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大学物理电磁感应课件


7.1 电磁感应的基本定律 7.2 动生电动势 7.3 感生电动势和感生电场 7.4 自感应 互感应 7.5 磁场的能量 7.6 位移电流和全电流定律 7.7 麦克斯韦方程组

问题的提出

1831年法拉第

实验

电 流

产 生

磁 场


?
电磁感应

闭合回路

? m 变化
产生

感应电流

7-1 电磁感应定律
一.法拉第电磁感应定律
S
N

? ?
G

a ?
b
?

? ? ? ?

? ? v?

? ? ?

? ? ? ? ? ?

a ? ?
? ?

?

? ?

? ?

b

? ?

N

S

?
当回路 1中电流 发生变化时,在回路 2中出现感应电流。

1

Φm 2 G

ε
R

1、产生感应电流的五种情况 1、磁棒插入或抽出线圈时,线圈中产生感生电流; 2、通有电流的线圈替代上述磁棒,线圈中产生感生 电流; 3、 两个位置固定的相互靠近的线圈,当其中一个线

圈上电流发生变化时,也会在另一个线圈内引起电流;
4、放在稳恒磁场中的导线框,一边导线运动时线框

中有电流。
感应电流与原电流本身无关,

而是与原电流的变化有关。

电磁感应

? ? ? ?

? ? ? ?

a ? ?
? ?? ? ?

Ii ? ?
? ?

v

a ?i
b
电动势

Ii

R
形成

b

?

产 ? 生

Ii

?i

当通过回路的磁通量变化时,回路中就会 产生感应电动势。

? ? ? ? ? B ? dS
S

1.导线或线圈在磁场中运动 2.线圈内磁场变化

2、电磁感应定律
导体回路中产生的感应电动势的大小,与穿过 导体回路的磁通量对时间的变化率成正比。

d? m ?i ? ? dt

d? m ? i ? ?k dt
感应电动势大小

感应电动势的方向
楞次定律

d? m ?i ? dt

d? m d ( N? m ) 对N匝线圈 ?i ? ?N ?? dt dt ? ? N? m — 磁通链 ?i 1 d? m 感应电流 Ii ? ? ? R R dt
在t1到t2时间间隔内通过导线任一截面的感应电量

(dq ? I i dt )

q?

t2

?
t1

1 1 d? m dt? ? d? m I i dt ? ? ? R dt R? t1

t2

? m2

?

m1

1 ? (? m 1 ? ? m 2 ) R

二、楞次定律 (判断感应电流方向)
闭合回路中感应电流的方向,总是使得它所激发的 磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化。 感应电流的效果反抗引起感应电流的原因
a ?
? ?

? ? ?
?

? ?

?? f ? ?
? ?

?

? ? ?
?

感应电流

产生
阻碍

导线运动

? v
感应电流

b

?

产生 阻碍

磁通量变化

判断感应电流的方向:
1、判明穿过闭合回路内原磁场 的方向; 2、根据原磁通量的变化 , 按照楞次定律的要求确定感 应电流的磁场的方向; 3、按右手法则由感应电流磁场的 方向来确定感应电流的方向。
?? m

? B感

S
N

Ii

? B

S
N

Ii

? ? ? m ? B感与B反向 ? ? ? m ? B感与B同向

? B感

? B

例7-1 无限长直导线 i ? i0 sin?t
共面矩形线圈 abcd 已知: l1

h

l2

b
i

c
l1

l2 h

求:
h? l 2

?i

? ? 解: ? m ? ? B ? dS ?

?
h

?0i l1dx 2?x

? 0 i0 l1 h ? l 2 ? ln sin?t 2? h

a x

d
dx

d? m ? 0 i0 l1 h ? l 2 ?? ln cos ?t ?i ? ? 2? h dt

在无限长直载流导线旁有相同大小的四个 矩形线圈,分别作如图所示的运动。 判断回路中是否有感应电流。

思 考

?

? ?V

? V

I
? V

(a ) ? ?0

(b) ? ?0

(c )
? ?0

(d ) ? ?0

两类实验现象
导线或线圈在磁场中运动 线圈内磁场变化 感应电动势

动生电动势
感生电动势

产生原因、 规律不相同 都遵从电磁感应定律

7-2
一、电源、电动势

动生电动势

在回路中有稳恒电流流动就不能单 靠静电场,必须有非静电力把正电 荷从负极板搬到正极板才能在导体

两端维持有稳恒的电势差。
提供非静电力的装置就是电源。

+ –

静电力欲使正电荷从高电位到低电位。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。

非静电场强

? ? FK EK ? q
? ? ? ? ? E K ? dl
? ?

描述电源非静电力作功能力大小的量, 就是电源电动势。

+ –

电源电动势等于单位正电荷绕闭合回路一周过 程中,非静电力所做的功。 电动势描述电路中非静电力做功本领 电势差描述电路中静电力做功

二、动生电动势 动生电动势是由于导体或导体回路在恒定磁场 中运动而产生的电动势。

?

非静电力

产生

动生电动势

?a

?
G

? ? ? ?

?i
?b

? v

l

? ?

? ? ?

动生电动势的成因
导线内每个自由电子

a

+++ + +

受到的洛仑兹力为

? ? ? Fm ? e(v ? B )

非静电力
它驱使电子沿导线由a向b移动。

? Fm

? B ? v

b

由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷, a 端出现过剩正电荷 。

? 在导线内部产生静电场 E
方向a?b

a

+++ +? +

Fe

电子受的静电力

? ? Fe ? eE

平衡时

? ? Fe ? ? Fm

? Fm

? B ? v

b

此时电荷积累停止,ab两端形成稳定的电势差。
洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.

动生电动势的一般公式 ? ? ? 非静电力 Fm ? e(v ? B ) ? ? ? Fm ? ? 定义 E k 为非静电场强 E k ? ?v?B e
由电动势定义 ? i ? ?
?
? ?

? ? Ek ? dl

运动导线ab产生的动生电动势为

?i ? ?

?

? ? ? ? a ? Ek ? dl ? ? ( v ? B ) ? dl
b

一般情况

? ? 导线上各长度元 dl上的速度 v 、 B 各不相同

导线是曲线 , 磁场为非均匀场。

dl 上的动生电动势 ? ? ? d? i ? (v ? B ) ? dl
整个导线L上的动生电动势

? ? ? ? i ? ? d? i ? ? ( v ? B ) ? dl
L

平动
计 算 动 生 电 动 势 分 类 均匀磁场 转动 非均匀磁场

方 法

?i ? ?
?i ? ?
b

d? m dt

a

? ? ? (v ? B) ? dl

均匀磁场


平动
求:

? ? 已知: v , B ,? , L

?
0

? ? ? 解: d? ? ( v ? B ) ? dl
? vB sin 90 dl cos( 90 ? ? )
0

? Bv sin? dl

? ? ? Bv sin? dl

? ? v?B ? dl ?

? BvL sin?

L

? v
? B

典型结论

? ? BvL sin?
L
特例

?
? B

? v

? v

? B

? v ?

B

? ?0

? ? BvL

均匀磁场

闭合线圈平动

???? ? v ???? ????

d? ?i ? ? ?0 dt



有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁

? ? 力线运动。已知: v , B , R.

求:动生电动势。 解:方法一 作辅助线,形成闭合回路

b
? v
R
? B

?i ? 0

? 半圆 ? ? ab ? 2 RBv
方向:a

a

?b



有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁

? ? 力线运动。已知: v , B , R.

求:动生电动势。 解:方法二

dl ? Rd?

? v?B
d?

? ? ? d? ? ( v ? B ) ? dl ? vB sin 900 dl cos ?
? ? vBR?
? 2
?? 2

b
?
R

? dl

cos ?d?

? v
? B

? vB2 R
方向:a

?b

a

均匀磁场
例7-3

转动

的均匀磁场中,以角速度 ? 绕O轴转动。

? 如图,长为L的铜棒在磁感应强度为 B

求:棒中感应电动势的大小 和方向。

? ????
? A B ????

???? ????

O

解:方法一

? ? ? 取微元 d? ? ( v ? B ) ? dl

? Bvdl ? Bl?dl
? i ? ? d? i ? ? Bl?dl
0 L

1 ? B?L2 2
方向 A ? O

? ????
???? ????

? ? v A B ???? O l dl

方法二 作辅助线,形成闭合回路OACO ? ? ? ? ? m ? ? B ? dS ? BdS ?
S

?
S

1 2 ? B ? L ? BSOACO ? 2 O d? ? ? ? ? 1 2 d? C ?i ? ? ? ? BL 2 dt dt ? ? ? ? 1 2 ? ? B?L 2 符号表示方向沿AOCA OC、CA段没有动生电动势
问 题

A B ????

? ? ? ? v

把铜棒换成金属圆盘, 中心和边缘之间的电动势是多少?

非均匀磁场
例7-4 一直导线ab在一无限长直电流磁场中作 切割磁力线运动。求:动生电动势。 解:方法一

d ? ? (v ? B ) ? d x I x ?0 I 0 0 a ?v sin 90 dx cos180 2? x d ? 0 vI ?? dx 方向 2? x ?0vI d ?l dx ? 0 Iv d ? l ?? ln ? ?? ? 2? d 2? d x

? ? v?B
dx

? v
b

l

a ?b

方法二

作辅助线,形成闭合回路abcd

? ? ? ? ? B ? dS ?
S

?

d ?l

d

?i ? ?

? 0 Ix d ? l ? ln 2? d d?
dt

?0 I xdr 2? r
I

方向

b?a

? v

X
b

? 0 I d ? l dx ? ?( ln ) 2? d dt ? 0 Iv d ? l ?? ln 2? d

a

d

l

r
d

dr

c(O)

思考

d? I ?i ? ? dt ? ? ?0 I xdr d? ? B ? dS ? 2?r ?0 I xdr d? ? 2?r dt dt
做法对吗?

? v
a

X
b

d

l

r
d dr
c(O)

7-3、感生电动势和感生电场

一、感生电动势 涡旋电场
1、感生电动势 由于磁场发生变化而 激发的电动势

S N G

动生电动势
电磁感应 感生电动势

非静电力 非静电力

洛仑兹力

?

2、 麦克斯韦假设: 变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场,

? ? 称为涡旋电场或感生电场。记作 E 涡或 E 感
感生电动势 非静电力 感生电场力

? ? 由电动势的定义 ? i ? ? E涡 ? dl L d ?m 由法拉第电磁感应定律 ? i ? ? dt ? ? d ?m d ?涡 ? dl ? ? ? ? ( ? ? ? dS ) ? S dt dt L ?
? ??
S

? ?B ? dS ?t

讨论

? ? ? ?B ? ?L E涡 ? dl ? ? ?S ? t ? dS

1) 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系, 即感生电场是由变化的磁场产生的。 ? 2) S 是以 L 为边界的任一曲面。

S

? S 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系

S

L

? ?B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 ?t
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率

3)

? E涡

? ?B 与 构成左旋关系。 ?t
? ?B ?t

? ? ? ?B ? ?L E涡 ? dl ? ? ?S ? t ? dS

? E涡

? E涡

? ?B ?t

感生电场电力线

B ? ???? E涡 ??
? E涡

? ? ? ? ? dB ? ? ? ? ? ? dt

静电场(库仑场)

感生电场(涡旋电场)

具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力

由静止电荷产生

由变化磁场产生

? E 库 线是“有头有尾”的,
起于正电荷而终于负电荷

? E 感 线是“无头无尾”的
是一组闭合曲线

? 1 ? ?S E库 ? dS ? ? 0 ? qi

?

S

? ? E涡 ? dS ? 0

? ? ?L E 库 ? dl ? 0

? ? ? ?B ? ?L E涡 ? dl ? ? ??S ? t ? dS

? ? ? ? i ? ? ?v ? B ?? dl
特 点 磁场不变,闭合电路 的整体或局部在磁场 中运动导致回路中磁 通量的变化 由于S的变化引起 回路中? m变化
洛仑兹力

动生电动势

感生电动势 ? ? ? ?B ? ? i ? ? E涡 ? dl ? ? ? ? dS S ?t

闭合回路的任何部分 都不动,空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化

原 因 非静 电力 来源

? 由于 B的变化引起
回路中? m变化 感生电场力

? ? ? ?B ? 3、感生电场的计算 ?L E涡 ? dl ? ? ?S ? t ? dS 例7-5 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场, 方向如图。磁场的变化率 ?B ? t ? 0

? 求: 圆柱内、外的 E 涡 分布。
? ? ? ? ?B ?l E涡 ? dl ? ? ?S ? t ? dS

解: r ? R

? ???? B r? ??? ?B 0 0 R? L? ?l E涡dl cos 0 ? ? ?S dS cos 0
?t

? ? ? ? ? ?B ? ?t

r dB dB 2 E涡 2?r ? ? ?r E涡 ? ? 2 dt dt

方向: 逆时针方向

讨论

r dB E涡 ? ? 2 dt

? 负号表示 E 涡 与 dB dt 反号

? ???? B r? ??? R? L?

? ?B ???? ? ?t

? ( 1 ) B ? 则 dB d t ? 0 ? E涡 ? 0 ? E涡与 L 积分方向切向同向 ? ( 2 ) B ? 则 dB d t ? 0 ? E涡 ? 0 ? E涡与 L 积分方向切向相反

? ? ? ?B ? ?L? E涡 ? dl ? ? ?S? ? t ? dS
在圆柱体外,由于B=0 ? 故 L?上 ?B ? t ? 0 ? ? ? ? E涡 ? dl ? 0

r?R

? 于是 L?上 E感 ? 0

虽然 ?B ? t 在 L? 上每点为0, 但在 S ?上则并非如此。 由图可知,这个圆面积包括柱体内部分的面积, ? 而柱体内 ?B ? t ? 0

?
L?

?

???? ?? r B ???? B R R ??

? L? S ? ?B ???? ? ?t S

?

dt dB 2 E涡 2?r ? ? ?R dt R 2 dB E涡 ? ? 2r d t
L?

? dB 2 ?B ? ? R ? ? ? dS ? S? ? t dt ? ? dB 2 ?R E涡 ? dl ? ?

方向:逆时针方向

?? ? ? ? B r B ???? R R ??

? L? S ? ?B ???? ? t ? S ?

E涡 E涡 ?

R dB ? 2r d t

2

r?R r?R

r dB ? 2 dt

O

R

r

例7-6 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内,

? 已知:h、L、 ?B ?t ? 0 方向如图.
求:? CD

???? ? o ? ? ? ? ? B ?? ? ? h C ?? D
L

? ?B ?t

? ? 解: ? i ? ? E涡 ? dl
? ? d? ? E涡 ? dl r dB ? dl cos ? 2 dt
h dB ? dl 2 dt

? r dB E涡 ? 2 dt

L

? ? o
B

?
?

? ?B ?t
? E涡

r h
l dl
L

?

C

D

? CD

h dB 1 dB ? dl ? hL ? 2 dt L 2 dt

r cos? ? h

电动势的方向由C指向D

用法拉第电磁感应定理求解

?i ?

?

OCDO

E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl
O C D

C

D

O

? 0 ? ? CD ? 0
1 CODC 所围面积为: S ? hL 2 ? ? 1 磁通量 ? m ? B ? S ? hLB 2
d ?m 1 dB ?i ? ? ? hL dt 2 dt

?

?

? ? ? ? ? ?B ? ?t o? ? ?? ? B ?? h ?? ?? D C

L
D O

?i ?

?

OCDO

E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl ? ? E涡 ? dl
O C D

C

讨论 CD导体存在时, 电动势的方向由C指向D 加圆弧连成闭合回路

由楞次定理知:感生电流的
方向是逆时针方向…….. 1 dB ? 1 ? hL 矛盾? 2 dt dB ? S ?OCD dt C dB ? 2 ? S扇OC 2 D ?1 ? ? 2 dt

???? ? o ? ? ? ? ? B ?? ? ? h 1 C ?? D
2
3

?B ?t

1

D

?3 ? ?2

2

? 1 ? S ?OCD

dB dt
dB dt

? 4 的方向逆时针D? 4?C
? 4 ? S扇OD 4C

4

?1 ? ? 4

???? ? o ? ? ? ? ? B ???? 1 C ?? D

? ?B ?t

?1和?4 的大小不同,说明感生电场不是位场,
其作功与路径有关

练习

求杆两端的感应电动势的大小和方向
dB ? ? Soabdo dt

? ? ? ? ?B ? ?0 R B ? ?t o? ? ?? ???? d b c ?? a

Soabdo ? Soab ? Sobd
1 3 1 2? ? R? R? R 2 2 2 6

R

R

3 2 ? 2 dB ? ?( R ? R ) 4 12 dt

方向 a ? c

*4、感应电动势的相对性
磁场运动与否? 导线运动与否? 取决于参考系的选取

选择不同参考系进行坐标变换时,动生电动势和 感生电动势可相互转换。

y

l

?动
z

? v

y’
? B

l ? v ?动

? E’

? B

x
S系

z’

x’
S’ 系

y

l

?动
z

? v

y’
? B

l ? v ?动

? E’

? B

x

S系 ? ? ? ? ? E? ' ? ? ( E ? v ? B )?

z’

x’
S’ 系

? ? ? ? ? E ? 0, B ? ? Bk , v ? vi ? ? ? ? E' ? v ? B ? ? ? ? ? ? ' ? E '?l ? (v ? B ) ? l ? vBl
方向为y’正方向

二、 电子感应加速器
利用涡旋电场对电子进行加速
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

电子束

? ? ? ? ?

? F涡
? ? ? ? ?

E涡



电子枪

三、 涡电流(涡流)
大块的金属在磁场中运动,或处在变化的磁 场中,金属内部也要产生感应电流,这种电流在 金属内部自成闭合回路,称为涡电流或涡流。 涡流线
交 流 电 源 铁芯 趋肤效应——涡电流或涡流这种交变电流集中 于导体表面的效应。

涡电流的热效应

涡流线

利用涡电流进行加热
利 1、冶炼难熔金属及特种合金 2、家用 如:电磁灶 3、电磁阻尼

交 流 电 源
铁芯

弊 热效应过强、温度过高, 易破坏绝缘,损耗电能,还可能造成事故
1、选择高阻值材料 减少涡流: 2、多片铁芯组合

7-4 一、自感
1.自感现象

自感应

互感应

由于回路自身电流、回路的形状、或回路周围

的磁介质发生变化时,穿过该回路自身的磁通量随
之改变,从而在回路中产生感应电动势的现象。

? ?I

? ? LI
磁通链数

I

?

L——自感系数,单位:亨利(H)

自感系数与自感电动势
1) L的意义: 若 I = 1 A,则 L ? ?
自感系数在数值上等于回路中通过单位电流 时,通过自身回路所包围面积的磁通链数。 L的计算

? ? LI ? L ?

?
I

2)自感电动势 d? d ( LI ) dI dL ?L ? ? ?? ? ?L ? I dt dt dt dt 若回路几何形状、尺 寸不变,周围介质的 磁导率不变

dL ?0 dt

dI ? L ? ?L dt

讨论:

dI ? L ? ?L dt

dI 1.若 : ? 0 则 : ? L ? 0, ? L与I方向相同 dt dI 若: ? 0 则 : ? L ? 0, ? L与I方向相反 dt

2. L的存在总是阻碍电流的变化,所以自感电 动势是反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。

例7-7 试计算长直螺线管的自感。 已知:匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率?

μ
l
自感的计算步骤:

S

? ? ? ? ?LH ? dl ? I B ? ?H ? ? B H

? ? ? ? N? ? N ?S B ? dS

? ? LI

?

L

? H

? B

?

L

N H ? nI ? I l ?N B ? ?H ? I l ? ? ?NI ? ? ?S B ? dS ? BS ? S l ?N 2 I ? ? N? ? S l 2 ? ?N 2 L? ? lS ? ?n V 2 I l

μ
l

S

例7-8

求一无限长同轴传输线单位长度的自感. 已知:R1 、R2

I H? 2?r

? ?Il ? d? ? B ? dS ? dr 2?r
2 1

?I B? 2?r

R1

R2

I

?Il R dr ?Il R2 ?? ? ln( ) ?R 2? r 2? R1 ?l R2 L? ln( ) 2? R1

I

l
rdr

L ? R2 单位长度的自感为: Lo ? ? ln( ) l 2? R1

二. 互感
1、互感现象 因两个载流线圈中电流变 化而在对方线圈中激起感应电 动势的现象称为互感应现象。

? 12

I1

I2

? 21

2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数(M)

若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变, 周围无铁磁性物质。实验指出:

? 21 ? M 21 I1

?12 ? M12 I 2

实验和理论都可以证明:

M12 ? M 21 ? M
2)互感电动势:

? 12

I1

I2

? 21

d? 12 dI 2 ? 12 ? ? ? ?M dt dt

d? 21 dI1 ? 21 ? ? ? ?M dt dt

?互感系数和两回路的几何形状、尺寸,它们 的相对位置,以及周围介质的磁导率有关。 ?互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互 影响程度。

互感系数的物理意义

dI 2 在 ? 12 ? ? M 中 dt dI 2 若 ?1 dt

则有 ? 12 ? M

互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化 率为每秒一安培时,在第一个回路所产生的互感电 动势的大小。

例7-10 如图所示,在磁导率为?的均匀无限大磁介质 中,一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a,线圈 共N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数. 解:设直导线中通有自下而上的电流I,它通过矩形线圈的 磁通链数为 ? ? dr

?I ?NIl a ? b ? N? ldr ? ln a 2?r 2? a ? ?Nl a ? b ? ln 互感为 M ? I 2? a
a?b

? ? N ? B ? dS
s

I

l

互感系数仅取决于两回路的形状, 相对位置,磁介质的磁导率.

a

b

7-5 磁场的能量 一、自感磁能
考察在开关合上后的一 段时间内,电路中的电流滋 长过程:

L

R

?

BATTE RY

电池

由全电路欧姆定律

?

?

0

i?dt ? ?

I

0

t ? di 1 2 2 L idt ? ? iRidt ? LI ? ? i Rdt 0 0 2 dt

di ? ? L ? iR dt

电源所 作的功

1 Wm ? LI 2 2

电源克服自 电阻上的 感电动势所 热损耗 做的功

计算自感系数可归纳为三种方法
1.静态法:

? ? LI
dI ?L ? ?L dt
1 2 Wm ? LI 2

2.动态法:

3.能量法:

二、互感磁能
将两相邻线圈分别与电源 相连,在通电过程中
电源所做功 线圈中产 生焦耳热 反抗自感 电动势做功

M 12

I1 L1

I2 L2

M 21

反抗互感 电动势做功

互感磁能

1 1 2 2 Wm ? L1 I 10 ? L2 I 20 ? MI 10 I 20 2 2
自感磁能 互感磁能

三、磁场能量
螺线管特例:

L ? ?n V
2

H ? nI

B ? ?nI

2 1 1 B 1 B 1 2 2 2 Wm ? LI ? ?n V ( ) ? V ? BHV 2 2 ?n 2 ? 2

磁场能量密度:单位体积中储存的磁场能量 wm

Wm 1 B 2 1 1 2 wm ? ? ? ?H ? BH V 2 ? 2 2 1 任意磁场 dWm ? w m dV ? BHdV 2

1 Wm ? ? wm dV ? ? BHdV V V 2

例7-12

如图.求同轴传输线之磁能及自感系数

I 解: H ? 2?r
V

?I B? 2?r
V

dV ? 2?rldr

R2 R1

Wm ? ? w m dV ? ?
R2

1 ?H 2 dV 2

1 I 2 ?? ? ( ) 2?rldr R1 2 2?r ?I 2 l R2 ? ln( ) 4? R1
2 ? I l R2 1 2 ln( ) LI ? Wm ? 4? R1 2

l

?l R2 可得同轴电缆 L? ln( ) 的自感系数为 2? R1

r dr

7-6 位移电流和全电流定律 一. 位移电流

1、电磁场的基本规律 对静电场 ? ? ?S D ? dS ? ? q0 ? ? ?L E ? dl ? 0
对变化的磁场 ? ? ? ?B ? ?LE ? dl ? ? ?S ?t ? dS 对稳恒磁场 ? ? ?SB ? dS ? 0 ? ? ?l H ? dl ? ? I 0

1、 位移电流
电流的连续性问题:

R I

包含电阻、电感线圈的电

L

I

路,电流是连续的.
+ + + + + +

?

包含有电容的电流
是否连续

I

I

在电流非稳恒状态下 , 安培环路定理是否正确 ?

? ? 对 S 面 ? H ? dl ? I l

S l

? ? 对 S ?面 ? H ? dl ? 0 l
矛盾

I

+ + + + + +

S?

I

电容器破坏了电路中传导电流的连续性。

? ? q0 D ? q0

I

+ + + + + + + + +

I

电容器上极板在充放电过程中,造成极板上电荷 积累随时间变化。 Q 电位移通量 ? e ? DS ? Q D ?? ? S 单位时间内极板上电荷增加(或减少)等于通入 (或流出)极板的电流

dQ d? e dD I? ? ?S dt dt dt

dQ d? e dD I? ? ?S dt dt dt
变化的电场象传导电流一样能产生磁场,从产生

磁场的角度看,变化的电场可以等效为一种电流。 若把最右端电通量的时间变化率看作为一种电流,那 么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。

定义

?

? d? e d ? ? ?D ? Id ? ? ? D ? dS ? ? ? dS S S ?t dt dt ? ? ?D jd ? (位移电流密度) ?t

位移电流的方向
位移电流与传导电流方向相同

? ?D ? ?t ?

如放电时

? D

q
? ?D ?t

?

D

? D

?

Id
反向

Ic

?

同向

二、全电流定律
全电流

通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导电流、
运流电流和位移电流的代数和. 在任一时刻,电路中的全电流总是连续的. 在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立.

全电流定律

? ? ? ?D ? ?l H ? dl ? ? I ? I d ? ? I ? ?S ?t ? dS

? ? ? ? ? ? ?D ? ?D ? ?l H ? dl ? ? I ? ?S ?t ? dS ? ?S j ? dS ? ?S ?t ? dS
位移电流和传导电流一样,都能激发磁场 传导电流 位移电流

电荷的定向移动
通过电流产生焦耳热

电场的变化
真空中无热效应

传导电流和位移电流在激发磁场上是等效.

? ? ? ?B ? ?L E涡 ? dl ? ? ?S ?t ? dS

? ? ? ?D ? ?L H d ? dl ? ?S ?t ? dS

? ?B ?t

? ?D ?t

? E涡 左旋

右旋

? Hd

对称美

例7-13 半径为R,相距l(l? R)的圆形空气平板电容器, 两端加上交变电压U=U0sin?t,求电容器极板间的: (1)位移电流; (2)位移电流密度的大小; (3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆板的中心距离.

P
O O?

R

?
l

?

解: (1)由于l? R,故平板 间可作匀强电场处理,

P
O O?

U U 0 sin ?t E? ? l l
根据位移电流的定义

R

?
l

?

d? e d ?DS ? dE 2 ? 0?R 2 Id ? ? ? ?0 ?R ? U 0? cos ?t dt dt dt l

dQ d ?CU ? dU 另解 I d ? ? ?C dt dt dt

? 0?R 2 平性板电容器的电容 C ? l
代入,可得同样结果. (2)由位移电流密度的定义

?D ?E ? 0 ?U ? 0U 0 Jd ? ? ?0 ? ? ? cos ?t ?t ?t l ?t l
或者 J d ? I d

?R

2

(3)因为电容器内? I=0,且磁场分布应具有轴对称性, 由全电流定律得 P

r?R

?

L1

? ? ? ? H1 ? dl ? ? J d ? dS ? J d?r 2
S

O

O?

R

?
l

?

? 0U 0 2 H 1 2?r ? ?r ? cos ?t l
? ? 0U 0 ? H1 ? ? ? cos ?t ? r ? 2l ?

? U 0? ? B1 ? ? 0 H1 ? ? 2 cos ?t ? r ? 2lc ?

r?R

P
O O?

?

L2

? ? 2 H 2 ? dl ? I d ? J d?R

R

?
l

?

? ? 0 R 2U 0 ?1 Id ? H2 ? ?? ? cos ? t ?r 2?r ? 2 l ? ?

? R 2U 0? ?1 B2 ? ? 0 H 2 ? ? ? 2lc 2 cos ?t ? ?r ? ?

静电场和稳恒磁场的基本规律
静电场 稳恒磁场

? ? ? D ? dS ? ? ? ? dV
S V

? ? ? B ? dS ? 0
S

E涡

? ? ? E ? dl ? 0
L

? ? ? ? ? H ? dl ? ? j ? dS
L S

Id

变 ? ? ? ?B ? ?LE ? dl ? ? ?S ?t ? dS

? ? ? ? ? ?D ? ? ?LH ? dl ? ?S ? ? j ? ?t ? ? ? dS ? ?

7-7 麦克斯韦方程组
麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定 理也适用于一般电磁场.所以,可以将电磁场的基本规 律写成麦克斯韦方程组(积分形式):

? ? ?SD ? dS ? ?V ? ? dV ? ? ? ?B ? ?LE ? dl ? ? ?S ?t ? dS ? ? ?SB ? dS ? 0 ? ? ? ? ? ?D ? ? ?LH ? dl ? ?S ? ? j ? ?t ? ? ? dS ? ?

对于各向同性 介质,有

? ? D ? ? 0? r E ? ? B ? ?0?r H

麦克斯韦方程组物理意义:

1、通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围 的自由电荷的代数和。
2、电场强度沿任意闭曲线的线积分等于以该曲线为 边界的任意曲面的磁通量对时间变化量的负值。

3、通过任意闭合面的磁通量恒等于零。
4、稳恒磁场沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该 曲线为边界的曲面的全电流。

麦克斯韦方程组(微分形式):

? ?? D ? ? ? ??E ? 0 ? ??B ? 0 ? ? ??H ? j

? ?? D ? ? ? ? ?B ??E ? ? ?t ? ??B ? 0 ? ? ? ?D ??H ? j ? ?t


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