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四川省成都树德中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


树德中学高 2012 级第五期期中考试数学试题(理科)
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:王世清 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上.) 1.已知 I 为实数集, P ? {x | x2 ? 2x ? 0}, Q ? {y | y ? 2x ? 1

, x ? R}, 则P ? (CI Q) =( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} 2. 下列说法错误的是( B. {x | 0 ? x ? 1} D. ? )

) A.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
2

B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C.若 y=f(x)为偶函数, 则 y=f(x+2 )的图象关于直线 x ? ?2 对称.
D.“a=1”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间 ?1,? ?? 上是增函数”的充要条件.
2

3.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6



D , A B 4. 如 图 , 在 四 边 形 A B C 中 ?

? ? ??

? ? ? ? D, C 已 知

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? 11 ??? ,且cos ? = , CP ? 3PD, , A B ? 8 , A? D 5 与 , A 的夹角为 B A ? D 20 ??? ? ??? ? 则 AP ? BP =( )
A.2 D P B. 4 C C. 6 D. 10

A

B

5. 从 8 名学生 (其中男生 6 人, 女生 2 人) 中按性别用分层抽样的方法抽取 4 人参加 4 ? 100 米接力比赛,若女生不排在最后一棒,则不同的安排方法种数为 ( ) A.1440 B.960 C.720 D.360 6. 函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? y=f(x)的图象向右平移 的单调增区间为( A. ? k? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,将

?
4

个单位后得到函数 y= g(x)的图象. 则函数 y=g(x) )

? ?

?
6

, k? ?

??

,k ?Z 3? ?

B. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 6 2? ?

?

?

??

1 / 10

C. ? k? ? , k? ? ,k ?Z 6 3 ? ? ? 7.已知双曲线

?

?

2? ?

D. ? k? ? , k? ? ,k ?Z 6 6 ? ? ?

?

?

5? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物 a 2 b2


线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(

y2 ?1 3 x2 y 2 ? ?1 C. 4 12
A. x ?
2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 9 x2 y 2 ? ?1 D. 9 27

8.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= 前 100 项和为 ( 100 A. 101 ) 99 B. 101 99 C. 100

? 1 ? an?an+1? , ,n∈N* 则数列?a a ?的 2 ? n n+1?

101 D. 100

/ 9. 函数 f ( x) 在 R 上的导函数是 f ( x) ,若 f ( x) ? f (4 ? x), 且当 x ? (??, 2) 时,

( x ? 2) ? f / ( x) ? 0. 角A、B、C 是锐角 ?ABC 的三个内角,下面给出四个结论: 7? 7? ) ? f (cos ) ; (1) f (sin (2) f (2log2 3) ? f (log0.5 0.1) ; 3 4
(3) f (sin A ? sin B) ? f (cos A ? cos B) ; (4) f (sin B ? cos B) ? f (cos A ? sin C ) 。 则上面这四个结论中一定正确的有( A.1 B. 2 C. 3 )个 D. 4

?2|x ?1| ? 1,0 ? x ? 2 ? 10.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? 1 ,则 f ( x ? 2), x ? 2 ? ?2 函数 g ( x) ? xf ( x) ? 1 在 [?6,??) 上的所有零点之和为 ( ) A. ? 32 B. 32 C.16 D.8
二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷相应的横线上.) 11. 设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi, 若
2

z2 为实数,则实数 b 等于 z1

3 2 2 12.已知 a, b ? R ,若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 160,则 a ? b 的最小值
6

b x

为 __.

.

13. 已 知 函 数 f ( x)? l gx 若 , ? 0 a? 且 b , f ( a? )

f, ( b则 ) . a ? 2b 的 取 值 范 围 是 _

2 14.已知开口向上的二次函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? c,(a, b, c ? R) 满足 f (1) ? 0 ,且关于 x 的

方 程 f ( x) ? 2 x ? 3b ? 0 的两个实数根分别在区间(0,1)和(1,2)内。若向量

?? ? ?? ? m ? (1, ?2), n ? (a, b) ,则 m ? n 的取值范围为 15. 函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,其图像是连续不断的,若存在非零实数 k 使得 k称 f ( x ? k ) ? kf ( x ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 称 y ? f ( x) 是一个“ k 阶伴随函数”, 函数 y ? f ( x) 的“伴随值”。下列结论正确的是 _
2 / 10

① k ? ?1 是任意常数函数 f ( x ) ? c ( c 为常数)的“伴随值”; ② f ( x) ? x 2 是一个“ k 阶伴随函数”; ③“1 阶伴随函数” y ? f ( x) 是周期函数,且 1 是函数 y ? f ( x) 的一个周期; ? ④ f ( x ) ? sin(?x ? ) 是一个“ k 阶伴随函数”; 3 ⑤任意“ k (k ? 0) 阶伴随函数” y ? f ( x) 一定存在零点。
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 16.(本小题满分 12 分)在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c) ,

??

? ?? ? B n ? (2 cos 2 ? 1, cos C ) ,且 m / / n 。 2
(1)求角 B 的大小;

c o s ( (2) 设 f (x) ?

? x ?) s i n ?
? ?? ? 2?

B 2

,( ? x 0 ? ) ,? () 且 f x

的相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

求 f ( x)在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中的概率

1 1 与 p ,且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p ;
分别为 (2)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

3 / 10

18.( 本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱

形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E、F 分别是 BC、PC 的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥平面 PAD; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 求二面角 E-AF-C 的余弦值.
6 , 4

19. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且

a3 ? 2是a2与a4 的等差中项。
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ? an log 1 an, Sn ?b 1 ?b 2 ? ? ?b n , 求使 S n ?n ? 2
2 n ?1

? 50 成立的正整数 n 的最小

值。

4 / 10

x2 y2 3 ,以 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2 原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1) 求椭圆 C 的方程;
20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C:
(2) 设斜率不为零的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B , 已知点 A 的坐标为 ( ? a, 0 ) , 点 D(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 DA ? DB ? 4 ,求 y0 的值

??? ? ??? ?

(3) 若过点 M(1,0)的直线与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, 如果 ?

3 2 ? OP ? OQ ? ? (O 5 9

为坐标原点),且满足 | PM | ? | MQ |? t PM ? MQ ,求实数 t 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0)



(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,问: 时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x ) ? x ? x [
3 2

m 在什么范围取值

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2 p ? 2e ?3, (Ⅲ) 当 a ? 2 时, 设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ? 若在区间 [1, e] 上至少存在一个 x0 , x
使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

5 / 10

树德中学高 2012 级第五期期中考试数学试题(理科)参考 答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷相应的横线上.) 11. 2 12. 4 . 13._ (3, ??) __. 14. (?

10 1 ,? ) 9 2

15. _ ①④⑤ ._____

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 m / / n ,得 b cosC ? (2a ? c) cos B, ? b cos C ? c cos B ? 2a cos B.

??

?

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ? 1 .
2

由正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B, -----------------4 分 又 B ? C ? ? ? A, 又 B ? (0, ? ),? B ?

? sin A ? 2 sin A cos B.

?
3

. ------------------6 分

(2) f ( x) ? cos(? x ? ? ) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? 3 cos ? x ? 3 sin(? x ? ? ) 6 2 2 6

), --------------9 分 6 ? ? 7? ? 1 ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 当 x ? [0, ]时,2 x ? ? [ , 2 6 6 6 6 2
由已知

2?

? ?

? ? ,? ? ? 2.

?

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?

因此,当 2 x ? 当 2x ?

?

6

?

?

2

, 即x ?

?

6

时,

f ( x)取得最大值 3;
3 2
---------------12 分

?
6

?

7? ? ,即x ? 时 6 2
2

f ( x)取得最小值 ?
2

17.(本小题满分 12 分) 解: (1)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为 事件 B,由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ? 所以乙投球的命中率为

1 3 5 ,解得 p ? 或 (舍去) , 16 4 4

3 4

--------------------------4 分

1? 1 , (2) ? 可能的取值为 0,1,2,3,故 P?? ? 0? ? P A P B ? B ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? 4? 32 2 1 ?1? 3 1 1 7 , 1 P ?? ? 1? ? P ? A? P B ? B ? C2 P ? B? P B P A ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?4? 4 4 2 32

? ??

?

2

?

?

? ? ? ?

P?? ? 3? ? P? A?P?B ? B ? ?

1 ? 3? 9 , ?? ? ? 2 ? 4? 32

2

P?? ? 2? ? 1 ? P?? ? 0? ? P?? ? 1? ? P?? ? 3? ?

? 的分布列为

15 。 32
2 3

?
P

0

1

1 32

7 32

15 32

9 32

--------------------------------------------------10 分
6 / 10

? 的数学期望 E? ? 0 ?

1 7 15 9 ? 1? ? 2? ? 3? ?2 32 32 32 32

12 分

18.( 本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可 得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD.因为 PA⊥平面 ABCD, AE ? 平面 ABCD, 所以 PA⊥AE.而 PA ? 平面 PAD, AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD …………………5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所 示的空间直角坐标系 A-x yz,设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) , D(0,2,0) ,P(0,0,a) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 a ,所以 PB =( 3 ,-1,-a) ,且 AE =( 3 , ,, ) 2 2 2
3 4?a
2

0,0)为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 θ, 由 sinθ=|cos< PB , AE >|= | PB ? AE | = | PB | ? | AE | a=2. ……….…8 分 所以 AE =( 3 ,0,0), AF =(

3

=

6 4

解得

3 1 , ,1) 2 2

? 3 x1 ? 0, ?m ? AE ? 0 ? 设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1),则 ? ,因此 ? ? 3 1 ? x1 ? y1 ? Z1 ? 0 ? ?m ? AF ? 0 ? 2 2

取 z1=-1,则 m=(0,2,-1), 又 BD =(- 3 ,3,0) ,

…………

10 分
2?3 15 . ? 5 5 ? 12

因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法向量, 所以 cos<m, BD >= m ? BD ? | m | ?BD

15 .??12 分 5 19. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q .
因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 可得 a3 ? 8 ,? a2 ? a4 ? 20 ,所以

又数列 ?an ? 单调递增, 所以 q ? 2 , a1 ? 2 , ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n. 6分

1 2 ? ? q ? 2, ? ?a1q ? 8, ?q ? , 解之得 或 ? ? 2 ? 3 ? a1 ? 2 ? ?a1q ? a1q ? 20, ? a ? ? 1 32.

??4 分 ??

( Ⅱ ) 因 为 bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n , 所 以 Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n ) ,
2

2Sn ? ?[1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ,
2 3

??8 分 ??10 分
n ?1

两式相减,得 Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

?Sn ? n ? 2n?1 ? 50 即 2n ?1 ? 2 ? 50 ,即 2n?1 ? 52.
易知:当 n ? 4 时, 2
n ?1

? 2 ? 32 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2
5

? 26 ? 64 ? 52.
??12 分

故使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 20. (本小题满分 13 分)解: (1)由题可得:e=
7 / 10
c 3 ? a 2



∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,

0?0?

2
2 2 2

=b,解得 b=1.再由 a =b +c ,可解得:a=2. x2 ? y2 ? 1 4 ∴ 椭圆的标准方程为 .???????????4 分 (2)由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为 ,则直线 l (x3 , y3 ) ,直线 l 的斜率为 k(k ? 0)



12 ? 12

? y ? k ( x ? 2) 的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? 由方程组消去 y 并整理, ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 4 得 16k 2 ? 4 ∴ ∴ (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 ?2 x3 ? , 1 ? 4k 2 2 2 ? 8k 2 4k 则 E 的坐标为 (? 8k 2 , 2k 2 ) x3 ? , 从而y3 ? , 设线段 AB 的中点为 E , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k

? K ? 0 时,? 线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?
y0 ?


2k 1 8k 2 ? ? ( x ? ) 令 x=0,解得 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

6k 1 ? 4k 2

由 DA ? (?2, ?y0 ), DB ? ( x3 , y3 ? y0)
??? ? ??? ? ?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k DA ? DB ? ?2 x3 ? y0 ( y3 ? y0)= ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

??? ?

??? ?

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 )2
整理得 7k ? 2, 故k ? ?
2

14 2 14 所以y0 = ? 7 5

?????? 8 分

3 2 ??? ? ???? ? ? OP ? OQ ? (3)当直线的斜率为 0 时, =-4 [ 5 , 9 ],不成立; ∵ 直线的斜率不为 0,设 P(x1,y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0), 直线的方程可设为:x=my+1, x2 ? y2 ? 1 2 2 代入椭圆方程 4 得:(m +4)y +2my-3=0 ?2m ?3 2 2 ∴ y1+y2= m ? 4 ,y1y2= m ? 4 ,
4 ? 4m 2 1 ? 4m 2 ??? ? ???? 2 2 而 x1x2=(my1+1)(my2+1)= m ? 4 ,∴ OP ? OQ =x1x2+y1y2= m ? 4 , 3 1 ? 4m 2 2 1 ? ? 2 2 即 5 ≤ m ? 4 ≤ 9 ,解得 2 ≤m ≤1; ???? ? ???? ? PM ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? m 2 ? 1 ? y1 MQ ? ( x2 ? 1) 2 ? y2 2 ? ? m 2 ? 1 ? y2 ∵ ; ; ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 又∵ | PM | ? | MQ |? t PM ? MQ ? t | PM | ? | MQ | , y ?y 1 1 1 1 1 1 ? ? ???? ? ? t ? ???? ( ? )? ? 2 1 2 2 | MQ | | PM | m ? 1 y1 y2 m ? 1 y1 ? y2 ∴
? 1 m ?1
2

?

? ( y2 ? y1 ) 2 ? 4 y1 y2 y1 ? y2

?

4 m2 ? 3 4 ? 3 3 m2 ? 1 1 ?

4 2 m2 ? 3 ? 1? 2 3 m ?1 , m2 ? 1

8 / 10

1 4 2 4 21 2 ∴ 当 2 ≤m ≤1 时,解得 3 ≤t≤ 9 .???????13 分
21. (本小题满分 14 分)解: (Ι )由

f ?( x ) ?

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ;??????4 分 (Ⅱ)由

a (1 ? x ) x

( x ? 0) 知:

f ?(2) ? ?

a ? 1 得 a ? ?2 2
f ' ? x? ? 2 ? 2 x.

∴ f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 ,

????????5 分

m ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x 2 2 ? ?

∴ g '( x) ? 3x ? (4 ? m) x ? 2 ,
2

∵ 函数 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值,

∴ g ?( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 又∵函数 g ?( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ?(t ) ? 0 ∴? ? ? g ?(3) ? 0 由 所以

g ?(0) ? ?2 ? 0 ,
????7 分

g ?(t ) ? 0得m ?

H (t ) min 37 m?? ; 3 37 37 ? m ? ?9 所以当 m 在 ( ? ,?9) 内取值时,对于任意 t ? [1,2] ,函数 综上得: ? 3 3 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? f ?( x)] ,在区间 (t ,3) 上总存在极值 . ???9 分 2 (Ⅲ)? a ? 2,? f ( x) ? 2 ln x ? 2 x ? 3. 令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ,则
F ( x) ? ( p ? 2) x ? p ? 2e p 2e ? 3 ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ? px ? ? ? 2 ln x . x x x

2 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t ) ? ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减, t t ? H (2) ? ?9 ;∴ m ? ?9 ,由 g ?(3) ? 27 ? 3(4 ? m) ? 2 ? 0 ,解得

p 2e ? 0,? ? 2 ln x ? 0 ,从而 F ( x) ? 0 , x x 所以,在 [1, e] 上不存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ;????????????????11 分
①. 当 p ? 0 时,由 x ? [1, e] 得 px ? ②. 当 p ? 0 时, F ?( x) ?

px2 ? 2 x ? p ? 2e ,? x ? [1, e],? 2e ? 2 x ? 0 , x2 px2 ? p ? 0, F ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增。
? F ( x) max ? F (e) ? pe ? p ?4 e

故只要 pe ?

p 4e ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 e e ?1 4e ( 2 ,?? ) p 综上所述, 的取值范围是 e ? 1

??????????????14 分

9 / 10

10 / 10


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