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高中数学 3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案 新人教A版必修4


3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案
【学习目标】 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及 两角和与差的正弦、正切公式,了解公式间 的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 【重点难点】 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 【学法指导】

1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数值; 2.经历两角和与差的三角公式的探究过程,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力; 【知识链接】 1、在一般情况下 sin(α +β )≠sinα +sinβ ,cos(α +β )≠cosα +cosβ .

3 ? ? sin ? ? , 则sin(? ? ) ? _________; 若? 是第四象限角,则sin(? ? ) ? _________ . 5 4 4 tan? ? 2,?是第三象限角,求tan(? ? ) ? __________ _. 6

?

注意角的变换及公式的灵活运用,如? ? (? ? ? ) ? ? ;2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),
2、 ? ? ?

2

? (? ?

? ? ) ? ( ? ? )等。 2 2
2 , tan(? ? ? ) ? 5
C、

已知 tan(? ? ? ) ?

1 ? ,那么 tan(? ? )的值为 ( 4 5 3 22

)

A、-

3 18

B、

3 18

13 12

D、

3.在运用公式解题时, 既要注意公式的正用, 也要注意公式的反用和 变式运用.如公式 tan(α ±β )=

tan? ? tan ? 可变形为:tanα ±ta nβ =tan(α ±β )(1 ? tanα tanβ ); 1 ? tan? tan ?
±tanα tanβ = 1-

tan? ? tan ? , tan(? ? ? )

tan 20 ? ? tan 40 ? ? 3 tan 20 ? tan 40 ? ? __________ _.
4、又如:asinα +bcosα = a ? b
2 2

(sinα cosφ +cosα sinφ )=

a 2 ? b 2 sin(α +φ ),其中 tan

φ=

b 等,有时能收到事半功倍之效. a
sin ? ? cos? ? __________ _.

sin ? ? cos? ? __________ ;
3 cos x ? sin x =_____________.

1

提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

【学习过程】 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

动手完成两角和与差正弦和正切公式. 观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、 分母同时除以

cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?
注意: ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
注意: ? ? ? ?

1 ? tan ? tan ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ?

?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

(二)例题讲解 例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) 、n i s 7 2c o s 4 2 c o s 7 2 n i s 4 2
? ?

?

?

?

; (2) 、c o s 2 0c o s 7 0 n i s 2 0 n i s 7 0

?

?

?

?

?

1? n a 1 5 t ; (3) 、 1? n a 1 5 t

? ?



2

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x

【学习反思】

【基础达标】

1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 (
(A) ?

)
(B) ?

3 2

1 2

(C)

1 2
)

(D)

3 2

1 ? tan 2 75? 2、 的值为 ( tan 75?
(A) 2 3

(B)

2 3 3 2 3 3

?C ? ? 2

3

(D) ?

3、 若 sin 2 x sin 3x ? cos 2 x cos3x, 则x的值是 (
(A)

)

?

10 ? (C) 5

? 6 ? (D) 4
(B)

3

1 ?? ? 3? ? ? 4、 若 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________. 5 3? ? 2 ? ?
3 ? tan15? 5、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?

6、 cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ .
参考答案 1、 ?

1 2

2、C

3、A

4、

?2 6 ? 3 10

5、1

6、 cos?

【拓展提升】 1. 已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? ( ) , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 5 4? 4 4? ? ?

2. 若 ? , ?均为锐角,且sin ? ? sin ? ? ? 3、函数 y ? cos

?
2

1 1 , cos? ? cos ? ? , 则 tan(? ? ? ) ? . 2 2

x ? cos ? ( x ? 1) 的最小正周期是________ ___________.
2

4、 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 5 , ?为第一象限角, cos ? ? .求 tan(2? ? ?)的值。 5 13

5.已知 sin(? ? 求 tan

?
2

)?

4 ? 12 ? ? , cos( ? ? ) ? ? , 且? ? 为第二象限角, ? ?为第三象限角, 5 2 13 2 2

???
2

.

4

5


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