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东城区2013-2014学年高一年级第一学期期末教学统一检测数学试题及参考答案(word)


东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高一数学
一 题号 分数 1-10 二 11-16 17 18 三 19 20 21

2014.1

总分

第一部分(选择题 共 30 分)
一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四

个选项中,选出符合题目 要求的一项并填在表格中. 题号 答案 1. 符号“ ? U A ”可表示为 A. x x ? U 且x ? A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

?

?

B. x x ? U 且x ? A

?

?

C. x x ? U

?

?

D. x x ? A

?

?

2. sin 43? cos13? ? cos 43? sin13? 的值等于 A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

3. 下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A. y ? x ? 1 B. y ? ?2 x
2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

1 4. 已知 tan(? ? ? ) ? ? ,则 2
A.

cos( ? ? )+ cos ? 2 的值是 2cos ? ? sin ?
1 3
0.3

?

1 5

B.

C.

3 5

D. 1

5. 三个数 a ? 0.32 , b ? log 2 0.3, c ? 2

之间的大小关系是

A. b < c < a
2

B. c < b < a

C. b < a < c

D. a < c < b

6. 函数 y ? ln x 的图象可能是
y

y

y

y

O 1

x

O 1

x

O 1

x

O 1

x

A
x

B

C

D

7. 函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是 A. ? ?2, ?1? B. ? ?1, 0 ? C. ? 0,1? D. ?1, 2 ?

8. 要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将 y ? sin 2 x 的图象

? 个单位长度 6 ? C. 向右平移 个单位长度 3
A. 向右平移

? 3

? 个单位长度 6 ? D. 向左平移 个单位长度 3
B. 向左平移

9. 汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是 a cm,宽是 b cm,高是 c cm,汽车开始行驶时 油箱内装满汽油,已知汽车的耗油量是 n cm3/km,汽车行驶的路程 y (km)与油箱剩余油 量的液面高度 x (cm)的函数关系式为

ab (c ? x)(0 ? x ? c) n c C. y ? (n ? x)(0 ? x ? c) ab
A. y ?

B. y ?

n (c ? x)(0 ? x ? c) ab ab D. y ? (n ? x)(0 ? x ? c) c

? 1 x ?( ) , x ? 0, 10. 设函数 f ( x) ? ? 2 若 f (a ) >1,则 a 的取值范围是 3 ? ? x , x ? 0.
A.(-1,1) B. (?1,??) C. (??, ?2) ? (0, ??) D. (??,0) ? (1, ??)

第二部分(非选择题 共 70 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在题中横线上.

11. 已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2} ,则 A ? B ? ___________. 12. 若角 ? 的终边经过点 P(m, ?3) ,且 cos? ? ?

4 ,则 m 的值为 5



13. 求值: (2 )

1 4

?

1 2

? log 3
2

1 = 27



14. 已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (?1)=

. .

15. 设当 x = q 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 取得最大值,则 cos? ?

16.给定 k ? N ? ,设函数 f : N ? ? N ? 满足:对于任意大于 k 的正整数 n , f ? n ? ? n ? k . (1)设 k ? 1 ,则 f (2014)= ; .

(2)设 k ? 3 ,且当 n ? 3 时, 2 ? f ? n ? ? 3 ,则不同的函数 f 的个数为

三、解答题:本大题共 4 个小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 9 分)
x 已知:函数 f ( x) ? lg(3 ? 9) 的定义域为 A ,集合 B ? x 2 x ? a ? 0, a ? R

?

?.

(Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)求 A I B .

18. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间.

19. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x . x ?1

(Ⅰ)求 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 的值; (Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数 f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数.

20. (本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x + (I)当 x ?

?
3

)+1 .

4 ? 时,求 f ( x) 值; 3

(II)若存在区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b ),使得 y ? f ( x) 在 [a, b] 上至少含有 6 个零 点,在满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

21.(本题满分 8 分) 已知函数 f ? x ? 的自变量的取值区间为 A,若其值域区间也为 A,则称 A 为 f ? x ? 的保 值区间. (I)求函数 f ? x ? ? x 形如 ? n, ?? ?? n ? R ? 的保值区间;
2

(II)函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? 是否存在形如 ? a, b? ? a ? b ? 的保值区间?若存在,求出 x

实数 a, b 的值,若不存在,请说明理由.

东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高一数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在题中横线上. 题号 答案 11 12 13 14 15
? 3 2

16 2013; 8

{?1,0,1, 2, 4}

?4

3

2 3

?3

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 9 分) 解: (Ⅰ) Q 3 ? 9 ? 0 , ……………………2 分
x

? x ? 2 . ? A ? ? x | x ? 2? .
(Ⅱ) B ? ? x x ?

……………………5 分

? ?

a , a?R 2

?.

……………………6 分

当a ? 4 时 , A I B=? ;……………………8 分
? 当a ? 4 时 , A I B ? ? x | 2 ? x ? ?
18. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?
2

a? ?. 2?

……………………9 分

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . ……4 分 4? ?

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 当 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

2? ? ? .……………………6 分 2

? 2 k? ?

?

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 时, 函数 f ( x) 单调递增. . ………………9 分 8 8 3? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z) .……………………10 分 8 8
19. (本题满分 10 分) (Ⅰ)解: f (1 ? x) ? f (1 ? x) ?

2

(k ? Z ) ,……………………8 分

1? x 1? x ? 1 ? x ?1 1 ? x ?1 1? x 1? x ? ? ?2. x x

???????2 分 ???????4 分

(Ⅱ)证明:设 x1,x2 是 (1 , ? ?) 上的两个任意实数,且 x1 ? x2 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

x2 x ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

???????5 分

?

x2 ( x1 ? 1) ? x1 ( x2 ? 1) x1 ? x2 ? . ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

???????7 分

因为 1 ? x1 ? x2 , 所以 x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 .所以 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) . 所以 f ( x) 在 (0, ? ?) 上是减函数. 20. (本题满分 9 分) 解: (1)当 x ?

x1 ? x2 ? 0. ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
???????9 分

???????10 分

4 4? ? ? 时, f ( x) ? 2sin(2 ? + )+1=2sin(3? )+1=2sin ? +1=1. 3 3 3

……………………………………………………………………………………4 分 (2) f ( x) ? 0 ? sin(2 x ?

1 ? 7 ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z ,即 f ( x) 的零点 3 2 4 12 ? 2? 相离间隔依次为 和 , …………7 分 3 3
故若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上至少含有 6 个零点,则 b ? a 的最小值为

?

2?

2? ? 7? . ……………………9 分 ? 3? ? 3 3 3

21. (本题满分 8 分) 解(I)Q f ( x) ? x ? 0, ? n ? 0 ,又 f ( x) ? x 在 ? 0, ?? ? 是增函数, f (n) ? n . ? n ? n .
2 2

2

2

? n ? 0, n ? 1 .

?函数 f ? x ? ? x 2 形如 ? n, ?? ?? n ? R ? 的保值区间有 ? 0, ?? ? 或 ?1, ?? ? .
……………………………………………………………………………………………2 分 (II)假设存在实数 a,b 使得函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? ,有形如 ? a, b? ? a ? b ? 的保值区间, x

?1 ? 1, x ? (0,1), ? ?x 则 a ? 0 . ? g ( x) ? ? …………………………………4 分 ?1 ? 1 , x ? ?1, ?? ? . ? ? x
(1) 当实数 a, b ? (0,1) 时, g ( x) ?

? g (a) ? b 1 , ? 1 在 (0, 1) 上为减函数,故 ? x ? g (b) ? a

?1 ? 1 ? b, ? ?a 即? ? a =b 与 a <b 矛盾. 1 ? ? 1 ? a. ? ?b
故此情况不存在满足条件的实数 a,b. ……………5 分 (2)当实数 a, b ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? 1 ?

? g (a ) ? a, 1 在 ?1, ?? ? 为增函数,故 ? x ? g (b) ? b.

? 1 1 ? ? a, ? 1 1 ? a 即? 得方程 1 ? ? x 在 ?1, ?? ? 上有两个不等的实根,而 1 ? ? x , x x ?1 ? 1 ? b. ? ? b
即 x ? x ? 1 ? 0 无实根.
2

故此情况不存在满足条件的实数 a,b. ……………6 分

(3)当 a ? (0,1) , b ? ?1, ?? ? ,?1 ? ? a, b ? ,而 g (1) ? 0 , 0 ? ? a, b ? . 故此情况不存在满足条件的实数 a,b. …………………………………………7 分 综上所述,不存在实数 a, b 使得函数 g ? x ? ? 1 ? 值区间. …………………………………………8 分

1 ? x ? 0 ? ,有形如 ? a, b? ? a ? b? 的保 x


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