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复数的概念与运算 文科


第二节
一、课标考纲要求

复数的概念与运算

1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念 (2)理解复数相等的充要条件 (3)了解复数的代数表示法及其几何意义 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算 (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

二、基础知识梳理
1.复数的基本概念 (1).概念:形如 a ? bi ( a,b ? R )的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用 C 表示. (2).虚数单位为 i :① i ? ?1 .② i 和实数在一起,服从实数的运算律
2

(3)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面, x 轴称为实轴, y 轴称为虚轴,实轴上的点都表 示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. (4).复数的几种形式: ①.代数形式: z ? a ? bi ( a,b ? R ) ,其中 a 叫实部记作 Re(z), b 叫虚部记作 Im(z); ②几何形式: 将 ( a, b) 作为复平面内点的坐标,那么 z 与复平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数 集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示, 点称为复数的几何形式. 即 z ? ( a, b) ③将(a,b)作为向量的坐标, 复数 z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式,

Z 称为向量形式.即 z ? O (5).复数的分类: ①.实数 ? b = 0,即 z ? a ②.虚数 ? b ? 0 ③.纯虚数 ? a = 0 且 b ? 0 ,即 z ? bi (6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数 z 的共轭
复数用 z 表示,即 z ? a ? bi ( a,b ? R ),则 z ? a ? bi ( a,b ? R ) (7).两个复数相等的定义:

?? ?

a ? bi ? c ? di ? a ? c 且 b ? ( 其中 a,b,c,d, R) d ? ;特别地 a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0
2.复数的基本运算 (1).复数的运算法则: ①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,特别注意:复数的除法运算,运算结果 可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数; 即: ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i ;

? a ? bi ? ? ?c ? di ? ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2
②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.

(2).运算定律: ①复数的加法满足交换律、结合律; 即 ?z1 , z2 , z3 ? C, 都有 z1 ? z2 ? z2 ? z1;

? z1 ? z2 ? ? Z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? ? Z3 ? z1 ? z3 ? z2 ? z3

②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律; 即 ?z1 , z2 , z3 ? C, z1 ? z2 ? z2 ? z1; (3)距离:①模: z ?

? z1 ? z2 ? ? Z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? ;

a 2 ? b 2 ; ②复平面内的两点间距离公式: d ? z 1 ? z 2 .

3、复数的性质 (1). 共轭复数的性质:
z?z
z ? z ? 2a , z ? z ? 2bi ( z ? a + bi)

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

z ? z ?| z | 2 ?| z | 2 z1 ?z 2 ? z1 ? z 2

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

? z1 ? ? z2 ?

? z1 ?? ( z2? 0) ? z 2 ?

z n ? ( z) n

特别地: z? R? z? z ; 非零复数 z 是纯虚数 ? z? z ? 0 注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质

z ? z;
2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
2 2

z z1 ? 1 ( z2 ? 0); z2 z2

zn ? z ;
n

z ? 1 ? z ? z ? 1;

特别地: z ? z ? z 2 ? z ? z ? z (3).复数的乘方:① z n ? ?z??z(n ? N ? ) ; z ?? z... ? ?
n

②对任何 z , z1 , z 2 ? C 及 m, n ? N ? 有 z m ?z n ? z m?n , ( z m ) n ? z m?n , ( z1?z 2 ) n ? z n ?z n 1 2
1 1

注: ①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式, 否则会得到荒谬的结果, i 2 ? ?1,i 4 ? 1 若由 i 2 ? (i 4 ) 2 ?1 2 ? 1 如 就会得到 ?1 ? 1 的错误结论. (4).绝对值不等式: 设 z 1 ,z 2 是不等于零的复数,则 ① z1 ? z 2 ? z1? z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,且? ? 0) ,右边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) . ② z1 ? z 2 ? z1?z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) ,右边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) . 注: z 1 z 2 ? z 2 z 3 ? z 3 z 4 ??? z n?1 z n ? z 1 z n . 4.复数常用的结论: (1). i 周期为 4; 即 i
n

????? ????? ????? ? ?

???????

?????

4 n?1

? i, i

4n?2

? ?1, i

4 n ?3

? ?i, i

4n

? 1 ; i n ?i n?1 ?i n?2 ?i n?3 ? 0, (n ? Z )

(2). (1 ? i ) ? ?2i,
2

1? i ? i, 1? i

1? i ? ?i 1? i

1 3 (3).若 ? 是 1 的立方虚数根,即 ? ? ? ? i ,则? 3? 1,? 2 ? ?, ? ? 1 ,1 ? ? ?? 2 ? 0,? n ?? n?1?? n?2 ? 0(n ? Z ) 2 2 ? 5.易错点 (1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.

注:①若 z1 , z 2 为复数,则 1 ? 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? ? z 2 .(×)[ z1 , z 2 为复数,而不是实数]
2 ? 若 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z 2 ? 0 .(√)

②若 a, b, c ? C ,则 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 是 a ? b ? c 的必要不充分条件. (当 (a ? b) 2 ? i 2 , (b ? c) 2 ? 1, (c ? a) 2 ? 0 时,上式成立) (2).在实数集成立的 | x |? x 2 .当 x 为虚数时,| x |? x 2 ,所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复 数集中解一元二次方程: 在复数集内解关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 时,应注意下述问题: ①当 a, b, c ? R 时,若 ? >0,则有二不等实数根 x1, 2 ? 若 ? <0,则有二相等复数根 x1, 2 ?
? b ? | ? |i 2a
?b? ? b ;若 ? =0,则有二相等实数根 x1,2 ? ? ; 2a 2a

( x1, 2 为共轭复数).

②当 a, b, c 不全为实数时,不能用 ? 方程根的情况. ③不论 a, b, c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.

三、高考真题在线
题型一、复数的概念 例 1(2007 年山东文科)复数 A. ?2 【答案】B 【解析】 B. 2

4 ? 3i 的实部是 1+2i
C.3 D. 4

4 ? 3i (4 ? 3i)(1 ? 2i ) ? ? 2 ? i 所以实部是 2. 1+2i 5

例 2(2007 广东) 若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 为实数) ,则 b = A. 2 B.
1 2

C. -

1 2

D. -2

【解析】 (1 ? bi)(2 ? i) ? 2 ? b ? (1 ? 2b)i ,而复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,那么由 2 ? b ? 0 且 1 ? 2b ? 0 得 b=2,故选 A。 【答案】A 方法总结:求解复数概念方面的题目,关键在于将复数化为代数形式后,利用相关概念,找到充要条件进 行求解. 过关测试

1.(2006 年福建卷)设 a, b, c, d ? R ,则复数 (a ? bi)(c ? di) 为实数的充要条件是 A. ad ? bc ? 0 B. ac ? bd ? 0 C. ac ? bd ? 0 D. ad ? bc ? 0 .

2.(2005 年北京卷)若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 题型二、复数相等

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2

b 例 3.(2012 高考江苏文科)设 a , ? R , a ? bi ?
【解析】由 a ? bi ? 【答案】8 例 4(2010 年山东文科)已知 A.-1

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 1 ? 2i



11 ? 7i ?11 ? 7i ? (1 ? 2i) 15 ? 15i 11 ? 7i 得 a ? bi ? ? ? ? 5 ? 3i 所以 a ? 5, b ? 3, a ? b ? 8 1 ? 2i (1 ? 2i)(1+ 2i) 5 1 ? 2i

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i
C.2 D.3

B.1

【解析】原式等价于 a ? 2i ? i(b ? i) ? ?1 ? bi ,即 a ? ?1, b ? 2 ,故选 B 【答案】B 方法总结:复数相等问题关键抓住定义,利用实部与实部相等,虚部与虚部相等,建立方程求得相关参数. 复数不能比较大小,当且仅当复数为实数的时候,才能比较大小。 过关测试

3 ? bi ? a ? bi ( a , b 为实数, i 为虚数单位) a ? b =____________. ,则 1? i m ? 1 ? ni ,其中 m,n是实数, i是虚数单位,则 m ? ni ? 4.(2006 年浙江卷)已知 1? i
3.(2012 高考湖北文 12).若 A. 1 ? 2i 题型三、复数的几何意义 例 5(2011 年高考山东卷理文)复数 z ? B.第二象限 【解析】 z ? 【答案】D 例 6(2012 高考北京文 2)在复平面内,复数 C.第三象限 B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 2?i
D.第四象限

3 4 2 ? i (2 ? i) 2 3 ? 4i 3 4 ? ? ? ? i 故坐标为 ( , ? ) ,第四象限. 5 5 2?i 5 5 5 5

10i 对应的点的坐标为 3?i

A.(1 ,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3 ,-1) 【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面,实部虚部的概念.

10i 10i(3 ? i) 30i ? 10i 2 10 ? 30i ? ? ? ? 1 ? 3i ,实部为 1,虚部为 3,对应复平面上的点为(1,3),故 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 9 ? i2 10

选A 【答案】A 方法总结:复数的三种形式间的转化,代数形式 z ? a ? bi ? 复平面内的点 Z (a, b) ? 复平面内的向量

??? ? OZ ? (a, b)
过关测试 5.(2006 北京卷)在复平面内,复数 A.第一象限

1? i 对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

6. (2010 北京文数) 在复平面内, 复数 6 ? 5i, ?2 ? 3i 对应的点分别为 A, B 若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是 A. 4 ? 8i 题型四、复数的模 B. 8 ? 2i C. 2 ? 4i D. 4 ? i

例 7.(2011 辽宁卷) a 为正实数, i 为虚数单位,

a?i ? 2 ,则 a = i
D.1

A.2 【解析】?

B. 3

C. 2

a?i ?|1 ? ai |? 1 ? a 2 ? 2 , a ? 0 ,故 a ? 3 . i

【答案】 B : 例 8.(2010 江苏卷)设复数 z 满足 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_________. 【解析】考查复数运算、模的性质;法 1:先求 z ?

6 ? 4i ? 2i ,故 z ? 2 法 2:由复数模的性质由 2 ? 3i

z (2 ? 3i) ? 2(3 ? 2i) , 2 ? 3i 与 3 ? 2i 的模相等,得 z ? 2 .
【答案】 :2 方法总结:复数的模,常伴随着复数的运算,即常规方法是先求出所求复数的代数形式,然后利用复数模 计算公式求解.也可以利用复数模的性质,抓不变量,找等量关系进行求解. 过关测试 7. (2008·广东)已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是

, A. (1 5)

, B. (1 3)

C. (1 5) ,

D. (1 3) ,

8.(2010 山东质检)设复数 z 满足关系式 z ? z ? 2 ? i ,则 z 等于 A. ?

3 ?i 4

B.

3 ?i 4

C.

3 ?i 4

D. ?

3 ?i 4

题型四、复数的运算

例 9. (2012 高考安徽文)复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z = A. ?1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? 3i D. 1 ? 2i

【解析】 ( z ? i )i ? 2 ? i ? z ? i ? 【答案】B

2?i ? 1? i i

例 10.(2012 高考真题山东文)若复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z 为 A. 3 ? 5i 【解析】 z ? 【答案】A 方法总结:复数的代数运算是重点,是每年必考内容之一,复数代数形式的运算:①加减法按合并同类项 法则进行;②乘法展开、除法须分母实数化.③乘方运算时,若次数较低可以直接计算,若次数较高时常 常隐含着周期,利用周期进行转化.如: i 的周期为 4.运算结果都必须为复数的代数形式,因此,一些复 数问题只需设 z? a? b ( ab R)代入原式后,就 可以将复数问题化归为实数问题来解决. i ,? 过关测试 9.(2012 高考广东文)设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i
n

B. 3 ? 5i

C. ?3 ? 5i

D. ?3 ? 5i

11? 7i (11? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i .故选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

3 ? 4i ? i C. 4 ? 3i

D. 4 ? 3i

10.(2102 高考福建文)复数 (2 ? i) 2 等于 A. 3 ? 4i 题型五:共轭复数 B. 5 ? 4i C. 3 ? 2i D. 5 ? 2i

例 11(2012 高考新课标文)复数 z ? A. 2 ? i 【解析】∵ z = 【答案】D

?3 ? i 的共轭复数是 2?i B. 2 ? i C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

?3 ? i = ?1 ? i ,∴ z 的共轭复数为 ?1 ? i ,故选 D. 2?i

例 12(2008 山东文科)设 z 的共轭复数是 z ,且 z ? z ? 4, z ? z ? 8 ,则 A.1 B. ?i C.±1

z 等于 z
D ?i

【解析】本题考查共轭复数的概念、复数的运算,可设出复数的代数形式,由 z+ z =4

z z (2 ? 2i)2 则 z ? 2 ? bi, z ? 2 ? bi ,由 z ? z ? 8 得 4 ? b ? 8 ,则 b ? ?2 , ? ? ? ?i z 8 8
2

2

【答案】D 方法总结:法 1:利用共轭复数的定义,常先计算出 z? a? b 的形式,再用定义得到 z ? a? bi ,最后直接计 i 算相关问题,法 2:共轭复数的性质解题

过关测试 11.(2012 高考湖南文)复数 z ? i(i ? 1) ( i 为虚数单位)的共轭复数是 A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

12.(2011 年高考江西卷)若 z ? A. ?? ? i

?? ?i ,则复数 z ? i
C.

B. ?? ? i

??i

D. ? ? i

题型五、复数与其它知识的综合 例 13:(2012 高考新课标理 3)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为 ?1 ? i

p1 : z ? 2
A. p2 , p3 【解析】因为 z ?

p2 : z 2 ? 2i
B. p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为1 ? i
C. p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
D. p? , p?

2 2(? 1? i ) ? ? ?1 ? i ,所以 z ? 2 , z 2 ? (?1 ? i)2 ? 2i ,共轭复数为 ?1 ? i (? 1? i )( 1 i ) ? ?

z ? ?1 ? i, z 的虚部为 ?1 ,所以证明题为 p2 , p4 ,故选 C.
【答案】C 例 14:(2012 高考陕西文科)设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

b 为纯虚数”的 i

? 【解析】 ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 , 而复数 a ?
是纯虚数,故选 B. 【答案】B

b b ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0且b ? 0 , ab ? 0 ? a ? ? i i

方法总结:复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景,利用其它章节的知识来来解决.关键在于知 识的综合性和关联性. 过关测试
2 14.(2007 年山东)若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则使 z ? ?1 的 ? 值可能是

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

四、2014 权威预测 复数的重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的复数的四则运算, 复数的概念及其运算是高 考命题热点,从近几年高考试题来看,主要考查复数的概念及其运算,难度不大,常以选择、填空题出现, 但在高考试卷中属于必考题,应引起注意。复数的概念,搞清楚实部与虚部, i =-1,共轭复数等概念, 及复数和运算
2

六、挑战高考满分

1.(2012高考浙江文2)已知i是虚数单位,则 A. 1 ? 2i 2.(2012 高考辽宁文 3)复数 A. B. 2 ? i

3?i = 1? i
C. 2 ? i D. 1 ? 2i

1 1 ? i 2 2

1 ? 1? i 1 1 B. ? i 2 2

C. 1 ? i
?

D. 1 ? i
2

3.(2012 高考江西文 1)若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z 2 ? z 的虚部为 A .0 B . ?1 C.1 D.-2

4.(2102 高考北京文 2)在复平面内,复数 A. (1 ,3) B.(3,1)

10i 对应的点的坐标为 3?i
C.(-1,3) D.(3 ,-1)

5.(2010 全国Ⅰ 新卷文 3)已知复数 z ?

1 3 ?i ,则 = 2 z (1 ? 3i)
C. 1 D. 2

A.

1 4

B.

1 2

6. (2011?江西文)若 ( x ? i)i ? y ? 2i, x, y ? R, 则复数 x ? yi ? A. ?2 ? i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

7. (2006 全国卷 I)如果复数 (m2 ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? A. 1 B. ?1 C. 2 . D. ? 2

8.(2009 福建卷文)复数 i 2 (1 ? i) 的实部是

9. 2011 上海文) 关于 x 的不等式 mx2 ? nx ? p ? 0(m, n, p ? R) 的解集为区间 (?53, 2) , ( 则复数 m ? ni 所 对应的点位于复平面内的第________象限. 10.(2006年湖北)设 x, y 为实数,且

x y 5 ? ? ,则 x ? y ? ________________ 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

11.(2011 上海 19)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位), 复数 z2 的虚部为 2, z1 ? z2 是实数, 且 求 z2


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