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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第8课 一元二次不等式的解法


一元二次不等式的解法 1 2 1. (2012 天津高考)设 x ? R ,则“ x ? ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集为 x ? ∴“ x ?

第8课



1 或 x ? ?1 , 2

1 ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”成立的充分不必要条件,选 A. 2 1 2.若 0 ? a ? 1,则不等式 (a ? x)( x ? ) ? 0 的解集为( ) a 1 1 1 1 A. ( , a) B. (a, ) C. (??, a) ? ( , ??) D. (??, ) ? (a, ??) a a a a
【答案】C 【解析】∵ (a ? x)( x ? ) ? 0 ,∴ ( x ? a)( x ? ) ? 0 , ∵ 0 ? a ? 1,∴ a ?

1 a

1 a

1 1 ,∴ x ? a ,或 x ? . a a
2

3.(2012 衡阳模拟)若集合 A ? {x | ax ? ax ? 1 ? 0} ? ? ,则实数 a 的值的集合是________. 【答案】 {a | 0 ? a ? 4} 【解析】此题等价于 ax ? ax ? 1 ? 0 , x ? R 恒成立 当 a ? 0 时, 1 ? 0 恒成立,
2

,解得 0 ? a ? 4 . 2 ? ? ? a ? 4a ? 0 2 4.不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则实数 x 的取值范围是

当 a ? 0 时,则 ?

?a ? 0



?1 ? 7 1 ? 3 , ) 2 2 2 2 【解析】∵ 2 x ? 1 ? m( x ? 1) ,∴ m( x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0 .
【答案】 ( 设 f (m) ? m( x ? 1) ? 2 x ? 1 ,
2

∵要使 f (m) ? 0 , m ? 2 恒成立,则只需
2 ? ? f (?2) ? 0 ??2( x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 ? , ? 2 ?2( x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0 ? f (2) ? 0 ?

?2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ?1 ? 7 1? 3 ? ?x? ∴? 2 ,∴ . 2 2 ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ?
7.解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0 .
2

【解析】原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)( x ? a) ? 0 .

1 时,则 x ? a 或 x ? 1 ? a . 2 1 1 1 当 a ? ?(a ? 1) ,即 a ? 时,则 ( x ? ) 2 ? 0 ,得 x ? , x ? R . 2 2 2 1 当 a ? ?(a ? 1) ,即 a ? 时,则 x ? a ,或 x ? 1 ? a . 2 1 综上:当 a ? 时,不等式的解集为 x x ? 1 ? a, 或x ? a? ; 2
当 a ? ?(a ? 1) ,即 a ?

?

当a ? 当a ?

? 1 ? 1 时,不等式的解集为 ? x x ? , x ? R ? ; 2 2 ? ?

1 时,不等式的解集为 x x ? a, 或x ? 1 ? a? . 2 2 8.设函数 f ( x) ? mx ? mx ? 1 . (1)若对于一切实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x ? [1,3] , f ( x) ? ?m ? 5 恒成立,求 m 的取值范围. 2 【解析】 (1)要使 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立, 若 m ? 0 ,显然 ?1 ? 0 ; ?m ? 0 若 m ? 0 ,则 ? ? ?4 ? m ? 0 . 2 ? ? ? m ? 4m ? 0 ∴ ?4 ? m ? 0 (2)要使 f ( x) ? ?m ? 5 在 [1,3] 上恒成立,
只需 mx ? mx ? m ? 6 在 [1,3] 上恒成立.
2

?

又因 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ? 0, 4

6 . x ? x ?1 6 6 ∵y? 2 , ? 1 2 3 x ? x ?1 (x ? ) ? 2 4 1 2 3 由 t ? ( x ? ) ? 在 [1,3] 上是增函数, 2 4 6 ∴y? 2 在 [1,3] 上是减函数. x ? x ?1 6 因此函数的最小值 ymin ? . 7 ? 6? ∴ m 的取值范围是 ? m m ? ? . 7? ?
∴m ?
2



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