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2012年高考试题+模拟新题分类汇编(数学理)N 选修4系列


N 选修 4 系列 N1 选修 4-1 几何证明选讲

22.N1[2012· 辽宁卷] 如图 1-8,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两 点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.

图 1-8 22.证明:(1)由 AC 与⊙O′相

切于 A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, AC AB 所以△ACB∽△DAB.从而 = , AD BD 即 AC· BD=AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得 ∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得 AE AD △EAD∽△ABD.从而 = , AB BD 即 AE· BD=AD· AB. 结合(1)的结论,得 AC=AE. 21 A.N1 [2012· 江苏卷]如图 1-7,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的 两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,连结 AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C.

图 1-7 21A.证明:如图,连结 OD,因为 BD=DC,O 为 AB 的中点, 所以 OD∥AC,于是∠ODB=∠C.

因为 OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C. 因为点 A,E,B,D 都在圆 O 上,且 D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,所以∠E 和 ∠B 为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 15.N1[2012· 湖北卷]如图 1-6 所示,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动,AB=4,连结 OD, 过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大值为________.

图 1-6 [解析] 因为 CD= OC2-OD2,且 OC 为⊙O 的半径,是定值,所以当 OD 取最 1 小值时,CD 取最大值.显然当 OD⊥AB 时,OD 取最小值,故此时 CD= AB=2,即为所 2 求的最大值. 15. 2 12.N1[2012· 全国卷] 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, 3 AE=BF= .动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角 7 等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 12.B [解析] 取单位长度为 7 的正方形,(1)直接作出图形可得到结果,如图所示,(2) 建立坐标系,取正方形边长为 7 分单位,计算 7 次可得第 7 次时该点的横坐标与 E 点相同, 根据对称性应选择 14 次.

5.N1[2012· 北京卷] 如图 1-3,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则( ) A.CE· CB=AD· DB B.CE· CB=AD· AB C.AD· AB=CD2 D.CE· EB=CD2 5.A [解析] 本题考查了平面几何圆与三角形,特别是重点考查了射影定理等知识. 对于 A,CE· CB=CD2=AD· DB; 对于 B,CE· CB=CD2≠AC2=AD· AB; 2 对于 C,CD =AD· DB≠AD· AB; 对于 D,ED2=CE· EB≠CD2. 15.N1[2012· 广东卷]如图 1-3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30° ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________.

15. 3 [解析] 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等,解题关键是通过连接 OA,在△AOP 中利用勾股定理求出.连接 OA,则 OA⊥PA,根据圆周角定理得:∠AOP= 60° ,所以 PO=2,OA=1,在直角三角形 AOP 中利用勾股定理得:PA= OP2-OA2= 3. 11.N1[2012· 湖南卷] 如图 1-3,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1, AB=2,PO=3,则⊙O 的半径等于________.

图 1-3 11. 6 [解析] 设圆的半径为 r, 由圆的割线定理可得, PA· PB=(PO-r)(PO+r), 把 PA 2 =1,PB=1+2=3,PO=3 代入求解得 3=9-r ,∴r= 6. 22.N1[2012· 课标全国卷]如图 1-6,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 22.证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, 所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD,连 结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.

(2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF, 所以 GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD. 15 B. N1 [2012· 陕西卷]如图 1-5,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF ⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB=________.

图 1-5 15B. 5 [解析] 本题考查了射影定理的知识,解题的突破口是找出直角三角形内的射 影定理.连接 AD,在 Rt△ABD 中,DE⊥AB,所以 DE2=AE×EB=5,在 Rt△EBD 中,EF ⊥DB,所以 DE2=DF×DB=5. 13.N1[2012· 天津卷] 如图 1-3 所示,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切 线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F, 3 AF=3,FB=1,EF= ,则线段 CD 的长为________. 2

图 1-3 4 13. 3 [解析] 本题考查选修 4-1 几何证明选讲中圆的性质,考查推理论证及运算求解

能力,中档题. 由相交弦的性质可得|AF|×|FB|=|EF|×|FC|, |AF|×|FB| 3×1 ∴|FC|= = =2, |EF| 3 2 AC FC AF 3 8 又∵FC∥BD,∴ = = = ,即 BD= , AD BD AB 4 3 4 由切割定理得|BD|2=|DA|×|DC|=4|DC|2,解之得|DC|= . 3 N2 选修 4-2 矩阵
-1

21 B.N2 [2012· 江苏卷]已知矩阵 A 的逆矩阵 A
- - -

?-4 =? 1 ?2

1

? ,求矩阵 A 的特征值. 1? - ? 2

3 4

21 B.解:因为 A 1A=E,所以 A=(A 1) 1. 1 3 - 4 4 ?2 3?, - - - 因为 A 1= ,所以 A=(A 1) 1=? ? ?2 1? 1 1 - 2 2 ?λ-2 -3? 2 于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? ?=λ -3λ-4. ?-2 λ-1? 令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4.

? ? ?

? ? ?

a 0? 21A.N2 [2012· 福建卷] 设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? ?b 1?(a>0)对应的变换作 用下得到的曲线为 x2+y2=1. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 A2 的逆矩阵. 21A.解: (1)设曲线 2x2+2xy+y2=1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的 像是 P′(x′,y′). ? ?x′=ax, a 0??x? ? ax ? x′ ? 由?y′?=? = ,得 ? ? ?b 1??y? ?bx+y? ?y′=bx+y. ? 又点 P′(x′,y′)在 x2+y2=1 上,所以 x′2+y′2=1,即 a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. ?a2+b2=2, ?a=1, ?a=-1, ? ? ? 依题意得? 解得? 或? ? ? ? ?2b=2, ?b=1, ?b=1.
? ?a=1, 因为 a>0,所以? ?b=1. ? 1 0? 0? ?1 0? 2 ?1 0??1 (2)由(1)知,A=? ?1 1?,A =?1 1??1 1?=?2 1?, 1 0? - 所以|A2|=1,(A2) 1=? ?-2 1?. cosx? ?2 3.C3、N2[2012· 上海卷] 函数 f(x)=? ?的值域是________. ?sinx -1 ? 5 3? 3.? ?-2,-2? [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域,以矩阵为载体,实为考查三角 函数的值域,易错点是三角函数的化简. 1 1 f(x)=-2-sinxcosx=-2- sin2x,又-1≤sin2x≤1,所以 f(x)=-2- sin2x 的值域为 2 2

?-5,-3?. 2? ? 2
N3 选修 4-4 坐标系与参数方程
?x=2pt2, ? 12.N3[2012· 天津卷] 已知抛物线的参数方程为? (t 为参数),其中 p>0,焦 ?y=2pt ?

点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p=________. 12.2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质,考查运算求解能力及转化 思想,中档题. ?x=2pt2, ? p ? ? p ,0 ,E - ,± 6p?, 将参数方程? 化为普通方程为 y2=2px(p>0),并且 F? 2 ? ? ? 2 ? ? y = 2 pt ? p p p - ??2+?± 6p-0?2,解之得 又∵|EF|=|MF|=|ME|,即有 3+ = ?2-? 2?? ? 2 ? p=± 2(负值舍去),即 p=2. 10. N3[2012· 上海卷] 如图 1-1 所示,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的 π 夹角 α= ,若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)=________. 6

图 1-1 1 10. π ? sin? ?6-θ? [解析] 考查极坐标方程, 关键是写出直线的极坐标方程, 再按要求化简.

π 由已知得直线方程为 y=(x-2)tan ,化简得 x- 3y-2=0,转化为极坐标方程为: 6 2 1 ρcosθ- 3ρsinθ-2=0,解得 ρ= = ,所以 π cosθ- 3sinθ -θ? sin? ?6 ? 1 . π ? ? - θ sin?6 ? 15 C. N3 [2012· 陕西卷]直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为________. f(θ)= 15C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识, 解题的突破口为把极坐标化为直角坐 2 标.由 2ρcosθ=1 得 2x=1①,由 ρ=2cosθ 得 ρ =2ρcosθ,即 x2+y2=2x②,联立①②得 y 3 =± ,所以弦长为 3. 2 23.N3[2012· 辽宁卷]在直角坐标系 xOy.圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 23.解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± . 3 ?ρ=4cosθ ? π π 2, ?,?2,- ?. 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? 3? ? 3? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一.

(2)(解法一) ?x=ρcosθ, ? 由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?y=ρsinθ
? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ?y=t ?

- 3≤t≤ 3.
?x=1, ? (或参数方程写成? ?y=y ? (解法二)

- 3≤y≤ 3)

?x=ρcosθ, ? 在直角坐标系下求得弦 C1C2 的方程为 x=1(- 3≤y≤ 3). 将 x=1 代入? 得 ?y=ρsinθ ? ρcosθ=1, 1 从而 ρ= . cosθ ?x=1, ? 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ? ?y=tanθ, π π - ≤θ≤ . 3 3 ?x=2cosφ, ? 23. N3[2012· 课标全国卷]已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数), 以坐标原 ? ?y=3sinφ 点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2, 正方形 ABCD π ? 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为? ?2,3?. (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 23.解:(1)由已知可得 π π A2cos ,2sin , 3 3 π π π π B2cos + ,2sin + , 3 2 3 2 π π C2cos +π,2sin +π, 3 3 π 3π π 3π D2cos + ,2sin + , 3 2 3 2 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. π? π? 21 C. N3[2012· 江苏卷]在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P? 圆心为直线 ρsin? ? 2,4?, ?θ-3? 3 =- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 2 π? 3 21C.解:在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π 2, ?, 因为圆 C 经过点 P? 4? ?

π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. 所以圆 C 的半径 PC=
?x=t+1, ? 9.N3[2012· 湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲 ?y=1-2t ? ? ?x=asinθ, 线 C2:? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. ?y=3cosθ ?

3 [解析] 考查直线与椭圆的参数方程,此类问题的常规解法是把参数方程转化为普 2 通方程求解,此题的关键是,得出两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交 点,化难为易. ?x=t+1, ? x2 ? 曲线 C1: (t 为参数)的普通方程是 2x+y-3=0, 曲线 C2 的普通方程是 2+ a ? ?y=1-2t 9. 3 ? y2 =1,两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交点? ?2,0?,代入曲线 C2,得 9 ?3?2 2 ?2? 0 3 + =1,解得 a= . a2 9 2 16.N3[2012· 湖北卷]在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 ?x=t+1, ? π 立坐标系.已知射线 θ= 与曲线? 2 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中 4 ? ?y=?t-1? 点的直角坐标为________. 5 5? 16.? ?2,2?

?x=t+1, [解析] 曲线? ?y=(t-1)2

π 化为直角坐标方程是 y=(x-2)2,射线 θ= 化为 4 消去 y 得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2

?y=(x-2)2, 直角坐标方程是 y=x(x≥0).联立? ?y=x(x≥0),

=4.所以 y1=1,y2=4.故线段 AB 的中点的直角坐标为?

5 5? x1+x2 y1+y2? , ,即? , 2 2?. ? 2 2 ? ? 21B. N3 [2012· 福建卷]在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 2 3 π? 轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? ,圆 C 的参数方 ? 3 ,2? ?x=2+2cosθ, 程为? (θ 为参数). ?y=- 3+2sinθ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 2 3? 21B. 解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, , 3 ? ? 3 又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1, ?,故直线 OP 的平面直角 3? ? 3 坐标方程为 y= x. 3 2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, , 3 ? ? 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2,

|2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 3+9 π 13.N3[2012· 安徽卷] 在极坐标系中,圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离是 6 ________. [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化,圆的方程,点到直线的距离. ?x=ρcosθ, ? 应用极坐标与直角坐标的互化公式? 将圆 ρ=4sinθ 化为直角坐标方程为 x2 ?y=ρsinθ ? π 3 +(y-2)2=4, 直线 θ= 化为直角坐标方程为 y= x.因为 x2+(y-2)2=4 的圆心为(0,2), 6 3 |2×(-3)| 3 所以圆心(0,2)到直线 y= x,即 3x-3y=0 的距离为 d= = 3. 3 ( 3)3+32
?x=2+t, ?x=3cosα, ? ? 9.N3[2012· 北京卷] 直线? (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交点 ? ? ?y=-1-t ?y=3sinα 个数为________.

13. 3

9.2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系,考查参数方程和普通方程之间的转 化等基础知识,考查数形结合思想的运用. 方程转化为普通方程,直线为 x+y=1,圆为 x2+y2=9, |1| 1 法一:圆心到直线的距离为 d= = <3,所以直线与圆相交,答案为 2. 2 2 2 2 ?x +y =9, ? 法二:联立方程组? 消去 y 可得 x2-x-4=0,Δ>0,所以直线和圆相交, ? x + y = 1 , ? 答案为 2. 14.N3[2012· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和

?x= 2cosθ, ?x=t, C2 的参数方程分别为? (t 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交 ?y= t ?y= 2sinθ 点坐标为________.
14.(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化,突破口是把参数方 程转化为直角坐标方程,利用方程思想解决,C1 的直角坐标方程为:y2=x(x≥0),C2 的直 ?y2=x, ?x=1, ? ? 角坐标方程为:x2+y2=2,联立方程得:? 2 2 解得? 所以交点坐标为(1,1). ?x +y =2, ?y=1, ? ?

图 1-3 15.N3[2012· 江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2x = 0 ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ________. N4(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________. 15. (1)ρ=2cosθ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化; 解题的突破口是利用点 P

的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)的关系转化.由于 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,因此 x2+y2-2x =0 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. ? 3 3 ? - ≤x≤ ? [解析] 考查绝对值不等式的解法,以及分类讨论思想;解题的突 (2)?x? 2 2 ? ? ? 1 破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号,将不等式转化为一般不等式(组)求解.当 x> 时, 2 3 1 3 1 原不等式可化为 2x-1+2x+1≤6,解得 x≤ ,此时 <x≤ ;当 x<- 时,原不等式可化为 2 2 2 2 3 3 1 1 1 -2x+1-2x-1≤6,解得 x≥- ,此时- ≤x<- ;当- ≤x≤ 时,原不等式可化为 1- 2 2 2 2 2 3 3 1 1 - , ?. 2x+2x+1≤6,解得 x∈R,此时- ≤x≤ .综上,原不等式的解集为? ? 2 2? 2 2 24.N3[2012 浙江卷]

?x=2+tcosα, 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l:? (t 为参数)与曲线 C: ?y= 3+tsinα
?x=2cosθ, ? ? (θ 为参数)相交于不同两点 A,B. ? ?y=sinθ

x2 解: 设直线 l 上的点 A, B 对应参数分别为 t1, t2.将曲线 C 的参数方程化为普通方程 + 4 y2=1. π (1)当 α= 时,设点 M 对应参数为 t0. 3 1 x=2+ t, 2 直线 l 方程为 (t 为参数). 3 y= 3+ t 2 x2 2 代入曲线 C 的普通方程 +y =1,得 13t2+56t+48=0,则 4 t1+t2 28 t0= =- , 2 13 12 3 所以,点 M 的坐标为? ,- ?. 13 ? ?13 ?x=2+tcosα, x2 (2)将? 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得(cos2α+4sin2α)t2+(8 3sinα 4 ?y= 3+tsinα

π (1)若 α= ,求线段 AB 中点 M 的坐标; 3 (2)若|PA|· |PB|=|OP|2,其中 P(2, 3),求直线 l 的斜率.

? ? ?

+4cosα)t+12=0, 因为|PA|· |PB|=|t1t2|= 5 得 tan2α= . 16 由于 Δ=32cosα(2 3sinα-cosα)>0,故 tanα= 所以直线 l 的斜率为 5 . 4 5 . 4 12 12 ,|OP|2=7,所以 2 =7. cos2α+4sin2α cos α+4sin2α

N4

选修 4-5 不等式选讲

23.N4 [2012 浙江卷]已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (1)若 a=1,求 A; (2)若 A=R,求 a 的取值范围. 23.解:(1)当 x≤-3 时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,综合得 x≤-3. 1 当-3<x≤ 时,原不等式化为-x+4≥2x+4,综合得-3<x≤0. 2 1 当 x> 时,原不等式为 3x+2≥2x+4,得 x≥2. 2 综上,A={x|x≤0 或 x≥2}. (2)当 x≤-2 时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立. a-1 当 x>-2 时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得 x≥a+1 或 x≤ , 3 a-1 所以 a+1≤-2 或 a+1≤ ,得 a≤-2, 3 综上,a 的取值范围为 a≤-2. 15 A.N4 [2012· 陕西卷]若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 15A. -2≤a≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识,解题的突破口是理解不 等式的几何意义.|x-a|+|x-1|≤3 表示的几何意义是在数轴上一点 x 到 1 的距离与到 a 的 距离之和小于或等于 3 个单位长度, 此时我们可以以 1 为原点找离此点小于或等于 3 个单位 长度的点即为 a 的取值范围,不难发现-2≤a≤4. 24.N4[2012· 辽宁卷]已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; ?x?? (2)若? ?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围. 24.解:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以 当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,- ≤x≤ ,得 a a a=2. x? (2)记 h(x)=f(x)-2f? ?2?,

? ?-4x-3, -1<x<-1, 2 则 h(x)=? 1 ? ?-1, x≥-2,
所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

1,

x≤-1,

24.N4[2012· 课标全国卷]已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5,x≤2, ? ? 24.解:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 1 1 5 21 D.N4 [2012· 江苏卷]已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 21D.证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 2 1 5 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< ,从而 3|y|< + = , 3 6 3 6 6 5 所以|y|< . 18 10.N4[2012· 湖南卷] 不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为________.
? 1 ? x> ? [解析] 考查解含绝对值不等式,此题的关键是转化为|2x+1|>2|x-1|,再 10.?x? ? ? 4 ? 两边平方,轻松求解. 不等式转化为|2x+1|>2|x-1|,两边平方得 ? 1 ? 1 x> ?.6.N4[2012· (2x+1)2>4(x-1)2,化简得 4x>1,解得 x> ,故解集为?x? 湖北卷] 设 4 ? ? 4 ? a+b+c a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 x+y+z =( ) 1 1 A. B. 4 3 1 3 C. D. 2 4

6.C [解析] 由柯西不等式得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=10×40≥(ax+by+cz)2=202, 显然上式应取等号,此时 a=kx,b=ky,c=kz,则 a2+b2+c2=k2(x2+y2+z2)=40k2=10, a+b+c a 1 1 得 k= (舍去负值),所以 = =k= .故选 C. 2 2 x+y+z x 9.N4[2012· 广东卷] 不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为________. 1? ? x≤- ? 9.?x? [解析] 当 x≤-2,不等式化为:-x-2+x≤1,即-2≤1 恒成立,所 2? ? ?

以此时解集为:{x|x≤-2}; 1 当- 2<x≤0 时,不等式化为: x + 2 + x≤1 ,解得 x≤ - ,所以不等式的解集是: 2 1? ? ? ?x -2<x≤- ? . 2? ? ? 当 x>0 时,不等式化为:x+2-x≤1,即 2≤1,此时解集为空集. ? 1 ? x≤- ?. 综上,不等式的解集为:?x? 2 ? ? ? 21C. N4 [2012· 福建卷]已知函数 f(x)=m-|x-2|, m∈R, 且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c 21C. 解:(1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2) 由 (1) 知 + + = 1 ,又 a , b , c ∈ R ,由柯西不等式得 a + 2b + 3c = (a + 2b + a 2b 3c 1 1 1? 3c)? ?a+2b+3c? 1 1 1 ≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. a 2b 3c? ? N5 选修 4-7 优选法与试验设计

2012 模拟题 1.[2012· 韶关调研] 已知圆 O 的半径为 3,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC, 圆心 O 到 AC 的距离为 2 2,AB=3,则切线 AD 的长为________.

1. = 15.

15

图 Z7-4 [解析] 由 r=3,d=2 2得|BC|=2 9-8=2,又 AD2=AB· AC=15,所以 AD

2.[2012· 辽宁省本溪一中、庄河高中期末联考] 如图 Z7-4,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB.⊙O 交直线 OB 于 E,D,连接 EC,CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

图 Z7-4 2.解:(1)证明:连接 OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥OB,又∵OC 是圆的半径, ∴AB 是圆的切线. (2)∵ED 是直径,∴∠ECD=90° ,∴∠E+∠EDC=90° , 又∠BCD+∠OCD=90° ,∠OCD=∠ODC,

∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC, BC BD ∴△BCD∽△BEC,∴ = ?BC2=BD· BE, BE BC CD 1 BD CD 1 又 tan∠CED= = ,△BCD∽△BEC, = = , EC 2 BC EC 2 设 BD=x,则 BC=2x,∵BC2=BD· BE,∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. 3.[2012· 湖北重点中学联考] 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 ? ?x=cosα, π θ+ ?+m=0,曲线 C2 的参数方程为? 线 C1 的极坐标方程为 ρsin? (0<α<π),若曲 ? 6? ?y=sinα ? 线 C1 与 C2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是________. 1? 4. ? ?-1,-2? 考查. π? C1 的极坐标方程为 ρsin? ?θ+6?+m=0,化为普通方程是 3y+x+2m=0,
? ?x=cosα, 曲线 C2 的参数方程为? 化为普通方程是 x2+y2=1(y>0),画出图象可知曲线 ?y=sinα, ? 1 -1,- ?. C1 与 C2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是? 2? ?

[解析] 本题主要考查极坐标的基本运算.属于基础知识、基本运算的

4.[2012· 唐山一模] 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标 1 ? ?x=2+tcosα, 系中取相同的单位长度.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数,0<α<π),曲

?y=tsinα ?

2cosθ 线 C 的极坐标方程为 ρ= 2 . sin θ (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 2cosθ 9.解:(1)由 ρ= 2 ,得(ρsinθ)2=2ρcosθ, sin θ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x. (2)将直线 l 的参数方程代入 y2=2x,得 t2sin2α-2tcosα-1=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 2cosα 1 t1+t2= 2 ,t1t2=- 2 , sin α sin α 4cos2α 4 2 π ∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= + = ,当 α= 时,|AB|取最小值 sin4α sin2α sin2α 2 2.

5.[2012· 唐山一模] 设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,求参数 t 的取值范围.

3-x,x<-3, ? ? 5.解:(1)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ? ?x-3,x>0. 如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点,

由此得 S=[-4,10]. (2)由(1)知,f(x)的最小值为-3, 则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3, 所以 t 的取值范围是[0,3].


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