当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第29届全国中学生物理竞赛预赛复赛决赛试题(含答案)


15

16

17

18

19

20

21

22

第 29 届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 复 赛 答 案
一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小,

所以湖面的绝对高度在物块运 动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向 为 正 方 向 建 立 坐 标 系 ,以 下 简 称 x 系 . 设 物 块 下 底 面 的 坐 标 为 x ,在 物 块 未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为
f b ? b2 x ? g

( x?b)

(1)

式 中 g 为 重 力 加 速 度 .物 块 的 重 力 为
f g ? b3 ? ?g

(2)

设物块的加速度为 a,根据牛顿第二定律有
b3 ? ?a ? f g ? f b

(3)

将 (1)和 (2) 式 代 入 (3)式 得
a??

?g ? ?? ? x ? b? ?b ? ? ? ? ?

(4)

将 x 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 ? ?b / ? 而 建 立 新 坐 标 系 , 称 X 系 . 新 旧 坐 标 的 简 关系为
X ? x?

?? b ?

(5)

把 (5)式 代 入 (4 )式 得
a??

?g X ? ?b

(6)

(6)式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 X ? 0 , 则 a ? 0 , 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 由 (5)式 可 知 ,当 物 块 处 于 平 衡 位 置 时 ,物 块 下 底 面 在 x 系 中 的 坐 标 为
23

x0 ?

?? b ?

(7 )

物块运动方程在 X 系中可写为
X (t ) ? Acos ??t ? ? ?

(8)

利用参考圆可将其振动速度表示为
V (t ) ? ? A?sin ??t ? ? ?

(9)

式中 ?为振动的圆频率

??

? g ?' b

(10)

在 (8 ) 和 (9 ) 式 中 A 和 ? 分 别 是 振 幅 和 初 相 位 , 由 初 始 条 件 决 定 . 在 物 块 刚 被 释 放 时 , 即 t ? 0 时 刻 有 x = 0 , 由 (5) 式 得 ?? X (0) ? ? b ? V (0) ? 0 由 (8)至 (12 )式 可 求 得
A?

(11) (12 )

?? b ? ? ??

(13 ) (14 )

将 (10)、 (13 )和 (14 )式 分 别 代 人 (8 )和 (9 )式 得 ?? X (t ) ? b cos ??t ? ? ?

?

(15)

V (t ) ? ?

?? gb sin ??t ? ? ? ?

(16)

由 (15)式 可 知 ,物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ;但 物 块 的 运 动 始 终 由 (15)表 示 是 有 条 件 的 ,那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中, 湖水作用于 则
24

物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返 回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此, 须研究 必 物 块 可 能 完 全 浸 没 在 湖 水 中 的 情 况 . 显 然 ,在 x 系 中 看 ,物 块 下 底 面 坐 标 为 b 时 , 物 块 刚 好 被 完 全 浸 没 ; 由 (5 )式 知 在 X 系 中 这 一 临 界 坐 标 值 为 ? ?? ? ( 17) X ? X b ? ?1 ? ? b ?? ? 即 物 块 刚 好 完 全 浸 没 在 湖 水 中 时 , 其 下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 Xb 处 . 注 意 到在振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠 A, 下面分两种情况讨论: I. A ? X b . 由 (13 )和 (17 )两 式 得 (18) 在 这 种 情 况 下 ,物 块 在 运 动 过 程 中 至 多 刚 好 全 部 浸 没 在 湖 水 中 . 因 而 ,物 块 从 初 始 位 置 起 ,经 一 个 振 动 周 期 ,再 次 返 回 至 初 始 位 置 . 由 (1 0)式 得 振 动周期
T? 2?

? ? 2? ?

?

? 2?

? ?b ?g

(19)

物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间

t I ? T ? 2?

? ?b ?g

(20 )

II. A ? X b . 由 (1 3)和 (17)两 式 得

? ? 2? ?

(2 1 )

在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之 下 . 设 从 初 始 位 置 起 , 经 过 时 间 t1 物 块 刚 好 全 部 浸 入 湖 水 中 , 这 时
X ? t1 ? ? X b . 由 (15 )和 (17)式 得
25

?? ?? cos ??t1 ? ? ? ? 1 ? ? ?
取合理值,有
t1 ? ?? ?? ? ?b ? ?? ? arccos ? ? 1? ? ?g ? ? ? ? ??

(2 2)

(23)

由 上 式 和 (16 )式 可 求 得 这 时 物 块 的 速 度 为
V ( 1t )? ?

?? ?

?? ? g b1 - ? ? 1 ? ? ?? ?

2

(24 )

此 后 , 物 块 在 液 体 内 作 匀 减 速 运 动 , 以 a? 表 示 加 速 度 的 大 小 , 由 牛 顿 定律有 ? ? ?? (25) a? ? g ?? 设 物 块 从 刚 好 完 全 浸 入 湖 水 到 速 度 为 零 时 所 用 的 时 间 为 t2 , 有
V ? t1 ? ? a?t2 ? 0

(26 )

由 (24) -(26 )得
?? ? ?? b? ? t2 ? 1 ? ? ? 1? ( ? ? ? ?) g ? ? ?? ?
2

(27 )

物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间为
tII ? 2(t1 ? t2 ) ? 2 ?? ?? ?? ? b? ? ? 2? ? b? ? 1 ? ? ? 1? ?? ? arccos ? ? 1? ? ? g? ? ? ? ? ? ( ? ? ? ?) g ? ?? ? ? ?
2

(28 )

评分标准: 本题 17 分.(6)式 2 分, (10) (15) (16) (17) (18)式各 1 分, (20)式 3 分, (21)式 1 分, (23)式 3 分, (27)式 2 分, (28)式 1 分.
26

二、 1. i. 通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引 力 势 能 可 知 , 卫 星 的 机 械 能为负值. 由开普勒第一定律可推知, 卫星的运动轨道为椭圆 或圆) 此 ( , 地 心 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 (或 圆 的 圆 心 ),如 图 所 示 .由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度垂直于地心和脱离点的连线,因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点 (或近地点) 设近地点(或远 ; 地点)离地心的距离为 r ,卫星 R 在 此 点 的 速 度 为 v .由 开 普 勒 第 0.80R 二定律可知
r v = ? 0.80 R ? ?
2

a

(1)

式 中 ? (? 2 Te 为 地 球 自 转 的 角 ? / ) 速 度 .令 m 表 示 卫 星 的 质 量 , 根 据机械能守恒定律有
1 2 GMm 1 GMm 2 mv ? ? m ? 0.80R ? ? 2 ? 2 r 2 0.80R

b

( 2)

由 ( 1) 和 ( 2) 式 解 得

r ? 0.28R 可 见 该 点 为 近 地 点 ,而 脱 离 处 为 远 地 点 . 【 3) 式 结 果 亦 可 由 关 系 式 : (
? GMm 1 GMm 2 ? m ? 0.80R ? ? 2 ? r ? 0.80R 2 0.80R

( 3)

直接求得】 同步卫星的轨道半径 R满足 GM ? R? 2 R2 由 (3)和 (4)式 并 代 入 数 据 得
27

(4)

(5) r ? 1.2 ? 104 km 可见近地点到地心的距离大于地球半径,因此卫星不会撞击地球. ii. 由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 卫 星 的 面 积 速 度 为 常 量 , 从 远 地 点 可 求 出该常量为
1 2 (6 ) ? 0.80R ? ? 2 设 a和 b 分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴,由椭圆的几何关系有

?s ?

a?

0.28R ? 0.80R 2
2 2

(7 )

? 0.80 ? 0.28 ? 2 b ? a ?? ? R 2 ? ?

(8 )

卫星运动的周期 T 为
T?

? ab ?s

(9)

代人相关数值可求出 (10) T ? 9.5h 卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点, 据开普勒第二定律可知此 根 时刻卫星具有最小角速度,其后的一周期内其角速度都应不比该值小, 所以卫星始终不比太空电梯转动得慢;换言之,太空电梯不可能追上卫 星 .设 想 自 卫 星 与 太 空 电 梯 脱 离 后 经 过 1 . 5 ( 约 14 小 时 ) 卫 星 到 达 近 地 , T 点 ,而 此 时 太 空 电 梯 已 转 过 此 点 ,这 说 明 在 此 前 卫 星 尚 未 追 上 太 空 电 梯 . 由 此 推 断 在 卫 星 脱 落 后 的 0 -12 小 时 内 二 者 不 可 能 相 遇 ; 而 在 卫 星 脱 落 后 12 -24 小 时 内 卫 星 将 完 成 两 个 多 周 期 的 运 动 ,同 时 太 空 电 梯 完 成 一 个 运 动 周 期 , 所 以 在 12 -24 小 时 内 二 者 必 相 遇 , 从 而 可 以 实 现 卫 星 回 收 . 2. 根 据 题 意 , 卫 星 轨 道 与 地 球 赤 道 相 切 点 和 卫 星 在 太 空 电 梯 上 的 脱 离 点 分 别 为 其 轨 道 的 近 地 点 和 远 地 点 .在 脱 离 处 的 总 能 量 为 1 GMm GMm ( 11 ) m( Rx? )2 ? ?? 2 Rx Rx ? Re 此式可化为
28

? Rx ? ? Rx ? 2GM ? ? ?1 ? ?? Re ? ? 2 Re3 ? Re ? ?

3

(12) 这 是 关 于 Rx 的 四 次 方 程 , 用 数 值 方 法 求 解 可 得
Rx ? 4.7 Re ? 3.0 ? 104 km

( 13)

【 Rx 亦 可 用 开 普 勒 第 二 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 求 得 . 令 ve 表 示 卫 星 与 赤 道 相切点即近地点的速率,则有
2 Re ve ? Rx ?


1 2 GMm 1 GMm mve ? ? m( Rx? )2 ? 2 Re 2 Rx

由 上 两 式 联 立 可 得到方程
? Rx ? ? Rx ? 2GM Rx 2GM ? 2 3 ?0 ? ? ?? ? ? 2 3 ? Re ? ? Re ? ? Re Re ? Re
5 3

其中除 Rx 外其余各量均已知, 因此这是关于 Rx 的五次方程. 同样可以用数值方法解得
Rx .】

卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间,为了求出卫星运 行的周期 T ? ,设椭圆的半长轴为 a ? ,半短轴为 b? ,有 R ? Re (14) a? ? x 2

29

? R ? Re ? b? ? a ? ? ? x ? ? 2 ?
2

2

(15)

因为面积速度可表示为
2 ? s? ? Rx ?

1 2

(16) 所以卫星的运动周期为
T? ?

? a?b? ? s?

(17)

代入相关数值可得 (18) T ? ? 6.8 h 卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期,在这段时间内,如果地球 不转动,卫星沿地球自转方向运行 180 度,落到西经 (180? ? 110?) 处与赤道相切. 但由 于 地 球 自 转 , 在 这 期 间 地 球 同 时 转 过 了 ?T ? / 2 角 度 , 地 球 自 转 角 速 度 ? ? 360? / 24h ? 15? / h ,因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经 ?T ? (19) ? ? 180? ? 110? ? ? 121? 2 即卫星着地点在赤道上约西经 121 度处. 评分标准: 本题 23 分. 第 1 问 16 分,第 i 小问 8 分,(1)、(2)式各 2 分, (4)式 2 分, (5)式和结论共 2 分.第 ii 小问 8 分, 、 (9)(10)式各 2 分,说出在 0-12 小时时间段内卫星不可能与太空 电梯相遇并给出正确理由共 2 分, 说出在 12-24 小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并 给出正确理由共 2 分. 第 2 问 7 分,(11)式 1 分, (13)式 2 分, (18)式 1 分, (19)式 3 分. (数值结果 允许有 5% 的相对误差) 三、
30

解法一 如图 1 所示, 建直角坐标 Oxy , 轴与挡板垂直, x 方向 y 轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为 v0 , 沿 x 轴正方向, P 表示系统的质心, vPx 和 vPy 表 以 以 示碰撞后质心的速度分量, J 表示墙作用于小球 C 的冲量的大小. 根据质心运动定理有 (1) ? J ? 3mvPx ? 3mv0
0 ? 3mvPy ? 0

y

A

B

?
P

O x

(2)

由(1)和(2)式得 3mv0 ? J vPx ? 3m vPy ? 0

?
lCP

(3) (4) C

可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球 C 与挡板碰撞过程中,质心的坐标为 图1 (5) xP ? ?l c o ? s 1 (6) yP ? ? l s i n ? 3 球 C 碰挡板前,三小球相对于质心静止,对质心的角动量为零;球 C 碰挡板后,质心 相对质心参考系仍是静止的,三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动,若转动 角速度为 ? ,则三小球对质心 P 的角动量 2 2 2 L ? m?lAP ? m?lBP ? m?lCP (7) 式中 l AP 、 lBP 和 lCP 分别是 A 、 B 和 C 三球到质心 P 的距离,由图 1 可知 1 2 2 2 (8) lAP ? l 2cos ? ? l sin ?2 9 1 2 (9) lBP ? l 2 sin 2 ? 9 4 2 (10) lCP ? l 2 cos2 ? ? l 2 sin 2 ? 9 由(7)(8)(9)和(10)各式得 、 、 2 (11) L ? ml 2? (1 ? 2cos2 ? ) 3 在碰撞过程中,质心有加速度,质心参考系是非惯性参考系,在质心参考系中考察动
31

力学问题时,必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心,对质心的力 矩等于零,不影响质点系对质心的角动量,故在质心参考系中,相对质心角动量的变 化仍取决于作用于球 C 的冲量 J 的冲量矩,即有 2 (12) J l sin ? ? L 3 【也可以始终在惯性参考系中考察问题,即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角 动量的参考点,则对该参考点(12)式也成立】 由(11)和(12)式得 J sin ? (13) ?? ml (1 ? 2cos2 ? ) 球 C 相对于质心参考系的速度分量分别为(参考图 1) (14) vCPx ? ??lCP sin ? ? ??(l sin ? ? | yP |)
vCPy ? ??lCP cos ? ? ??l cos ?

(15) (16) (17)

球 C 相对固定参考系速度的 x 分量为
vCx ? vCPx ? vPx

由(3)(6)(13) 和 (16)各式得 、 、
vCx ? ? J ? v0 m(1 ? 2cos2 ? )

根据题意有
vCx ? 0

(18) (19) y

由(17)和(18)式得
J ? mv0 (1 ? 2cos2 ? )

由(13)和(19)式得
v sin ? (20) ?? 0 l 球 A 若先于球 B 与挡板发生碰撞, 则在球 C 与挡板碰撞后, 整个系统至少应绕质心转过 ??? 角,即杆 AB 至少转到沿 y 方向,如图 2 所示. 系统绕质心转过 ??? 所需时间 1 ? t? 2 (21) ? 在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离
32

A O P B x

C

图2

?x ? vPx t

(22) (23)


yP ? ? x ? xP

则球 B 先于球 A 与挡板碰撞. 由(5)(6)(14)(16)(18)(21)(22)和(23) 、 、 、 、 、 、 式得 3 (24) ? ? arctan 1? ? 即

? ? 36 ?
(25) 评分标准: 本题 25 分.(1)(2)(11)(12)(19)(20)式各 3 分, 、 、 、 、 、 (21)式 1 分, (22) 、 (23)式各 2 分.(24)或(25)式 2 分. 解法二 如图 1 所示, 建直角坐标系 Oxy ,x 轴与挡板垂直,

y

y 轴与挡板重合,以 vAx 、 vAy 、 vBx 、 vBy 、 vCx 和 vCy
分别表示球 C 与挡板刚碰撞后 A 、 B 和 C 三球速度的 分量,根据题意有
vCx ? 0

v Ay
A

vBy

v Ax B
P

(1)

?

vBx O
x

以 J 表示挡板作用于球 C 的冲量的大小, 其方向沿 x 轴 的负方向,根据质点组的动量定理有
?J ? m A x ? m B x 3 m v v ? v
0

vCy
C C 图1

(2)
0 ? mvAy ? mvBy ? mvCy

(3) 以坐标原点 O 为参考点,根据质点组的角动量定理有
33

Jl sin ? ? mvAy ? l cos ? ? l cos ? ? ? mvByl cos ? ? mv0l sin ?

(4)

因为连结小球的杆都是刚性的,故小球沿连结杆的速度分量相等,故有
vAx ? vBx
vCy sin ? ? vBy sin ? ? vBx cos ? vAx cos? ? vAy sin ? ? ?vCy sin ?

(5) (6) (7)

(7)式中 ? 为杆 AB 与连线 AC 的夹角. 由几何关系有 2cos ? cos? ? 1 ? 3cos2 ? sin ? sin ? ? 1 ? 3cos 2 ? 解以上各式得
J ? mv0 (1 ? 2cos2 ? ) vAx ? v0 sin 2 ?
vAy ? v0 sin ? cos ?

(8) (9)

(10) (11) (12) (13) (14) (15)

vBx ? v0 sin 2 ?
vBy ? 0

vCy ? ? v0 sin ? cos ?

按题意,自球 C 与挡板碰撞结束到球 A (也可能球 B )碰撞挡板墙前,整个系统不受外 力作用,系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系,则相对质心参考系,质心是 静止不动的,A 、B 和 C 三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求
34

出转动角速度,可考察球 B 相对质心的速度.由(11)到(15)各式,在球 C 与挡板碰撞刚 结束时系统质心 P 的速度 mvAx ? mvBx ? mvCx 2 (16) vPx ? ? v0 sin 2 ? 3m 3 mvAy ? mvBy ? mvCy (17) vPy ? ?0 3m 这时系统质心的坐标为
xP ? ?l c o ? s

(18) (19)

1 yP ? ? l sin ? 3

不难看出,此时质心 P 正好在球 B 的正下方,至球 B 的距离为 yP ,而球 B 相对质心 的速度
1 vB P x? v B ? v P? v i n? s 2 x x 0 3
vBPy ? 0

(20) (21)

可见此时球 B 的速度正好垂直 BP ,故整个系统对质心转动的角速度 v v sin ? ? ? BPx ? 0 yP l (22) 若使球 A 先于球 B 与挡板发生碰撞,则在球 C 与挡板 碰撞后, 整个系统至少应绕质心转过 π / 2 角, 即杆 AB 至少 转到沿 y 方向, 如图 2 所示. 系统绕质心转过 π / 2 所需时间
1 π t? 2

y

A O x

?

(23) P B
35

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离

C

图2

?x ? vPx t

(24)


yP ? ? x ? xP

(25)

则球 B 先于球 A 与挡板碰撞. 由以上有关各式得

? ? arctan


3 1? ?

(26)

? ? 36 ?
(27) 评分标准: 本题 25 分. (2)(3)(4)(5)(6)(7)式各 2 分, 、 、 、 、 、 (10)(22)式各 3 分, 、 (23)式 1 分, (24)(25)式各 2 分, 、 (26)或(27)式 2 分.

四、 参考解答: 1. 虚 线 小 方 框 内 2n 个 平 行 板 电 容 器 每 两 个 并 联 后 再 串 联 , 其 电 路 的 等 效 电 容 Ct1 满 足 下 式 1 n ( 1) ? Ct1 2C 即
Ct1 ? 2C n

( 2)

式中
S 4? kd 虚 线 大 方 框 中 无 限 网 络 的 等 效 电 容 Ct 2 满 足 下 式 C?
36

( 3)

1 1 1 ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?? Ct 2 ? 2C 4C 8C ?

( 4)


C 2 整个电容网络的等效电容为 Ct 2 ?
Ct ? Ct C t 2 2C 1 ? Ct 1? C t 2n ? 4

( 5)

( 6)

等效电容器带的电量(即与电池正极连接的电容器极板上电量之和) S? ( 7) qt ? Ct ? ? (n ? 4)2? kd 当 电 容 器 a 两 极 板 的 距 离 变 为 2d 后 ,2n 个 平 行 板 电 容 器 联 成 的 网 络 ? 的 等 效 电 容 Ct1 满 足 下 式 1 n ?1 2 ( 8) ? ? ? Ct1 2C 3C 由此得
6C 3n ? 1 整个电容网络的等效电容为 ? Ct1 ?
Ct? ? ? Ct1Ct 2 6C ? ? Ct1 ? Ct 2 3n ? 13

( 9)

( 1 0)

整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
3S? ( 11) (3n ? 13)2? kd 在 电 容 器 a 两 极 板 的 距 离 由 d 变 为 2d 后 , 等 效 电 容 器 所 带 电 荷 量 的 改变为 qt? ? Ct?? ? ?qt ? qt? ? qt ? ? S? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd
37

( 12)

电容器储能变化为
1 S? 2 ? Ct?? 2 ? Ct? 2 ? ? ? 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd 2 在此过程中,电池所做的功为 ?U ?

( 13)

A ? ?qt ? ? ?

S? 2 (3n ? 13)(n ? 4)2? kd
S? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd

( 14 )

外力所做的功为
A? ? ?U ? A ?

( 15)

2 .设 金 属 薄 板 插 入 到 电 容 器 a 后 , a 的 左 极 板 所 带 电 荷 量 为 q ? , 金 属 薄 板 左 侧 带 电 荷 量 为 ?q? , 右 侧 带 电 荷 量 为 ( q ? ? Q ) , a 的 右 极 板 带 电 荷 量 为 ?(q? ? Q) , 与 a 并 联 的 电 容 器 左 右 两 极 板 带 电 荷 量 分 别 为 q ?? 和 ?q?? .由 于 电容器 a 和与其并联的电容器两极板电压相同,所以有 q?? q? (q? ? Q ) ( 16) ? ? S S C 4? kx 4? k (2d ? x) 由 ( 2) 式 和 上 式 得 2d ? x ( 17) q? ? q?? ? 3q? ? Q d 上式表示电容器 a 左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和, 也 是 虚 线 大 方 框 中 无 限 网 络 的 等 效 电 容 Ct 2 所 带 电 荷 量 ( 即 与 电 池 正 极 连 接的电容器的极板上电荷量之和). 整个电容网络两端的电压等于电池的电动势,即
q? ? q?? q? ? q?? q?? ? (n ? 1) ? ?? ct 2 2C C

( 18)

将 ( 2) ( 5) 和 ( 1 7 ) 式 代 入 ( 18) 式 得 电 容 器 a 左 极 板 带 电 荷 量 、
q? ? S? (n ? 5)(2d ? x) ? Q (3n ? 13)2? kd (3n ? 13)d
38

( 19)

评分标准: 本题 21 分. 第 1 问 13 分, (2)式 1 分, (5)式 2 分, 、 、 (6)(7)(10)(11)(12) 、 、 式各 1 分, (13)式 2 分,(14)式 1 分, (15)式 2 分. 第 2 问 8 分, (16)(17)(18)(19)式各 2 分. 、 、 、 五、 参考解答: 如图 1 所示, 当长直金属杆在 ab 位置以速度 v 错 误!未找到引用源。水平向右滑动到时,因切割磁 力线,在金属杆中产生由 b 指向 a 的感应电动势的 大小为 (1) ? ? BLv 式中 L 为金属杆在错误!未找到引用源。位置时与 大圆环两接触点间的长度,由几何关系有
? R ? L ? 2 R12 ? ? 1 ? ? 2 R1 (2) ? 100 ? 在金属杆由错误!未找到引用源。位置滑动到 cd 位 置过程中,金属杆与大圆环接触的两点之间的长度 L 可视为不变,近似为 2R1 .将(2)式代入(1)式 得,在金属杆由错误!未找到引用源。滑动到 cd 过 程中感应电动势大小始终为 (3) ? ? 2BR1v
2

a

c

l1
I1

l2 I
I2

b 图 1

d

以 I 、 I1 和 I 2 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流,方向如图 1 所示,以 U ab 表示 a、b 两端的电压,由欧姆定律有 (4) U ab ? I1l1r0
U ab ? I 2l2 r0

(5)

式中, l1 和 l2 分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示, l1 和 l2 中的电流在圆心处产 生的磁感应强度的大小分别为 I l1 B1 ? km 1 2 (6) R1

39

I 2 l2 (7) R12 B1 方向竖直向上, B2 方向竖直向下. 由(4)(5)(6)和(7)式可知整个大圆环电流在圆心处错误!未找到引用源。 、 、 产生的错误!未找到引用源。为 (8) B0 ? B2 ? B1 ? 0 无论长直金属杆滑动到大圆环上何处,上述结论都成立,于是在圆心处只有金属杆错 误!未找到引用源。的电流 I 所产生磁场. 在金属杆由 ab 滑动到 cd 的过程中, 金属杆都处在圆心附近, 故金属杆可近似视为 无限长直导线,由提示,金属杆在 ab 位置时,杆中电流产生的磁感应强度大小为 2I (9) B3 ? km R1 100 方向竖直向下.对应图 1 的等效电路如图 2,杆中的电流 B2 ? km

I? R?

?

R左 R右 R左 ? R右

(10)

a

I1 R左

I

ε

I2 R右

其中 R 为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻, R左 和 R右 分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻, 由于长直金属 杆非常靠近圆心,故 Ra b ? 2 R 1r,1


Rab
b

R =右 ? ? R

R r (11) 1 0

利用(3)(9)(10)和(11)式可得 、 、 800km vB B3 ? R1 (4r1 ? ? r0 )

图 2 (12)

由于小圆环半径错误!未找到引用源。 ,小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀 的,且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于 ab 处时,穿过小圆环圆 面的磁感应通量为

?ab ? ? R22 B3

(13)

当长直金属杆滑到 cd 位置时,杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示,但 方向相反,故穿过小圆环圆面的磁感应通量为
40

?cd ? ? R22 (? B3 )

(14)

在长直金属杆以速度错误!未找到引用源。从 ab 移动到 cd 的时间间隔 ?t 内,穿 过小圆环圆面的磁感应通量的改变为 (15) ?? ? ?c d ? ? a ? ?2? R2 B2 3 b 由法拉第电磁感应定律可得,在小圆环中产生的感应电动势为大小为 2 ?? 2? R2 B3 ?i ? ? ? ?t ?t 在长直金属杆从 ab 移动 cd 过程中,在小圆环导线中产生的感应电流为 RB ?i Ii ? ? 2 3 2? R2 r0 r0 ?t
R2 B3 800km vBR2 ? r0 R1r0 (4r1 ? ? r0 )

(16)

(17)

于是,利用(12)和(17)式,在时间间隔 ?t 内通过小环导线横截面的电荷量为
Q ? Ii ?t ?

(18)

评分标准: 本题 25 分. (3)式 3 分, 、 (4)(5)式各 1 分, (8)(10)式各 3 分, 、 (12)式 3 分, (15)式 4 分, (16)(17)式各 2 分, 、 (18)式 3 分. 六、 参考解答: 设 重 新 关 闭 阀 门 后 容 器 A 中 气 体 的 摩 尔 数 为 n1 , B 中 气 体 的 摩 尔 数 为 n2 , 则 气 体 总 摩 尔 数 为

n ? n1 ? n2

( 1)

把两容器中的气体作为整体考虑,设重新关闭阀门后容器 A 中气体 温 度 为 T1? ,B 中 气 体 温 度 为 T2 , 新 关 闭 阀 门 之 后 与 打 开 阀 门 之 前 气 体 内 重
41

能的变化可表示为
?U ? n1C ?T1? ? T1 ? ? n2C ?T2 ? T1 ?

( 2)

由于容器是刚性绝热的,按热力学第一定律有

?U ? 0

( 3)

令 V1 表 示 容 器 A 的 体 积 , 初 始 时 A 中 气 体 的 压 强 为 p1 ,关闭阀门后 A 中气体压强为 ? p1 ,由 理 想 气 体 状 态 方 程 可 知

n?

p1V1 RT1

( 4)

n1 ?
由以上各式可解得

(? p1 )V1 RT1?

( 5)

T2 ?

?1 ? ? ? T1T1?
T1? ? ? T1

由于进入容器 B 中的气体与仍留在容器 A 中的气体之间没有热量交 换,因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器 A 中的那部分气体经 历 了 一 个 绝 热 过 程 , 设 这 部 分 气 体 初 始 时 体 积 为 V10 (压 强 为 p1 时), 则 有

p1V10 C ? (? p1 )V1
利用状态方程可得

C?R

C ?R C

(6)

p1V10 (? p1 )V1 ? T1 T1?
42

( 7)

由 ( 1) 至 ( 7) 式 得 , 阀 门 重 新 关 闭 后 容 器 B 中 气 体 质 量 与 气 体 总 质 量 之比

n2 2 ? ? C ? R ? ? C ? R ? R n 2 ? ? ? ? C?R

R

C

( 8)

评分标准: 本题 15 分. (1)式 1 分, (2)式 3 分, (3)式 2 分, 、 (4)(5)式各 1 分, (6) 式 3 分, (7)式 1 分, (8)式 3 分. 七、 答案与评分标准: 1. 19.2 (4 分 , 填 19.0 至 19.4 的 , 都 给 4 分 ) 10.2 ( 4 分 , 填 10.0 至 10.4 的 , 都 给 4 分 ) 2. 20.3 4. 2 (4 分 , 填 20.1 至 20.5 的 , 都 给 4 分 ) (4 分 , 填 4.0 至 4.4 的 , 都 给 4 分 )

八、 参考解答: 在相对于正离子静止的参考系 S 中,导线中的正离子不动,导电电 子 以 速 度 v0 向 下 匀 速 运 动 ; 在 相 对 于 导 电 电 子 静 止 的 参 考 系 S? 中 , 导 线 中 导 电 电 子 不 动 , 正 离 子 以 速 度 v0 向 上 匀 速 运 动 .下 面 分 四 步 进 行 分 析 . 第 一 步 , 在 参 考 系 S? 中 , 考 虑 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 电 场 力 的 大 小 和 方 向 .若 S 系 中 一 些 正 离 子 所 占 据 的 长 度 为 l , 在 S? 系 中 这 些 正 则 ? ,由相对论中的长度收缩公式有 离 子 所 占 据 的 长 度 变 为 l?
? l? ? l 1 ?
2 v0 c2

( 1)
43

? 设 在 参 考 系 S 和 S? 中 ,每 单 位 长 度 导 线 中 正 离 子 电 荷 量 分 别 为 ? 和 ?? ,由 于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关,故 ?? ( 2) ??l? ? ?l 由 ( 1) 和 ( 2) 式 得 ? ? ( 3) ?? ? 2 v0 1? 2 c 设 在 S 系 中 一 些 导 电 电 子 所 占 据 的 长 度 为 l ,在 S? 系 中 这 些 导 电 电 子 ? 所 占 据 的 长 度 为 l? , 则 由 相 对 论 中 的 长 度 收 缩 公 式 有
2 v0 ( 4) c2 同理,由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关,便有 ? ?? ( 5) ?? ? 2 v0 1? 2 c ? 式 中 , ?? 和 ?? 分 别 为 在 参 考 系 S 和 S? 中 单 位 长 度 导 线 中 导 电 电 子 的 电 荷 量. 在 参 照 系 S? 中 , 导 线 2 单 位 长 度 带 的 电 荷 量 为

? l ? l? 1 ?

( 6) 2 v0 1? 2 c 它在导线 1 处产生的电场强度的大小为 2 2k ? ? 2ke ? v0 ( 7) E? ? e ? 2 a v0 2 c a 1? 2 c 电 场 强 度 方 向 水 平 向 左 .导 线 1 中 电 荷 量 为 q 的 正 离 子 受 到 的 电 场 力 的 大 小为
f e?? ? qE ? ?
2 2ke q? v0

? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

?

? ( ?? ) 1 ?

2 v0 ? c2

2 v0 2 v2 c 1? 0 c2

?

v2 c a 1? 0 c2
2

( 8)

44

电场力方向水平向左. 第 二 步 , 在 参 考 系 S? 中 , 考 虑 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 磁 场 力 的 大 小 和 方 向 .在 参 考 系 S? 中 , 以 速 度 v0 向 上 运 动 的 正 离 子 形 成 的 电 流 为 ? v0 ? ( 9) I ? ? ?? v0 ? 2 v0 1? 2 c 导 线 2 中 的 电 流 I?在 导 线 1 处 产 生 磁 场 的 磁 感 应 强 度 大 小 为 2k I ? 2km ? v0 ( 10) B? ? m ? 2 a v0 a 1? 2 c 磁 感 应 强 度 方 向 垂 直 纸 面 向 外 .导 线 1 中 电 荷 量 为 q 的 正 离 子 所 受 到 的 磁 场力的大小为 2 2k q? v0 ? ( 11) f m ? ? q v0 B? ? m 2 v0 a 1? 2 c 方向水平向右,与正离子所受到的电场力的方向相反. 第三步,在参考系 S 中,考虑导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力 和 磁 场 力 的 大 小 和 方 向 .由 题 设 条 件 , 导 线 2 所 带 的 正 电 荷 与 负 电 荷 的 和 为零,即 ( 12) ? ? (?? ) ? 0 因而,导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力为零 ( 13 ) fe? ? 0 注意到在 S 系中,导线 1 中正离子不动 ( 14 ) v1+ ? 0 导线 2 对导线 1 中正离子施加磁场力为零 ( 15) f m? ? qv1+ B ? 0 式中, B是在 S 系中导线 2 的电流在导线 1 处产生的磁感应强度的大小. 于是,在 S 系中,导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力和磁场力的合力 为零. 第四步,已说明在 S 系中导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力和磁 场力的合力为零,如果导线 1 中正离子还受到其他力的作用,所有其它 力 的 合 力 必 为 零 (因 为 正 离 子 静 止 ).在 S? 系 中 ,导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子
45

施加的电场力和磁场力的合力的大小为 ? f ? ? f m? ? fe??

(16)

因 为 相 对 S? 系 , 上 述 可 能 存 在 的 其 它 力 的 合 力 仍 应 为 零 , 而 正 离 子 仍 处 在 勻 速 运 动 状 态 , 所 以 (16)式 应 等 于 零 , 故 ? ( 17 ) f m ? ? fe?? 由 ( 8) ( 11) 和 ( 17 ) 式 得 、 ke ? c2 km 评分标准: 本题 18 分. (1)至(18)式各 1 分. ( 18)

46

29 届全国中学生物理竞赛决赛试题
一、(15 分) 如图,竖直的光滑墙面上有 A 和 B 两个钉子,二者处于同一水平高度,间距为 l , 有一原长为 l 、 劲度系数为 k 的轻橡皮筋, 一端由 A 钉固定, 另一端系有一质量为 m= 的小球,其中 g 为重力加速度.钉子和小球都可视为质点, 小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘 连.现将小球水平向右拉伸到与 A 钉距离为 2 l 的 C 点,B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触. 初始时刻小球 获得大小为 v 0 ?

kl 4g

gl 、方向竖直向下的速度,试确定此后 2

小球沿竖直方向的速度为零的时刻.

47

二、(20 分) 如图所示,三个质量均为 m 的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶 点 A、B 和 C 处.AD⊥BC,且 AD=BD=CD=a,小球可视为质点,整个杆球体系置于水平桌 面上,三个小球和桌面接触,轻质杆架悬空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦 因数均为μ ,在 AD 杆上距 A 点 a/4 和 3a/4 两处分别施加一垂直 于此杆的推力,且两推力大小相等、方向相反. 1. 试论证在上述推力作用下, 杆球体系处于由静止转变为运动 的临界状态时,三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力; 2.如果在 AD 杆上有一转轴,随推力由零逐渐增加,整个装置 将从静止开始绕该转轴转动. 问转轴在 AD 杆上什么位置时, 推动该 体系所需的推力最小,并求出该推力的大小.

48

三、(20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体, 两者之间的摩擦 因数记为μ .柱体正视图如图所示,正视图下部为一高度为 h 的矩 形,上部为一半径为 R 的半圆形.柱体上表面静置一质量同为 m 的 均匀柔软的链条,链条两端距地面的高度均为 h/2,链条和柱体 表面始终光滑接触.初始时,链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下 滑.试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中,当题 中所给参数满足什么关系时, 1.柱体能在地面上滑动; 2.柱体能向一侧倾倒; 3.在前两条件满足的情形下,柱体滑动先于倾倒发生.

49

四、(20 分) 如图所示,在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球,两球 半径均为 a,A 球质量为 m,所带电荷量为 Q,B 球质量为 4m,所带电荷量为-4Q.在初 始时刻,两球球心距为 4a,各有一定的初速度,以使得两球在以后的运动过程中不发 生碰撞,且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减小桌面面积,试求 1.两球初速度的方向和大小; 2.圆桌面的最小半径. 假设两球在运动过程中,其所带电荷量 始终保持均匀分布:桌面也不发生极化效 应.已知两个均匀带电球之间的静电相互作 用力,等于电荷集中在球心的两个点电荷之 间的相互作用力;静电力常量为 ke.

50

五、(20 分) 如图所示,一半径为 R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置,可绕过圆盘中心的竖直 固定轴无摩擦地自由转动.一半径为 a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上,圆线圈 与圆盘共轴.在盘边缘处等间隔地固定 4 个质量均为 m 的带正电的金属小球,每个小 球所带电荷量均为 q.此装置处在一磁感应强度大小为 B0、方向竖直向上的均匀强磁场 中.初始时圆盘静止,圆线圈中通有恒定电流 I.方向沿顺时针方向(从上往下看).若 切断圆线圈中的电流,则圆盘将发生转动.求薄圆盘 稳定转动后,圆盘在水平方向对每个金属球小的作用 力的大小.假设金属小球可视为质点,不计小圆线圈 的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场. 已知固定在圆盘面上的半径为 a、 通有电流 I 的圆 线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为 r 处(r>>a)产 生的磁场的磁感应强度的大小为 B= k m

2?a 2 I ,式中 r3

km 为已知常量,当线圈中的电流沿顺时针方向时,磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向 上.静电力常量为 ke.

51

六、(15 分) 如图,一水平放置的刚性密闭气缸,缸壁是绝热的, 活塞把气缸内空间分为两个体积相同的密闭室 A 和 B.活塞由一层热容量很小(略去其影响)、导热良好的 材料(与气缸壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁 没有摩擦)压制而成,绝热层在 A 室一侧.初始时,A 室和 B 室充有绝对温度均为 T0 的同种多原子分子理想 气体,A 室气体压强是 B 室气体压强的 4 倍.现释放 活塞,活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而 运动缓慢,最后停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦). 已知气缸中的气体具有如下特性:在温度高于某个临界温度 Td(>T0)时,部分多原 子气体分子将发生分解,一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子.被 分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比 a 满足关系 a= ? (T ? Td ) ,其中β =2.00T0 .分解过程是可逆的,分解 1 摩尔分子所需能量φ =CT0/l0,1 摩尔气体的内 能与绝对温度 T 的关系为 u=CT(C 是与气体的种类无关的常量).已知当压强为 P、体积 γ 为 V 的这种气体绝热缓慢膨胀时,PV =常量,其中γ =4/3. 1.对于具有上述特性的某种气体,若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生 了分解,求这种分子发生分解的临界温度 Td 的可能值; 2.对于具有上述特性的另一种气体,若实验测得在上述过程结束时有 a=l0.0%的分 子分解了,求这种分子发生分解的临界温度 Td.
-1

52

七、(15 分) 如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成.已知望远镜物镜 L0 的焦距为 l6.OOcm.在 L0 的焦平面 P 处,放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物,如图 二所示.在载物台上放置双面平行的平面镜 M,通过望远镜的目镜 Le 观察时,能同时 清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过 L0 折射、M 反射、再经 L0 折射后在分 划板上所成的十字像,十字像位于 A 点,与上十字叉丝线的距离为 5.2mm.绕载物台转 轴(沿竖直方向)转动载物台,使平面镜转 l80°,此时十字像位于 B 点,与上十字叉丝 线的距离为 18.8mm.根据以上情况和数据可计算出,此时望远镜光轴与水平面的夹角 为 rad;据此结果,调节望返镜,使其光轴与载物台的转轴垂直. 平行光管是由十字缝 S 和凸透镜 L 组成.去掉光学系统中的平面镜 M,并用钠光灯 照亮 S.沿水平方向移动 S,当 S 到平行光管中的透镜 L 距离为 8.25cm 时,通过望远 镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上,由此可以推知,L 的焦距等于 cm. 将载物台平面调至与载物台的转轴垂直,在载物台上放置长、宽、高均为 3.OOcm、 折射率为 1.52 的分束棱镜 abed(分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成,接触面既能 透光又能反光)和待测凹球面镜 0,0 到 L 的距离为 l5.OOcm,并保证分束棱镜的 ab 面 与图三中的 XX′轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的 XX′轴重合;再将望远镜绕载物 台的中心轴转 90°,如图三所示。向右移动 S,当 S 移动的距离为 3.75cm 时,通过望 远镜目镜刚好能看清楚十字缝 S 的像成在分划板中心十字叉丝线上.试求凹球面镜的 曲率半径.

53

八、(15 分) 在处理微观物理问题时,经常接触到诸如电子质量 me、质子电荷量 e 及普朗克常量 h 等基本物理常量.在国际单位制中,这些物理常量的数值都很小,给相关的数值计算 带来不便.为了方便起见,在微观物理领域引入所谓“原子单位制” ,规定电子质量为 质量单位, ?(? ? h / 2? ) 为角动量单位,质子电荷量的 k e 倍为电荷量单位,其中常 数 ke 和国际单位制中的静电力常量取值相同.按如上定义规定了质量、电荷量和角动 量的基本单位后,在“原子单位制”中其它物理量的单位可用相关物理公式导出.如 果在“原子单位制”下,长度、时间和能量的单位用符号 Lau、Tau 和 Eau 表示,试从 玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒和焦耳的换算关系.结果用 ke、me、e 和 ? 等常 量表示.

54

第 29 届全国中学生物理竞赛决赛试题解答 一、

55

56

57

二、

58

59

60

三、

61

62

63

64

65

66

四、

67

68

69

70

71

72

五、

73

74

75

六、

76

77

78

七、

79

80

八、

81

82

83


相关文章:
第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)
第29届全国中学生物理竞赛决赛试题答案(word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。29 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、(15 分)如图,竖直的光滑墙面上有 A 和 B...
29届全国中学生物理竞赛预赛试卷(word版,含答案)_图文
29届全国中学生物理竞赛预赛试卷(word版,含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 本卷共 16 题,满分 200 分. 一、选择题....
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案(完整Word版)
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案(完整Word版)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
第29届全国中学生物理竞赛复赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小 ,所以...
第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷(Word版含答案)
第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷(Word版含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷(Word版含答案) 第29 届全国中学生物理竞赛预赛...
2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案2012 年第 29 届物理竞赛初赛 1 2012 ...
2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012年第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案_...
第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)
第29届全国中学生物理竞赛决赛试题答案(word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。已转化为word29 届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理 一、(15 分) 如图,竖...
第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷和答案
第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 29 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 本卷共 16 题,满分 200 分. 一、选择题.本题共 5...
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷(完整Word版)
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷(完整Word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共 8 ...
更多相关标签:
初赛复赛决赛 | 初赛预赛决赛 | 2017欧洲杯预选赛决赛 | sli中国区预选赛决赛 | 卢鑫玉浩笑傲江湖复赛 | noip2016普及组复赛 | 中金所杯复赛 | 笑声传奇复赛 |