陕西省西安一中11-12学年高一下学期期末考试数学试题

姓 班

名： 级：

考试号： 试 场：

西安市第一中学 2011-2012 学年度第二学期期末 高一年级数学（必修 4）试题
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1．若 sin ? cos ? ? 0 ，且 cos ? ? 0 ，则角 ? 是(
A .第一象限角 B . 第二象限角

座位号：

)
C .第三象限角
D .第四象限角

? 2．若 sin ( ? ? ) ?
1 2

1 ? , ? ? ( ? ,0) ，则 tan ? 等于( 2 2
B .?

)

A. ?

3 2

C .? 3

D. ?

3 3

3．在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(
A . e1 ? (0,0) e2 ? (1,?6) B . e1 ? (?1,2)
D . e1 ? (2,?3)

)

e2 ? (5,?1)
1 3 e 2 ? ( ,? ) 2 4

C . e1 ? (3,5) e2 ? (6,10)

?? ? 4．已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ，则该函数的图象（ ?? ?
A .关于点 ? ，? 对称 0

）

?? ??

? ?

B .关于直线 x ?

? 对称 ? ? 对称 ?

?? ? C .关于点 ? ，? 对称 0 ?? ?

D .关于直线 x ?

2 sin2? cos2 ? ? ? ( 5． 1 ? cos 2? cos 2?
A . tan ? B . tan 2?

)

C .1

D.

1 2
)
?

y 1?

6．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 (
A . y ? sin (x ?

?
6

)

B . y ? sin( x ? 2

?
6

?
6

)

C . y ? cos(4 x ?

?
3

)

D . y ? cos(2 x ?

?
6

O ? ?1

? 12

x

)

7．将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度,再把所得各点的横 10 坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )

?

A . y ? sin(2 x ?

?
10

)

B . y ? sin(2 x ? D . y ? sin( x ?

?
5

) )

1 ? C . y ? sin( 2 x ? 10 )

1 2

?

20

8． ?ABC 的三边分别为 a, b, c ,且满足 b 2 ? ac , 2b ? a ? c ，则此三角形是(
A .等腰三角形 B .直角三角形

)

C .等腰直角三角形

D .等边三角形

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ?1 2 ? ?4? ?14? 9．定义运算 ?c d ? ? ? f ? ? ?ce ? df ? ,如 ?0 3? ? ?5 ? ? ?15? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?sin ? cos ? ? ?cos ? ? 已知 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 ,则 ? ??? ?? ?cos ? sin ? ? ?sin ? ?
A.? ? 0

(

)

?0 ? ? ?

B .? ? 1

?0 ? ? ?

?1 ? C .? ? ?0 ?

D.? ? 1

?1? ??

10． O 是平面内的一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点.动点 P 满足

OP ? OA ? ?( AB ? AC), ? ?[0,??), 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC的(
A .外心 B .垂心

)

C .内心

D .重心

二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 11． 3 cos15? ? sin15? 的值等于 ．K$s*5u

f ( x) ? 2 sin( ? 2 x) 6 12．函数 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是___________________. ? ? ? ? 13．若 a ? 3 , b ? 2 ，且 a 与 b 的夹角为 60 0 ，则 a ? b ? ．
14．D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的中点，且 ???? ? ???? ? 1? ??? ? ??? ? ? ? 1? ? CB ? a,CA ? b ，给出下列命题：① AD ? ? a ? b ；② BE ? ?a ? b ； 2 2 ???? ???? ??? ? ? ? ??? 1 ? 1 ? ? ③ CF ? a ? b ；④ AD ? BE ? CF ? 0 ，其中正确命题的序号为 2 2 ?? ?? ? ?? ? a1 , a2 ,? , an 15．若对个向量 ，存在个不全为零的实数 k1 , k2 ?, kn ，使得 ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? k1 a1 ? k2 a2 ? ? ? kn an 0 a1 , a2 ,? , an = 成立，则称向量 为“线性相关”.依此规定，请你 求出一组实数 k1 , k2 , k3 的值，它能说明 a1 =(1,0), a 2 =(1,－1), a 3 =(2,2) “线性相

?

关”. k1 , k2 , k3 的值分别是_____，______，______； （写出一组即可）. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 50 分) 16．(本大题满分 8 分)

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 已知角 ? 终边上一点 P（－4，3） ，求 的值； 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2
17．(本大题满分 8 分) ? 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ． ? ? ? ? （1）求 a ? 3b 以及 | a ? 3b | 的值； ? ? ? ? （2）当 k 为何值时， ka ? b 与 a ? 3b 平行？ 18．(本大题满分 8 分) 在社会实践中,小明观察一棵桃树。 他在点 A 处发现桃树顶端点 C 的仰角大小为 45? ,往正前方走 4 米后,在点 B 处发现桃树顶端 点 C 的仰角大小为 75? . （1） 求 BC 的长; （2） 若小明身高为 1.70 米,求这棵桃树顶端点 C 离地面的高 度(精确到 0.01 米,其中 3 ? 1.732 ). 19．(本大题满分 8 分) 某简谐运动得到形如 y ? A sin(?x ? ? ) 的关系式，其中：振幅为 4，周期为 6 ? ，初相 ? 为? ； 3 （1）写出这个函数的关系式； （2）用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象．

?

20．(本大题满分 9 分) 写出两角差的余弦公式，并证明 K$s*5u

21．(本大题满分 9 分)

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数

(1) 当 m=0 时，求

f ? x?

? ? 3? ? ? ， ? 在区间 ? 8 4 ? 上的取值范围；
3 5 ，求 m 的值。

(2) 当 tan a ? 2 时，

f ?a? ?

2012 学年第二学期西安市第一中学试高一数学（必修 4）答案
一．选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 2 3 4 5 6 7 8 题号 1 D B A B D C D 选项 C 二．填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 11. 2
? 5? [ , ] 12. 3 6

9 A

10 D

13.

7
K$s*5u

14. ②③④

15. 只要满足 k1 : k2 : k3 ? (?4) : 2 :1 即可

三、解答题(本大题共 6 小题，共 50 分) 16．∵ tan ? ?
y 3 ? ? K$s*5u x 4

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 3 2 ∴ ? ? tan? ? ? 11? 9? ? sin ? ? cos? 4 cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

? ? 17．解： （1） a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ，K$s*5u
? ? | a ? 3b |? 102 ? ( ?4) 2 ? 2 29 ；
（2）? ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) ， 当 (ka ? b ) // (a ? 3b ) 时， ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ，

?

?

?

?

?

?

x
1 ? x? 3 3 1 ? y ? 4sin( x ? ) 3 3

?
0 0

5? 2

4?

? 2
4

?
0

11? 2 3? 2
?4

7?
2?

1 3 18．解: ( I )在 ?ABC 中 ,
得k ? ? ．

?CAB ? 45? , 又?DBC ? 75?,
则

0

?ACB ? 75? ? 45? ? 30?

由正弦定理得到,

BC AB ? , ? sin 45 sin 30?

将 AB=4 代入上式, 得到 BC ? 4 2 (米) ( II ) 在 ?CBD 中, ?CDB ? 90? , BC ? 4 2 ,所以 DC ? 4 2 sin 75? 因为 sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ? sin 45? cos30? ? cos45? sin 30? , 得到 sin 75? ?
6? 2 , 4

则 DC ? 2 ? 2 3 , 所以 DE ? 3.70 ? 2 3 ? 3.70 ? 3.464 ? 7.16 (米)

答:BC 的长为 4 2 米;桃树顶端点 C 离地面的高度为 7.16 米。
1 ? 19．解： （Ⅰ）这个函数的关系式为： y ? 4sin( x ? ) ； 3 3
（Ⅱ） （一）列表：

（二）描点； （三）连线；图象如图： y 4

O -4

?

5? 2

11? 2
4? 7? x

（Ⅲ）把函数 y ? sin x 的图象向右平移

? 个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 3 3

倍（纵坐标不变） ，然后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）就可以得到

1 ? y ? 4sin( x ? ) 得图象． 3 3

20． （Ⅰ）略 （Ⅱ）由题意，设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S＝
1 1 bcsinA＝ 2 2 ??? ???? ? AB ? AC ＝bccosA＝3＞0

∴A∈(0,

? ),cosA＝3sinA 2
10 3 10 ,cosA＝ 10 10

又 sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝
3 4 由题意，cosB＝ ,得 sinB＝ 5 5

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝

10 10 10 10

故 cosC＝cos[π －(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－ 21．解： （1）当 m=0 时， f ( x) ? (1 ?

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

1 ? ? 3? ? ? 5? ? ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ， 由 已 知 x ? [ , ] ， 得 2 x ? ? ?0, ?, 所 以 2 4 8 4 4 ? 4?

sin(2 x ?

?

? 2 ? 1? 2 ) ? ?? ,1? ，从而得 f ( x) 的值域为 [0, ] 4 2 ? 2 ?

cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得： f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 3 2sin a cos a 2 tan a 4 ? ? ， cos 2a ? ? ， 当 tan ? ? 2 ，得 sin 2a ? 2 2 2 5 sin a ? cos a 1 ? tan a 5

（2） f ( x) ? (1 ?

代入上式，m=-2. K$s*5u