当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线的光学性质


圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探
一、 1.1 圆锥曲线的光学性质 椭圆的光学性质: 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另

一个焦点上; (见图 1.1) 椭圆的这种光学特性,常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在 F 1 处放置一个热源,那么 红外线也能聚焦于 F2 处,对

F2 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明: 由导数可得切线 l 的斜率 k ? y?

x ? x0

?

y0 y ?b2 x0 , 而 PF1 的斜率 k1 ? , PF2 的斜率 k2 ? 0 2 x0 ? c x0 ? c a y0

y0 b2 x ? 2 0 2 2 x ? c a y0 a 2 y0 ? b 2 x0 ? b 2cx0 k ?k ∴ l 到 PF1 所成的角 ? ? 满足 tan ? ? ? 1 , ? 0 ? b2 x0 y0 1 ? kk1 a 2 ? b2 ? x0 y0 ? a 2cy0 ? 1? ? x0 ? c ? a 2 y0

P ? x0 ,y0 ? 在椭圆上,∴ tan ? ? ?

k ? k2 b2 b2 ,同理, PF2 到 l 所成的角 ? ? 满足 tan ? ? ? , ? cy0 1 ? kk2 cy0

∴ tan ? ? ? tan ? ? ,而 ? ?, ? ? ? ? 0,

? ?? ? ,∴ ? ? ? ? ? ? 2?

1.2 双曲线的光学性质 :从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线 都汇聚到双曲线的另一个焦点上;(见图 1.2). 双曲线这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用. 1.3 抛物线的光学性质 : 线的轴(如图 1.3) 抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射 镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大, 并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线,一般也是以 抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之,把发射装置安装在 焦点,把对称轴跟踪对准卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样 保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的. B D ? F1 A F2 ? ? F1 ? 从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物

? F2

O

图 1.1

图 1.2
第 1 页 共 9 页

图 1.3

圆锥曲线的光学性质

要探究圆锥曲线的光学性质,首先必须将这样一个光学实际问题,转化为数学问题,进行解释论证。 二、问题转化及证明 2.1 圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线 l 与曲线 C 交于 P , Q 两点,当直线 l 连续变动时, P , Q 两点沿着曲线渐渐靠近,一直 到 P ,Q 重合为一点 M ,此时直线 l 称为曲线 c 在点 M 处的切线,过 M 与直线 l 垂直的直线称为曲线

c 在点 M 处的法线。
此时,我们可以借助圆锥曲线的切线和法线,对这一问题进行转化: 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预 备 定 理 1. 若 点

P( x0 , y0 ) 是 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 上 任 一 点 , 则 椭 圆 过 该 点 的 切 线 方 程 为 : a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1。 a2 b
证明:由 1°当 x

y2 x2 x2 2 2 ? 1 ? y ? b (1 ? ) ??①, ? b2 a2 a2
2

? ? a 时,过点 P 的切线斜率 k 一定存在,且 k ? y ' |x? x0 ,∴对①式求导: 2 yy ' ? ? 2b2 x ,
a

∴ k ? y ' |x ? x0 ?

?b2 x0 ?b2 x0 y ? y ? ? ( x ? x0 ) ??②, ,∴切线方程为 0 a 2 y0 a 2 y0
2 2 x0 x y0 y x2 y 2 x0 y0 ? ? 1 上,故 ? ? 1 ,代入②得 2 ? 2 ? 1 ??③, 2 2 2 2 a b a b a b

∵点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

而当 x ? ? a 时, y0 ? 0 切线方程. 预备定理 2.

切线方程为 x

? ? a ,也满足③式,故 x02x ? y02y ? 1 是椭圆过点 P( x0 , y0 ) 的
a b

x2 y 2 若点 P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上任一点,则双曲线过该点的切线方程为: a b

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b
2 y 2 x2 2 2 x ? ? 1 证明:由 2 ? y ? b ( 2 ? 1) ??①, b a2 a

1°当 x

? ? a 时,过点 P 的切线斜率 k 一定存在,且 k ? y ' |x? x

0



b2 x0 2b2 b2 x ∴对①式求导: 2 yy ' ? 2 x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? 2 ,∴切线方程为 y ? y0 ? ? 2 0 ( x ? x0 ) ??②, a y0 a a y0

第 2 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质
2 2 x2 y 2 x0 y0 上,故 ? ? 1 ? ?1 a 2 b2 a 2 b2

∵点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 而 当 x ? ?a 时 ,

代入②得

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ??③, a2 b
a b

y0 ? 0

切 线 方程 为

x ? ? a , 也 满 足 ③式 , 故 x02x ? y02y ? 1 是 双曲 线 过 点

P( x0 , y0 ) 的切线方程.
预 备 定 理 3. 若 点

P( x0 , y0 ) 是 抛 物 线 y2 ? 2 px

上任一点,则抛物线过该点的切线方程是

y0 y ? p( x ? x0 )
证明:由 y 2 ? 2 px ,对 x 求导得: 2 yy ' ? 2 p ? k ? y ' |x ? x0 ?

p , y0

当 y0 ? 0 时,切线方程为 y ? y ?

p 2 ( x ? x0 ) ,即 y0 y ? y0 ? px ? px0 , y0

2 而 y0 ? 2 px0 ? y0 y ? p( x ? x0 ) ???①,而当 y0 ? 0, x0 ? 0 时,切线方程为 x0 ? 0 也满足①式,

故抛物线在该点的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . 定理 1. 椭圆上一个点 P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P 处的法线平分(图 2.1)

x2 y 2 已知:如图,椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 , F1 , F2 分别是其左、右焦点, l 是过椭圆上一点 P( x0 , y0 ) a b 的切线, l ' 为垂直于 l 且过点 P 的椭圆的法线,交 x 轴于 D ,设 ?F2 PD ? ? , ?F 1PD ? ? , 求证: ? ? ? .
y x2 y 2 ? 2 ? 1 上, P( x0 , y0 ) ? C , 2 a b xx y y 则过点 P 的切线方程为: 02 ? 02 ? 1 , l ' 是通过点 D a b F 1 l P 且与切线 l 垂直的法线, y0 x 1 1 l? P )x ? ( 0 ) ? x0 y0 ( 2 ? 2 ) , 则l ':( 2 2 b a b a c 2 ∴法线 l ' 与 x 轴交于 D(( ) x0 , 0) , a 2 c c2 | F D | a 2 ? cx0 ∴ | F1 D |? 2 x0 ? c,| F2 D |? c ? 2 x0 ,∴ 1 ,又由焦半径公式得: ? a a | F2 D | a 2 ? cx0 | F D | | PF1 | ,∴ PD 是 ?F | PF1 |? a ? ex0 ,| PF2 |? a ? ex0 ,∴ 1 ? 1PF 2 的平分线, | F2 D | | PF2 | ∴ ? ? ? ,∵ ? ? ? ? ? 90? ? ? ? ? ? ,故可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证法一:在 C : 证法二:由证法一得切线 l 的斜率 k ? y ' |x ? x0 ?

F2

x

y0 ?b2 x0 ,而 PF1 的斜率 k1 ? , PF2 的斜率 2 x0 ? c a y0

第 3 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

y0 b2 x ? 2 0 2 2 y x ? c a y0 a 2 y0 ? b 2 x0 ? b 2cx0 k ?k ∴ l 到 PF1 所成的角 ? ' 满足: k2 ? 0 , tan ? ' ? 1 ? 0 ? b 2 x0 y0 x0 ? c 1 ? kk1 (a 2 ? b 2 ) x0 y0 ? a 2cy0 1? ( x0 ? c)a 2 y0
x2 y 2 b2 ∵ P( x0 , y0 ) 在椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 上,∴ tan ? ' ? , a b cy0

k ? k2 b2 同理, PF2 到 l 所成的角 ? ' 满足 tan ? ? ,∴ tan ? ' ? tan ? ' ? 1 ? kk2 cy0 ? 而 ? ', ? ' ? (0, ) ,∴ ? ' ? ? ' 2
C 于点 P ' 证法三:如图,作点 F3 ,使点 F3 与 F2 关于切线 l 对称,连结 F 1,F 3 交椭圆
下面只需证明点 P 与 P ' 重合即可。

l 一方面,点 P 是切线 l 与椭圆 C 的唯一交点,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ,是 上的点到两焦点距离之和的
最小值(这是因为 l 上的其它点均在椭圆外) 。 另一方面, 在直线 l 上任取另一点 P '' , ∵| P' F 1 | ? | P' F 2 |?| P ' F 1 | ? | P' F 3 |?| F 1F 3 |?| P '' F 1 | ? | P '' F 2| 即 P ' 也是直线 AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点,从而 P 与 P ' 重合,即 ? ? ? 而得证 定理 2 双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分(图 2.2);

已知:如图,双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 分别是其左、右焦点, l 是过双曲线 C 上的一 a 2 b2

点 P( x0 , y0 ) 的切线,交 x 轴于点 D ,设 ?F 1PD ? ? , ?F2 PD ? ? 求证: ? ? ? 证明: C :

x y ? 2 ? 1 , 两 焦 点 为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 2 a b
F?

2

2

L
y
L

?

P

??
F? L? D

??

?
F

?
??
D

P

(c 2 ? a 2 ? b 2 ) , P( x0 , y0 ) 在双曲线上,则过点 P 的切线
x0 x y0 y a2 l ? ? 1 ,切线 与 轴交于 D ( , 0) 。 x a2 b2 x0
由双曲线的焦半径公式得:

??
F

?
x
L

?

P

??
F? L? D

??

?
F

c c | PF1 |?| x0 ? a |,| PF2 |?| x0 ? a | , 双曲线的两焦点坐标 a a

图 2.2

c x0 ? a | | PF1 | | DF1 | a c a c a ? 为 F (c ,0) ,F (?c ,0) , 故 | DF1 |?| || x0 ? a |,| DF2 |?| || x0 ? a |, ? ? x0 a x0 a | PF2 | | c x ? a | | DF2 | 0 a 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,∴切线 l 为 ?FP F ? 之角分线。 |

第 4 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

定理 3 2.3)。

抛物线上一个点 P 的焦半径与过点 P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P 处法线平分 (图 y
L

已知:如图,抛物线 C 的方程为为 y 2 ? 4cx ,直线 l 是过抛物线上一 点 P( x0 , y0 ) 的切线,交 x 轴于 D , ?DPF ? ? , ?PDF ? ? , 反射线 PQ 与 l 所成角记为 ? ,求证: ? ? ?

L
?
P

??
F? L? D

??

?
F

P

?
F
x
L

D ?

证明: 如图 ,抛物线 C 的方程为 C : y 2 ? 4cx ,点 P( x0 , y0 ) 在该抛 物 线上 ,则 过点 P 的 切 线为 y0 y ? p( x ? x0 ) , 切 线 l 与 x 轴 交 于

?

P

??
F? L? D

??

?
F

图 2.3

D(? x0 , 0),焦点为 F (c ,0) , ? ? ? (同位角),
∵ | PF |? ( x0 ? c) ? y0 ?| x0 ? c |,| DF |?| x0 ? c | ,∴ | PF |?| DF | ,∴ ? ? ? ? ? ? ?
2 2

通过以上问题转化可知,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产 生活中有何应用呢? 三、圆锥曲线的光学性质的应用 3.1 解决入射与反射问题 例 1. 设抛物线 C : y 2 ? x ,一光线从点 A (5,2)射出,平行 C 的对称轴,射在 C 上的 P 点,经过 反射后,又射到 C 上的 Q 点,则 P 点的坐标为____, Q 点的坐标为______。 解:如图,直线 AP 平行于对称轴且 A (5,2),∴则 P 点的坐标为(4,2),

1 4 1 1 1 t 2 8 则 ? ? ,解得: t ? ? ,∴ Q( , ? ) 1 1 15 8 64 8 t2 ? 4? 4 4
2 ∴反射线 PQ 过点 F ( , 0) ,设 Q(t , t ) ,

图 3.1.1

x2 y2 ? ? 1,若有光束自焦点 A (3,0)射出,经二次 25 16 反射回到 A 点,设二次反射点为 B, C ,如图 3.1.2 所示,则△ ABC 的周长
例 2. 已知椭圆方程为 为 。

x2 y2 2 ? ? 1 中, c ? 25 ? 16 ? 9 , 25 16 ∴ A (3,0)为该椭圆的一个焦点,∴自 A (3,0)射出的光线 AB 反射后,反 射光线 AC 定过另一个焦点 A? (-3,0) 故△ ABC 的周长为: AB ? BA '? A ' C ? CA ? 4a ? 4 ? 5 ? 20 。
解:∵椭圆方程为

图 3.1.2

第 5 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

x2 y 2 ? ? 1,又 A ? C ,已知 A (4,2 2 ), 8 8 F (4,0),若由 F 射至 A 的光线被双曲线 C 反射,反射光通过 P(8, k ) ,则 k = 。 解: ∵入射线 FA 反射后得到的光线 AP 的反向延长线定过双曲线的另
例 3.双曲线 C : 一个焦点 F '(?4,0) ,∴

k 2 2 ? ?k ?3 2 12 8

3.2 解决一类“距离之和”的最值问题 张奠宙教授说“在一般情况下,光线在传播过程中,总是选择最 近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉” 图 3.1.3 层面上的结论,但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指 明了思考的方向,从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证 明,这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。 ”我读了他的文章,深受启发,并用圆锥曲 线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。 例 4.已知椭圆 C: ?

x2 25

y2 ? 1 , F1 、 F2 为分别是其左右焦点,点 Q(2, 1) , P 是 C 上的动点,求 9
y P1
Q

MF1 ? MQ 的取值范围。
y P1' P1 Q F1 O F2 x
F1 O y

Q
x

F2

F1

O

F2

x

P2'

P2

P2

图 3.2.1 (一)分析猜想:

图 3.2.2

图 3.2.3

(2, 2) (1)经计算, Q 点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形,因此 MF 1 ? MQ 应该有一个封闭的取
值范围,既有最小值也有最大值。 (2)同样根据光线的“最近传播法则” ,结合椭圆的光学性质,可得:从 F 1 射出被椭圆反射后经 过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类,一是被上半椭圆反射(如图 3.2.1, 光线从 F ,二是被下半椭圆反射(如图 3.2.2,光线从 F ,究竟哪种 1 ?P 1 ?Q ) 1 ?P 2 ? F2 ? Q ) 情况距离之和更小呢?显然,根据椭圆定义,图 3.2.1 中的 PF ? 2a ( 2a 为椭圆长轴长), 1 1 ? PQ 1 而图 3.2.2 中的 P ? 2a ,可见图 3.2.1 所示的情况距离之和更小。 2F 1 ? PQ 2 但是,最大值又是多少呢?图 3.2.2 所示的光线又有什么特点呢? 将图 3.2.1.和图 3.2.2 中的光线反射路线合并图 3.2.3,由于 PQ ?P ? PF 2 2F 1 ? PQ 1 1 1 是定值

4 a ( a 为椭圆长半轴长),而 PQ ? PF 1 1 1 由前面知最小,由此猜测 P 2Q ? P 2F 1 可能就是最大值。
(二)证明 PF 是最小值。 1 1 ? PQ 1

? 如图 3.2.2,连接 Q F2 ,延长交椭圆于 P 2 ,在椭圆上另取一点 P 2 , 由椭圆定义知:

? 2 |?| PQ ? ? QF2 | ,代入(*)式得: P2Q ? QF2 ? PF1 ?| P2? F1 ? P2? F2 | (*) ,因为 | P 2F 2 ? 1 ? PQ ? ? QF2 | ,所以, PQ ? 1 ? PQ ? | 。猜想得证。 PQ ? QF2 ? | P ?| P 2 2F 1 |?| P 2F 2 2 2F 1 |?| P 2F 2

第 6 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

(三)计算: 综上所述,只需求出 | F2Q |? 为 2a? | F2Q |? 10 ? 2 10 . 例 5.已知双曲线 C:x ?
2

(4 ? 2) 2 ? 42 ? 2 10 ,可得最小值为 2a? | F2Q |? 10 ? 2 10 ,最大值

9 y2 ? 1 ,F1 、F2 为分别是其左右焦点,点 Q(4, ) ,M 是 C 上的动点, 2 3

求 MF2 ? MQ 的取值范围。 分析猜想: 经计算,Q 点在双曲线右支开口内部。 由于双曲线是不封闭曲线, 显然 MF2 ? MQ 可 以无限大,故要求 MF2 ? MQ 的取值范围,关键是求出 MF2 ? MQ 的最小值。根据光线的“最近 传播”特点,我们猜想:从 F 1 射出经双曲线反射后经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的,再结 合双曲线的光学性质 (从一个焦点射出的光线经椭圆周反射, 反射光线的反向延长线经过另一个焦点) , 可作出从 F ,与双曲线的交点即为使得 MF2 ? MQ 1 1 射出被双曲线反射后经过点 Q 的光线:连接 FQ 最小的点,设为 P 点,光线从 F2 ? P ? Q 。 (见图 2) (二)证明:如图 2:按猜想作出点 P ,由于所求点 P 显然不在双曲线的左支上(此时显然距离

? 1 ? P?F2 | ,即 之和不会最小) ,故在右支上另取一点 P? ,由双曲线定义知: PF 1 ? PF 2 ?| P F

? ? P?F1 | ,两边同加 PF2 得: PF1 ? | P?F2 ? P?F1 ? PF2 | ,因为 PF1 ? PQ ?| PQ ? ? 1 ? PF2 | 所以 PF 1 ? PQ ? PF 2 ?| PQ ? P F
? ? PF1 ? P?F2 | , ?| PQ

? ? P?F2 | ,猜想得证。 故 PQ ? PF2 ?| PQ
(三)计算:由题意知

4

Q P

2

9 ∵ F1 (?2, 0), Q (4, ) , 2 ∴ | PQ | ? | PF2 |?| FQ 1 | ?| F 1P | ? | PF 2 | 11 = | FQ 1 | ?(| F 1P | ? | PF2 |) = | FQ 1 | ?2 A = 2 2 F 例 6.已知抛物线 C:y ? 4 x , 是其焦点,点 Q(2,1) , M 是 C 上的动点,求 MF ? MQ 的取值范围。 。

P'

-5

F1

O
-2

F2

5

-4

图 3.2.5

分析:由于抛物线不是封闭曲线,显然没有最大值,因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质(从 焦点射出的光线经抛物线反射,反射光线与对称轴平行,反之也成立) ,结合光线的“最近传播”特点, 我们猜想:过 Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和 最小的点,设为 P 点(见图 3.2.6) 。 可由抛物线的定义证明猜想是正确的。 且 PF ? PQ ? 3

3.3. 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。 光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射角) ,光线被曲线反射也 不例外,此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见,曲线的切 线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。 以椭圆为例: 如图 3.3.1, l 是过椭圆周上一点 P 的椭圆的切线, 光线从 F ( m 是 P 点处的法线, 1 F2) 射出被椭圆反射经过 F ,满足∠1=∠2,且∠3=∠4。 ( ) 2 F 1

第 7 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

l
2

P 1 2 3 4
5

F1

O m
-2

F2

图 3.3.2 图 3.3.1

x2 y 2 l l ? 1 上一动点 P 的椭圆 C 的动切线, 例 7. 已知 是过椭圆 C: ? 过 C 的左焦点 F 1 作 的垂线, 16 12 求垂足 Q 的轨迹方程。
分析:如图 3.3.2,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手,或许借助椭圆参数方程可以求 解,但运算相当繁琐。由于 l 是椭圆的切线,切点为 P ,联想到椭圆光学性质及反射定律,可知: l 是

?F1PF2 的外角平分线, F1 关于直线 l 的对称点 F2? 在 F2 P 的延长线上。这样,由于 PF1 ?| PF2? | ,
故 | F1? F2 ? PF1 ? PF2 |? 2a ? 8 ,而 Q 、 O 分别是 F1? F1 、 F2? F2 的中点,所以 QO ? 4 。从而 Q 点轨 迹是以 O 为圆心、以 4 为半径的圆。即点 Q 的方程为 x ? y ? 16 3.4 在生产生活中的作用 例 8.某种碟形太阳能热水
2 2

器的外形示意图如图 3.4.1,其中 F 为加热点;碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面;抛物 线以 cm 为单位的设计尺寸如 解 图 3.4.2.为了达到最佳加热效果, F 应距碟底多少? F :以碟形内壁底为原点,抛物线的对称轴为 x 轴,开 y 5 85 x O 图 3.4.1 40 图 3.4.2

口方向为 x 轴的正向, 建立坐标系如图 3.4.2, 则内壁抛物线方 程为 y ? 2px .据所示尺寸,抛物线过坐标为 (40,85)的点,
2 2 所以 85 ? 2 p ? 40 ? 80p , p ? 90.3 .加热点 F 应置于抛物

线的焦点.焦点坐标为(

p ,0)?(45.2,0).所以 F 应距碟底约 2

45.2cm 。
四.圆锥曲线的光学性质在实际生活中应用举例

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆 锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着 许许多多的圆锥曲线。 虽然我不知道为什么,天体分别按照椭圆,双曲线,抛物线运行时,其总能量与离心率有很奇妙 的关系,天体总能量椭圆<0,双曲线>0,抛物线=0, (椭圆 e<1,双曲线 e>1,抛物线 e=1) 。相对于一个物 体,按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨道了。因而,圆锥曲线在这 种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式。

第 8 页 共 9 页

圆锥曲线的光学性质

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其他行星也如此,太阳则位于 椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类 发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。 由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴,即抛物线的轴。在这个 轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于轴的 直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。 由双曲线的一支绕其虚轴旋转,可以得到双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成, 各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时,就采取单叶双曲面的 体形,既轻巧又坚固(比如教材当中的冷却塔) 由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高。 圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察,勤于钻 研,及时总结,才能闪现更多的灵感,才能在奥妙的数学世界畅游。

第 9 页 共 9 页


相关文章:
圆锥曲线的光学性质(2015)
一、 圆锥曲线的光学性质 1.1 椭圆的光学性质: 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反 射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上; (见图 1.1) 椭圆的这种...
圆锥曲线的光学性质及其应用
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 圆锥曲线的光学性质及其应用 作者:刘朝斌 来源:《读写算 · 教研版》 2013 年第 01 期 中图分类号:G632 文章编号:...
圆锥曲线光学性质的几何证明
圆锥曲线光学性质的几何证明_高二数学_数学_高中教育_教育专区。清楚简洁的证明,没有冗杂的计算今日推荐 160份文档 2014全国计算机等级考试 ...
圆锥曲线的光学性质及其性质
圆锥曲线的光学性质及其性质解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题,这并不意味着解析几 何决不利用几何知识。相反地,解析几何是将数与形有机地结合起来,所...
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探
一、 圆锥曲线的光学性质 首先说明一下我们要证明的东西,总共有三样: 首先说明一下我们要证明的东西,总共有三样: 椭圆的光学性质: 从椭圆一个焦点发出的光,...
圆锥曲线光学性质几何证明法
利用反证法证明圆锥曲线的 光学性质 迤山中学 贾浩 数学组 2014.1.1 利用反证法证明圆锥曲线的光学性质反证法又称归谬法,是高中数学证明中常用的一种方法。利用...
圆锥曲线的光学性质
利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题。 一、光学性质 椭圆的光学性质: 从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射 后,反射都经过椭圆的另一个焦点...
圆锥曲线的光学性质
关于圆锥曲线的光学性质 (1)由焦点射出的光线,经抛物面反射,出射光线与对称轴平行 (2)由焦点射出的光线,经椭圆面反射,出射光线过另一个焦点 (3)由焦点射出的...
圆锥曲线的性质及推广应用
15 1 圆锥曲线的性质及推广应用摘要:本文在简单介绍圆锥曲线的基础上,对圆锥...7722 ,因此,卫星的轨道方程是 圆锥曲线的光学性质和应用 x y2 ? ?1 77832...
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 学习完圆锥曲线的方程和性质后,课本上有一则阅读材料引 起了同学们的兴趣,在老师的指导下,我们不仅了解了圆锥曲线的光 学性质...
更多相关标签:
圆锥曲线光学性质 | 双曲线的光学性质 | 踢猫效应 | 手指速算法 | 圆锥曲线 | 圆锥曲线硬解定理 | 椭圆的光学性质 | 恐怖谷理论 |