当前位置:首页 >> 数学 >>

高考专题之三角形四心的向量性质


高考专题之三角形“四心”的向量性质
四心的概念 (1)重心:中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心:高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边 的距离相等; (4)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一
, C 是

不 共 线 的 三 点 , G 是 △ ABC 内 一 点 , 若 已 知 A, B

G A? G B ? GC ? 0 .则 G 是 △ ABC 的重心.

证明:如图 1 所示,因为 GA ? GB ? GC ? 0 , 所以 GA ? ?(GB ? GC ) . 以 GB , GC 为邻边作平行四边形 BGCD , 则有 GD ? GB ? GC , 所以 GD ? ?GA . 又因为在平行四边形 BGCD 中, BC 交 GD 于点 E , 所以 BE ? EC , GE ? ED . 所以 AE 是 △ ABC 的边 BC 的中线. 故 G 是 △ ABC 的重心. 点评:①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义;②把平面几何知识 和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法. 例1 如图 2 所示, △ ABC 的重心为 G, O 为坐标原点, OA ? a , OB ? b ,

OC ? c ,试用 a,b,c 表示 OG .

解: 设 AG 交 BC 于点 M , 则 M 是 BC 的中点,

1

? a ? OG ? GA ? ? ?b ? OG ? GB ?c ? OG ? GC ?
图2

? a ? b ? c ? OG ? GA ? GB ? GC
而? a ? b ? c ? 3OG ? 0
? OG ? a?b?c 3

点评: 重心问题是三角形的一个重要知识点, 充分利用重心性质及向量加、 减运算的几何意义是解决此类题的关键.
, F分 别 为 △ ABC 的 边 B C , A, C 变 式 : 已 知 D, E A B中点.则 的

AD ? BE ? CF ? 0 .

证明:如图的所示,
3 ? ? AD ? ? 2 GA ? 3 ? ? ? BE ? ? GB 2 ? ?CF ? ? 3 GC ? 2 ?

3 ? AD ? BE ? CF ? ? (GA ? GB ? GC ) 2

图3

? GA ? GB ? GC ? 0
? AD ? BE ? CF ? 0 . .

变式引申: 如图 4, 平行四边形 ABCD 的中心为 O ,P 为该平面上任意一点, 则 PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD) . 证明: PO ? (PA ? PC) , PO ? (PB ? PD) ,
1 ? PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD) . 4 1 2 1 2 1 4

点评: (1)证法运用了向量加法的三角形法则, 证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则. (2) 若P

2

与 O 重合,则上式变为 OA ? OB ? OC ? OD ? 0. 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二:已知 G 是 △ ABC 内一点,满足 MA ? MB ? MC ,则点 M 为△ ABC 的外心。 例 2 已知 G、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心,点 A,B 的坐标分别为 A(-1,0) ,B(1,0) ,且 GM ∥ AB , (1)求点 C 的轨迹方程; (2)若直线 l 过 点(0,1) ,并与曲线交于 P、Q 两点,且满足 OP ?OQ ? 0 ,求直线 l 的方程。
y G B 图5 C M A

x

x y 解 (1) 设C (x,y) , 则G ( , ) , 3 3

其中 x, y ? 0 , 由于 GM ∥ AB , 故m ?
y , m y ) , 3

外心 M(0,
? M为外心

y y ? MA ? MC ,得 ( x ? 0) 2 ? ( ? y) 2 ? 1 ? ( ) 2 3 3

? 轨迹 E 的方程是 3x 2 ? y 2 ? 3 ( xy ? 0)
(2)略。 三、三角形的垂心的向量表示及应用 命题三:已知 G 是 △ ABC 内一点,满足 GA ? GB ? GA ? GC ? GB ? GC ,则点 G 为垂心。 (2005 全国文 12) 证明:由 PA? PB ? PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 .
3

即 PB ? (PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0 则 PB ? CA,同理PA ? BC, PC ? AB 所以 P 为 ?ABC 的垂心. 点评: 本题将平面向量有关运算、 “数量积为零, 则两向量所在直线垂直”、 三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。 变式: 若 H 为△ABC 所在平面内一点, 且 HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB 则点 H 是△ABC 的垂心 证明: ? HA ? HB ? CA ? BC
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

A

? ( HA ? HB) ? BA ? (CA ? CB) ? BA 得( HA ? HB ? CA ? CB) ? BA ? 0
即 ( HC ? HC) ? BA ? 0
B 图6 H

C

? AB ? HC
同理 AC ? HB , BC ? HA 故 H 是△ABC 的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四:O 是内心 ?ABC 的充要条件是

OA ? (

AB | AB |

?

AC AC

) ? OB ? (

BA | BA |

?

BC | BC |

) ? OC ? (

CA | CA |

?

CB | CB |

)?0

变式 1:如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3 ,则 O 是 ?ABC 内心的 充要条件是 O A? (e1 ? e 3 ) ? O B? (e1 ? e 2 ) ? O C? (e 2 ? e 3 ) ? 0 变式 2:如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3 ,则 O 是 ?ABC 内心的 充要条件也可以是 aO A? bO B? cO C ? 0 。 例 4(2003 江苏)已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三
4

个点,满足 OP ? OA ? ? ( 的内心 。

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? ,则 P 的轨迹一定通过△ABC

解: 如图 OP ? OA ? AP 由已知

C O

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

),

? AP ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,???

B
E P A D 图7

? ? ? ?0,???
设?

AB AB

? AD , ?

AC AC

? AE ,

? D、E 在射线 AB 和 AC 上。 ? AP ? AD ? AE ? AP 是平行四边行的对角线。
又 AD ? AE ,

? ADPE 是菱形。 ? 点 P 在 ?EAD 即 ?CAD 的平分线上。 故 P 点的轨迹一定通过△ABC 的内心。
五、三角形外心与重心的向量关系及应用 命题五:设△ABC 的外心为 O,则点 G 为△ABC 重心的充要条件为:

1 OG ? (OA ? OB ? OC ) 3
证明:如图 8,设 G 为重心,连结 AG 并延长,交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点。 A ∴ OG ? OA ? AG ? OA ?

2 1 AD ? OA ? ( AB ? AC ) 3 3
B

O

G C

1 1 ? OA ? (OB ? OA ? OC ? OA) ? (OA ? OB ? OC ) 3 3
5

D

图8

反之,若 OG ?

1 (OA ? OB ? OC ) , 3 1 ( AB ? AC ) 3

则由上面的证明可知: AG ?

设 D 为 BC 的中点,则 AD ?

1 ( AB ? AC ) , 2

从而 AG ?

2 AD , 3 2 AD,即 G 为重心。 3

∴G 在中线 AD 上且 AG=

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用 命题六:设△ ABC 的外心为 O ,则点 H 为△ ABC 的垂心的充要条件是

OH ? OA? OB ? OC 。
证明:如图 2,若 H 为垂心,以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBDC, 则 OD ? OB ? OC ∵O 为外心, ∴OB=OC, ∴平行四边形 OBDC 为菱形 ∴ OD⊥BC,而 AH⊥BC, ∴ AH∥OD,
A

H

O B D

C

∴存在实数 ? ,使得 AH ? ?OD ? ?OB ? ?OC ∴ OH ? OA? AH ? OA? ?OB ? ?OC ①。 同理,存在实数 ? , ? ,使得

图9

OH ? OB ? BH ? OB ? ? OC ? ? OA ②
OH ? OC ? CH ? OC ? ?OA? ?OB ③
比较①、②、③可得, ? ? ? ? ? ? 1 ,

6

∴ OH ? OA? OB ? OC 反之,若 OH ? OA? OB ? OC ,则 AH ? OB ? OC , ∵ O 为外心,∴OB=OC ∴ AH ? CB ? (OB ? OC ) ? (OB ? OC ) ?| OB | 2 ? | OC | 2 ? 0 ∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC。 ∴ H 为垂心。 例 6、已知 H 是△ABC 的垂心,且 AH=BC,试求∠A 的度数 解:设△ABC 的外接圆半径为 R,点 O 是外心。 ∵ H 是△ABC 的垂心 ∴ OH ? OA? OB ? OC ∴ AH ? OH ? OA ? OB ? OC ∴ AH 2 ?| AH |2 ? (OB ? OC) 2 ? 2R 2 (1 ? 2 cos 2 A) ∵ BC ? OC ? OB , ∴ BC 2 ?| BC |2 ? (OC ? OB) 2 ? 2R 2 (1 ? 2 cos 2 A) ∵AH=BC, ∴ 1 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ∴ cos 2 A ? 0 而∠A 为△ABC 的内角, ∴ 0<2A<360° 从而 2A=90°或 270° ∴ ∠A 的度数为 45°或 135°。 七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 命题七:△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H,则 O、G、H 三点共线 (O、G、H 三点连线称为欧拉线) ,且 OG= GH。 证明:如图 10,由命题五、六知,连结 AG 并延长,交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点。
A

1 2

1 OG ? (OA ? OB ? OC ) , OH ? OA? OB ? OC , 3
∴ OH ? 3OG
B O D

H G C

图 10
7

∴O、G、H 三点共线,且 OG= GH。 例 7、已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c) ,是 OBC 的三个顶点。试写 出 OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、F、H 三点共线。 (2002 年全国) 解:重心 G 为 ( b ? 1 , c ) ,设 H 点的坐标为 (b, y ) 0 3 3 ∵ OH ? BC ,BC=(b-1,c),

1 2

b(b ? 1) ? cy0 ? 0 ,故 y 0 ?
H 点的坐标为 (b, b(1 ? b) ) c

b(1 ? b) c

2 设外心 F 的坐标为 ( 1 , y1 ) 由|FO|=|FC|,得 y1 ? b(b ? 1) ? c , 2 2c

所以 F 点的坐标为( ,

) 。

从而可得出 GH=( , ) ,FH=( , ) 2 GH ? FH ,GH∥FH,F、G、H 三点共线。 3 点评:向量不仅是平面解析几何入门内容,而且是解在关数形结合问题的 重要工具。它一般通过概念的移植、转化,将坐标与向量结合起来,从而使一 些难题在思路上获得新的突破。 例 8、已知 P 是非等边△ABC 外接圆上任意一点,问当 P 位于何处时, 2 PA +PB2+PC2 取得最大值和最小值。 解:如图 11,设外接圆半径为 R,点 O 是外心,则
2 2 2 PA2+PB2+PC2= ( PO ? OA) ? ( PO ? OB ) ? ( PO ? OC )
P A

? 6R 2 ? 2( PO ? OA ? PO ? OB ? PO ? OC)
? 6 R 2 ? 2 PO ? (OA ? OB ? OC )
) ? 6R ? 2PO ? OH (由命题六知:H 为垂心,
2

B

O

C

图 11

∴当 P 为 OH 的反向延长线与外接圆的交点时,有最大值 6R2+2R·OH
8

当 P 为 OH 的延长线与外接圆的交点时,有最小值 6R2-2R·OH
典型例题: 例 1 : O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 分析:如图所示 ?ABC , D、E 分别为边 BC、AC 的 中点. D.垂心
A



? AB ? AC ? 2 AD
E

? OP ? OA ? 2? AD
? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD
? AP // AD
B D C

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2 : O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( B )
B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 分析:?

AB

AC 分别为 AB 、 、 AC 方向上的单位向量, AB AC AC AC
平分 ?BAC ,

?

AB AB

?

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B .
例 3 : O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (


AB AB co sB

?

AC AC co sC
B.内心

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ) ,? ? ?0,??? ,

) A.外心

C.重心

D.垂心

9

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.

A

(

AB AB cos B AB ? BC AB cos B

?

AC AC cosC AC ?BC

) ? BC
E

=

?

AC cosC
? AC BC cosC AC cosC

B

D

C

? AB BC cos B
=

AB cos B

= ? BC + BC =0

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .
练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若 实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B. ) D.6 )

3 2

C.3

2. 若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, 则 OA ? OB ? ( OA ? OB ? OC ? 0 , A.

1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3 .点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 ,则 ?ABC 面积与凹四边形

ABOC 面积之比是(
A.0

) B.

3 2

C.

5 4

D.

4 3


4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2 2

5.O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB

2

? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心

2

2

2

) D.垂心

C.重心

10

6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

OH ? m(OA ? OB ? OC) ,
则实数 m = → → → → 1 AB AC AB AC → → → 7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为 → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB ( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

?ABC 为(

) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C

11


相关文章:
三角形四心的向量性质练习
三角形四心的向量性质练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角形“四心”的...点评: 本题将平面向量有关运算、 “数量积为零, 则两向量所在直线垂直”、 ...
三角形四心的向量性质
三角形四心的向量性质_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三角形四心的向量性质_数学_自然科学_专业资料。1 2 ...
平面向量四心问题(最全)
,由向量模的 点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合 三角形的四心”与平面向量 向量向量本身是一个几何概念,具有代数形式和...
三角形“四心”向量表示
三角形的四心问题,是中学数学的一个难点,我查阅了许多资料,和历年的高考试题,...点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (...
与三角形四心相关的向量结论
三角形的结合就显得尤为自然,因此对三角形的相关性质的向量形式进行 探讨,就...本文通过对一道高考模拟题的思考和探究,得到了与三角形四心”相关的向量 ...
三角形的四心与平面向量
三角形的四心” (外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特殊的性质。在高考中,往往将 “向量作为载体”对三角形的四心”进行考...
平面向量中的三角形四心问题
驾考新题抢先版文档贡献者 可凡111197 贡献于2014-06-22 1/2 相关文档推荐 ...2013年全国高考理科数学... 18页 5下载券 三角形四心向量典型问... 4页...
三角形的四心与平面向量
(全国高考题) O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点,...既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。 ...
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习...
点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (...1 3 OH . 三、与三角形的四心”有关的高考连接题及其应用例 1: (2003...
与三角形“四心”相关的向量问题
三角形四心”相关的向量问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。与三角形四心”相关的向量问题 向量专题复习一、与三角形四心”相关的向量问题 题 1:...
更多相关标签: