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二项式定理复习教案


二项式定理专题复习
教学目标 教学重点 教学难点 掌握二项式定理的形式,能灵活应用二项式定理解题。 二项展开式 二项展开式的应用 教学流程 1.已知 ( x ? 学生活动设 计

1 n ) 的展开式中第五项为常数项,则展开式中各项 x

的二项式系数之和为
1 2 3 n 2. Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ...

? 3n?1 Cn =____ ____________
92

课前预习

3. 91 除以 100 的余数为______________ 4. 0.997 的近似值(精确到 0.001) 是
7
5

5.设 ?1 ? 2x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a7 x 7 求 ( 1 ) a1 ? a2 ? ... ? a7 (3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 (4) ( 2 ) a1 ? a3 ? a5 ? a7

(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) 2

(5) a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a7

1 n 3 1.已知在( x- ) 的展开式中, 只有第 6 项的二项式 3 2 x 系数最大. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项及常数项.
展示交流

(4)求展开式中系数最大的项。
2.(1)(1+x+x2)· (1-x)10 的展开式中,x5 的系数为____________.

x ? 1 (2 x ? 1) 5 的 展 开 式 中 , x 6 项 的 系 数 为 (2) _________

?

?

6

? 1 ? ? 展开式中的常数项为__________ (3) ? x ? 1 ? ? ? x? ?


4

? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ?x ? 2? ? ? ? ? ? a12 ?x ? 2? 则 a6 ?
2

?x

2

? 4x ? 3

?

4
12



6

1

探究一:已知函数 f ( x) ?

x2 ?1 的图象关于原点对称。 x?c

2 2 2

(1)求 f (x) 的表达式; ( 2



n ? 2, n ? N时, 求证 : [ f (1) ? 1] | [ f (2 ) ? 2 ] ? ? ? [ f (n ) ? n 2 ] ? 2;
( 3
n


n n



n ? 2, n ? N , x ? 0, 求证[ f ( x)] ? f ( x ) ? 2 ? 2.

探究二:若(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3 +…+an(x-1)n,其中 n∈N*.
合作探究

(1)求 a0 及 Sn=a1+a2+a3+…+an; (2)试比较 Sn 与(n-2)2n+2n2 的大小,并说明理由.

1 2 n 探究三:已知Sn= Cn ·a1+ C n ·a2+…+ C n ·an,n∈N*.

(1)若 Sn=n·2n-1(n ∈N*),是否存在等差数列{an}对一切自然数 n 满足上述等 式? (2)若数列{an}是公比为q(q≠±1),首项为1的等比数列前 n 项和,数列{bn} 满足b1+b2+…+bn=
Sn (n∈N*).求证: {bn}是等比数列. 2n

2

1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意 n ? N ,恒有 nan?1 ? 2(n ? 1)an
*

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设区间 [ 实验班补充题

an an?1 , ] 中的整数个数为 bn , 求数列 {bn } 的通项公式。 3n 3(n ? 1)

2 . 已 知 整 数 n ≥4, 集 合 M ? ?1, 2,3, ???, n? 的 所 有 3 个 元 素 的 子 集 记 为

A1 , A2 , ???, AC3 .
n

( 1) 当 n ? 5 时,求集合 A1 , A2 , ???, AC3 中所有元素之和.
5

(2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 P = m1 ? m2 ? ??? ? mC3 ,试求 P . n n
n

1. ( x ? 3 x ) 9 的展开式中:(1) x 的系数为_____________ (2)有理项为_____________ (3)是否包含常数项? 2. (1+x+x2)· (1-x)10 的展开式中,x5 的系数为__________. x, y 3. ( 1 ) 若 对 于 任 意 实 数
4


2 3



( x ? 2 y) ? a0 ( x ? 2 y) ? a1 ( x ? 2 y) y ? a2 ( x ? 2 y) y ? a3 ( x ? 2 y) y ? a4 ( x ? 2 y) y 4 ? a5 y5 则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?
5 5 4 3 2

(1 (2) ? ax ? by)

n

?a ? 0, b ? 0?

展开式中不含 x 的项的系数和为 81, 不含 y

的项的系数和为 16 ,则 a ? b ? _______. 4. ?3x ? 2 y ? 的展开式中,系数绝对值最大的项是第______项。
20

?1 ? 2 ?
100

50

的展开式中,数值最大的项是第________项 个
n ?1

课堂随练 5. 11

? 1 末尾连续零的个数是

1 2 3 n 6.(1)证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? nCn ? n ? 2

(2)证明:当 n ? N 且n ? 5 时, 2 ? n
* n

2

7





f (x)









R













0 1 0 1 g ( x) ? C n f ( ) x 0 (1 ? x) n ? C n f ( ) x1 (1 ? x) n?1 n n 2 2 n 2 n ? C n f ( ) x (1 ? x) n?2 ? ? ? C n f ( ) x n (1 ? x) 0 n n (1)若 f ( x) ? 1 ,求 g (x) ; (2)若 f ( x) ? x, 求 g (x) 。

3

8.. 已知 (1 ?

1 n x ) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x),?an ( x), an?1 ( x) . 2 设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),? ? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .
(1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1 .

9.请先阅读:

( Ⅰ ) 利 用 上 述 想 法 ( 或 其 他 方 法 ), 结 合 等 式
2 n , (1+x)n =C0 ? C1 x ? Cn x2 ? ?? Cn xn ( x ? R , 整 数 n ≥ 2 ) 证 明 : n n n n[(1 ? x)n?1 ?1] ? 2C2 x ? 3C3 x2 ? 4C4 x3 ? ?? nCn xn?1 ; n n n 2 n (Ⅱ)当整数 n ≥ 3 时,求 C1 ? 2Cn ? 3C3 ?? ? (?1)n?1 nCn 的值; n n













n≥3











4 n 2C2 ? 3 ? 2C3 ? 4 ? 3Cn ? ? ? (?1)n?2 n(n ? 1)Cn ? 0 . n n
k ?1 10. (1)已知 k、n ? N * , 且 k≤n ,求证: kCk ? nCn ?1 ; n

(2)设数列 a 0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,…) . 证 明 : 对 任 意 的 正 整 数 n ,

n p( x) ? a0C0 (1 ? x)n ? a1C1 x(1 ? x)n?1 ? a2C2 x2 (1 ? x)n?2 ? ??? ? anCn xn 是 n n n

关于 x 的一次式. 小结与作业 教学思考(实际教学效果及改进设想)

4

5


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