)?p:?m∈R,方 (2)?q:?∈R,使得 x2+x+1>0;真命题。6. ⑴ 若 m>1,则方 程 x2+x-m=0 无实根;真命题。 程 x2-2x+m=0 无实数根,(真);⑵平方和为 0 的两个实数不都为 0(假);⑶若 ?ABC 是锐角三角 形, 则 ?ABC 的任何一个内角不都是锐角(假);⑷若 abc=0,则 a,b,c 中没有一个为 0(假);⑸ 若(x-1)(x-2)=0,则 x = 1 或 x = 2 ,(真). 】 五、教后反思: 教后反思:
2 2 2

40

常用逻辑用语复习与小结 第十三课时 常用逻辑用语复习与小结 一、教学目标:整体理解逻辑用语,通过概念的整理和习题的讲解与练习,熟练逻辑用语的使用 教学目标: 技巧。通过四种命题的相互关系,了解反证法的机理,能利用命题的等价关系转换角度、间接解 决或证明一些问题。 、 、 教学难点: 二、教学重点:逻辑联结词“或”“且”“非”与含有量词的命题的否定。教学难点:对一些命 教学重点: 教学难点 题真假的判断。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、创设情境:1.知识网络 (一) 创设情境:1.知识网络 、创设情境 命题
常 用 逻 辑 用 语

四种命题 与 或

关系

简单的逻辑联结词

且 非 量词 量词 含有一 量词的否定

量词 量词与 量词

2. 概念与规律总结 (1)命题的结构 命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单 、 、 命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题 、 、
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奎屯

构成复合命题的形式:p 或 q(记作 p∨q);p 且 q(记作 p∧q);非 p(记作┑q) (2)命题的四种形式与相互关系 原命题:若 P 则 q;逆命题:若 q 则 p;
原原原 若 p则 q 互 否 否原原 若 ┐p则 ┐q
41

互 逆 互 为 为 互 否 逆 逆 否

逆原原 若 q则 p 互 否 逆否原原 若 ┐q则 ┐p

互 逆

否命题:若┑P 则┑q;

逆否命题:若┑q 则┑p

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奎屯

原命题与逆否命题互为逆否,同真假;逆命题与否命题互为逆否,同真假; (3)命题的条件与结论间的属性 若 p ? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即“推出人者为充分,被人推出者为必 要” 。 (4) “或”“且”“非”的真值判断; 、 、 “非 p”形式复合命题的真假与 P 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 注意:“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”命题中的“p”、“q”是两个命题,而原命题,逆命题, 否命题,逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. (5)全称量词与存在量词 全称量词:所有的,一切,全部,都,任意一个,每一个等; 存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等; 全称命题 P:?∈M, p(x) 存在性命题 P:?∈M, p(x) 否定为? P: ?∈M, ? P(x) 否定为? P: ?∈M, ? P(x)

(6)反证法是间接证法的一种.若要证的命题是“ p ? q ” ,反证法是假设 ?q 为真,即 q 不成 立,并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理,得出矛盾.因为公理、定理、公式正确,推理 ,由此假设不成立,即“ q 为真” .这里的 过程也正确,产生矛盾的原因只能是“假设 ?q 为真” “矛盾”可以是与条件 p 矛盾,即推得“ ?p ” ,可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾,也可以 是和“假设 ?q 为真”矛盾. 、师生探究 (二) 师生探究 、 “ “非 p”形式的复合命题: 例 1.分别写出由下列各种命题构成的“p 或 q” p 且 q” (1)p:平行四边形对角线相等

q:平行四边形对角线互相平分

解:p 或 q:平行四边形对角线相等或互相平分 p 且 q:平行四边形对角线相等且互相平分 非 p: 平行四边形对角线不一定相等 (2)p:10 是自然数

q:10 是偶数 p 且 q:10 是自然数且是偶数 非 p: 10 不是自然数

解:p 或 q:10 是自然数或是偶数

例 2.分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题: (1)x=2 或 x=3 是方程 x ?5x+6=0 的根
2

解: p:x=2 是方程 x ?5x+6=0 的根 q:x=3 是方程 x ?5x+6=0 的根,是 p 或 q 的形式
2 2

42

(2)π既大于 3 又是无理数 解: p:π大于 3

q:π是无理数

是 p 且 q 的形式

(3)直角不等于 90° 解: p:直角等于 90° (4)x+1≥x?3 解: p:x+1>x?3 是非 p 形式

q:x+1=x?3

是 p 或 q 的形式

(5)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 解: p:垂直于弦的直径平分这条弦

q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧

是 p 且 q 的形式

“ “非 p”形式的复合命题,并判断它们的 例 3.分别写出由下列各种命题构成的“p 或 q” p 且 q” 真假: (1)p:末位数字是 0 的自然数能被 5 整除
2 q:5∈{x|x +3x?10=0} 2

解:p 或 q:末位数字是 0 的自然数能被 5 整除或 5∈{x|x +3x?10=0}
2 p 且 q:末位数字是 0 的自然数能被 5 整除且 5∈{x|x +3x?10=0}

非 p:末位数字是 0 的自然数不能被 5 整除 ∵p 真 q 假 ∴“p 或 q” 为真, p 且 q”为假, “ “非 p”为假。 (2)p:四边都相等的四边形是正方形

q:四个角都相等的四边形是正方形

解:p 或 q:四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形

p 且 q:四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非 p:四边都相等的四边形不是正方形 ∵p 假 q 假 ∴“p 或 q” 为假, p 且 q”为假, “ “非 p”为真。 ? ≠ 2 (3)p:0∈? q:{x|x ?3x?5<0} R ? ≠ 2 2 解:p 或 q: 0∈?或{x|x ?3x?5<0} R p 且 q: 0∈?且{x|x ?3x?5<0} R ? ≠ ∵p 假 q 真 ∴“p 或 q” 为真, p 且 q”为假, “ “非 p”为真。 非 p: 0?? (4)p:不等式 x +2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}
2 2 q:不等式 x +2x?8<0 的解集是:{x| x<?4

或 x> 2} 解:p 或 q:不等式 x +2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}或{x| x<?4 或 x> 2}
2 2 p 且 q:不等式 x +2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}且{x| x<?4 或 x> 2}

非 p:不等式 x +2x?8<0 的解集不是:{x|?4<x<2}
2

∵p 真 q 假 ∴“p 或 q” 为真, p 且 q”为假, “ “非 p”为假。
43

例 4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断真假: (1)面积相等的两个三角形是全等三角形。 (真命题) 解:逆命题:两个全等三角形面积相等。 否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形。 (真命题) 逆否命题:不全等的两个三角形面积不相等。 (假命题) (2)若 x=0 则 xy=0。 解:逆命题:若 xy=0 则 x=0。 (假命题)否命题:若 x≠0 则 xy≠0。 (假命题) 逆否命题:若 xy≠0 则 x≠0。 (真命题) (3)当 c<0 时,若 ac>bc 则 a<b。 (真命题) 解:逆命题:当 c<0 时,若 a<b 则 ac>bc。 否命题:当 c<0 时,若 ac≤bc 则 a≥b。 (真命题) 逆否命题:当 c<0 时,若 a≥b 则 ac≤bc。 (真命题) (4)若 mn<0,则方程 mx ?x+n=0 有两个不相等的实数根。
2

(假命题) 解:逆命题:若方程 mx ?x+n=0 有两个不等实数根,则 mn<0。
2

否命题:若 mn≥0,则方程 mx ?x+n=0 没有两个不等实数根。 (假命题)
2

逆否命题:若方程 mx ?x+n=0 没有两个不等实数根,则 mn≥0。 (真命题)
2

例 5.写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假: (1)若 x,y 都是奇数,则 x+y 是偶数。 (假命题) 解:命题的否定:x,y 都是奇数且 x+y 不是偶数。 否命题:若 x,y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数。 (假命题) (2)若 xy=0 则 x=0 或 y=0 (假命题) ;否命题:若 xy≠0 则 x≠0 且 y≠0。 (真命题) 解:命题的否定:xy=0 且 x≠0 又 y≠0。 、小结: (三) 小结:本课要求从整体理解逻辑用语,通过概念的整理和习题的讲解与练习,熟练逻辑 、小结 用语的使用技巧。理解和掌握四种命题的相互关系。 、作业布置: (四) 作业布置:本章复习题一 A 组 2、3、5、7 、作业布置 五、教后反思: 教后反思: B 组 1、2

44

常用逻辑用语复习与小结 第十四课时 常用逻辑用语复习与小结 一、教学目标:整体理解逻辑用语,通过概念的整理和习题的讲解与练习,熟练逻辑用语的使用 教学目标: 技巧。通过四种命题的相互关系,了解反证法的机理,能利用命题的等价关系转换角度、间接解 决或证明一些问题。 、 、 教学难点: 二、教学重点:逻辑联结词“或”“且”“非”与含有量词的命题的否定。教学难点:对一些命 教学重点: 教学难点 题真假的判断。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、概念与规律总结 (一) 概念与规律总结 、 (1)命题的结构:命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单 、 、 命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题 、 、
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奎屯

构成复合命题的形式:p 或 q(记作 p∨q);p 且 q(记作 p∧q);非 p(记作┑q) (2)命题的四种形式与相互关系 原命题:若 P 则 q;逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; p
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原原原 若 p则 q 互 否 否原原 若 ┐p则 ┐q

互 逆 互 为 否 逆

逆原原 若 q则 p

逆否命题:若┑q 则┑

互 否 逆 为 否 互 逆否原原 若 ┐q则 ┐p 互 逆

原命题与逆否命题互为逆否,同真假;逆命题与否命题 互为逆否,同真假; (3)命题的条件与结论间的属性 若 p ? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即“推出人者为充分,被人推出者为必 要” 。 (4) “或”“且”“非”的真值判断; 、 、 “非 p”形式复合命题的真假与 P 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 注意:“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”命题中的“p”、“q”是两个命题,而原命题,逆命题, 否命题,逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. (5)全称量词与存在量词 全称量词:所有的,一切,全部,都,任意一个,每一个等;
45

存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等; 全称命题 P:?∈M, p(x) 存在性命题 P:?∈M, p(x) 否定为? P: ?∈M, ? P(x) 否定为? P: ?∈M, ? P(x)

,反证法是假设 ?q 为真,即 q 不成 (6)反证法是间接证法的一种.若要证的命题是“ p ? q ” 立,并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理,得出矛盾.因为公理、定理、公式正确,推理 过程也正确,产生矛盾的原因只能是“假设 ?q 为真” ,由此假设不成立,即“ q 为真” .这里的 “矛盾”可以是与条件 p 矛盾,即推得“ ?p ” ,可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾,也可以 是和“假设 ?q 为真”矛盾. 、师生探究 (二) 师生探究 、 例 1、判断下列命题的真假: (1)(x?2)(x+3)=0 是(x?2) +(y+3) =0 的充要条件。解:是假命题。反例;若 x=2, y≠?3 解
2 2

(2) =4x+5 是 x 4 x + 5 =x 的必要条件。 : x 解 是假命题。 x| x =4x+5}={?1,5} {x| x 4 x + 5 {
2 2 2

=x }={0,5} (3)内错角相等是两直线平行的充分条件。解:是真命题。 解 (4)ab<0 是 |a+b|<|a?b| 的必要而不充分条件。 解:是假命题。|a?b|>|a+b|≥0 ? (a?b) >(a+b) ? a ?2ab+b > a +2ab+b ? 4ab<0 ? ab<0
2 2 2 2 2 2

2



(ab<0 是 |a+b|<|a?b| 的充要条件) 例 2、判断下列命题是全称命题,还是存在性命题 (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(2)负数的平方是正数(3)有些 三角形不是等腰三角形(4)有些菱形是正方形 答案(1)全称命题 (2)全称命题 (3)存在性命题 (4)存在性命题 , 例 3、用量词符号“?”“?”表达下列问题 (1)凸 n 边形的外角和等于2π; (2)不等式的解集为 A,则 A?R; (3)有的向量方向不定; (4)至少有一个实数不能取对数; 答案(1)?x∈{x 是凸 n 边形},x 的外角和等于2π; (2)?A∈{不等式的解集},A?R; (3)? 0∈{向量},0 的方向任意; (4)? x∈R,x 不能取对数; 0 (1)对任意的正数 x, x >x-1; (2)不存在实数 x,x +1<2x; 例 4、写出下列命题的否定: (3)已知集合 A?B,如果对于任意的元素 x∈A,那么 x∈B; (4)已知集合 A?B,存在至少一个元素 x∈B,使得 x∈A;
46
2

答案(1)存在正数 x, x ≤ x-1; (2)存在实数 x,x +1≥2x; (3)已知集合 A?B,如果存在一
2

(原对,否错) (4)已知集合 A?B,如果对于任意的元素 x ? B ,那 个元素 x ? A ,那么 x ? B ; 么 x? A ; (原错,否对) 例 5、已知关于 x 的方程 (1?a)x +(a+2)x?4=0 a∈R 求:1) 方程有两个正根的充要条件;2) 方
2

程至少有一个正根的充要条件。 解:1) 方程(1?a)x +(a+2)x?4=0 有两个实根的充要条件是: ?
2

?1 ? a ≠ 0 ?? ≥ 0

即: ?

?a ≠ 1 ≥ ?(a + 2) + 16(1 ? a) 0
2

??

?a ≠ 1 即: a≥10 或 a≤2 且 a≠1 ?a ≤ 2, ora ≥ 10

设此时方程两根为 x1,x2

∴有两正根的充要条件是:

?a ≠ 1 ?a ≤ 2, ora ≥ 10 ?a ≠ 1 ? ? ?a ≤ 2, ora ≥ 10 ? ? ?a + 2 > 0 ? 1<a≤2 或 a≥10 即为所求。 ? x1 + x2 > 0 a ?1 ? ? ? 4 ? x1 x2 > 0 ? >0 ? ? a ?1
2) 从 1)知 1<a≤2 或 a≥10 方程有两个正根 当 a=1 时, 方程化为 3x?4=0 有一个正根 x=

4 3

?1 ? a ≠ 0 ? 方程有一正、一负根的充要条件是: ?? ≥ 0 ? ?x x < 0 ? 1 2
2

? ?a ≠ 1 ? ?a ≤ 2, ora ≥ 10 ? a<1 ? 4 ? <0 ? a ?1

综上:方程(1?a)x +(a+2)x?4=0 至少有一正根的充要条件是 a≤2 或 a≥10。
2 2 (三)、课堂练习:1、用反证法证明:若 p +q =2,则 p+q≤2 课堂练习:

证明:当 p+q>2 时,p 2 +q 2 =

( p + q) 2 ( p ? q) 2 ( p + q) 2 1 + ≥ > ×2 2 =2 2 2 2 2

∴ p 2 +q 2 >2,即 p 2 +q 2 ≠2∴ 逆否命题为真命题,即若 p 2 +q 2 =2,则 p+q≤2 成立 2、把下列改写成“若 p 则 q”的形式,并判断它们的真假: (1)实数的平方是非负数。 解:若一个数是实数,则它的平方是非负数。 (真命题) (2)等底等高的两个三角形是全等三角形。
47

解:若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形。 (假命题) (3)被 6 整除的数既被 3 整除又被 2 整除。 解:若一个数能被 6 整除,则它能被 3 整除又能被 2 整除。 (真命题) (4)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧。 解:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 (真命题)

3、指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不 充分也不必要条件) : (1)p:a >b
2 2

q:a>b

则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 。

(2)p:{x|x>?2 或 x<3} (3)p:a 与 b 都是奇数 (4)p:0<m<

q:{x|x2?x?6<0} q:a+b 是偶数

则 p 是 q 的 必要而不充分条件 。 则 p 是 q 的 充分不必要条件 。

1 3

q:方程 mx2?2x+3=0 有两个同号且不相等的实数根,则 p 是 q 的充要条件。

五、教后反思: 教后反思:

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