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递推数列通项求法七种常用策略(高考系列)


递推数列通项求法
七种常用策略
作者:卡斯特路

作者QQ:26298820 数学之家QQ群:57612654 论坛:http://www.2math.cn

前言
数列是高中知识的难点之一,本课件 讲述递推数列求通项方法,由于数列的多 变,这里所讲述的方法,所求的数列,也 只适用于一些常见的数列,基础的数列, 一般可以为解答较难的数列作铺垫,对于 其他有高难度的数列,通项不一定都可以 求出,因此本课件涉及的数列,都是简单 难度的数列.

策略一览
①累加法 ②累乘法 ③待定系数法 ④两边取对数 ⑤两边取倒数 ⑥特征根法 ⑦两边同除式子法

问题一:已知Sn,求an
已知Sn 求an 例 Sn = n + n
2

当n = 1时, a1 = S1 = 2 当n ≥ 2时, an = Sn Sn1 = n2 + n (n 1)2 (n 1) = 2n n = 1, 代入an = 2n符合情况 所以an = 2n, n ∈ N
*

问题二:

an=pan-1+q(p,q为常数型)

a n = 2 a n 1 + 3, a 1 = 1 使用待定系数法 a n + C = 2 ( a n 1 + C ) C 是 常 数 a n = 2 a n 1 + C an + 3 C = 3, = 2 a n 1 + 3 令 b n = a n + 3, 且 易 知 b1 = 4 显 然 b n 是 等 比 数 列 , b n = 4 2 n 1 = 2 n +1 an = 2
n +1

3, n ∈ N

*

问题三:

an=pan-1+qn(p,q为常数型)

an = 2an 1 + 3n, a1 = 1 使用待定系数法 an + Cn + D = 2[an 1 + C (n 1) + D]C , D是常数 an = 2an 1 + Cn 2C + D an + 3n + 6 C = 3, 2C + D = 0, 所以D = 6, =2 an 1 + 3(n 1) + 6 令bn = an + 3n + 6, 且易知b1 = 10 显然bn是等比数列,bn = 10 2n 1 = 5 2n an = 5 2n 3n 6, n ∈ N *

变式:

an=an-1+qn(q为常数)

an = an 1 + 3n, a1 = 1 使用累加法 an an 1 = 3n a a = 3( n 1) n 1 n 2 ...... ...... a2 a1 = 3i2 上述各式累加得到,an a1 = 3(2 + 3 + .... + n) n2 + n 3n 2 + 3n 4 an = 1 + 3( 1) = ,n∈ N* 2 2

问题四:

an=pan-1+q (p,q为常数型)
n

解法( 解法(一)

an = 2an 1 + 3n , a1 = 1 两边同除以3n , an an 1 an 2 an 1 = 2 n + 1, 巧妙变化: n = i n 1 + 1 n 3 3 3 3 3 an 1 令bn = n , 且易知b1 = 3 3 使用待定系数法 2 bn + C = (bn 1 + C ), C是常数, 解得C = 3 3

问题四:

an=pan-1+q (p,q为常数型)
n

解法( 解法(一)

bn 3 2 8 = , 令xn = bn 3, 且易知x1 = bn 1 3 3 3 8 2 n 1 2 n xn是等比数列, 所以xn = i( ) = (4)i( ) 3 3 3 2 n bn = (4)i( ) + 3 3 2 n n an = 3 [(4)i( ) + 3] = (4)i2n + 3n +1 , n ∈ N * 3

问题四:
a n = 2 a n 1

an=pan-1+q (p,q为常数型)
n

解法( 解法(二) + 3 n , a1 = 1

使用待定系数法 a n + C i 3 n = 2[ a n 1 + C i 3 n 1 ]C 是 常 数 a n = 2 a n 1 2 + ( C C ) i3 n , C = 3 3

a n 3 i3 n = 2 n 1 a n 1 3 i 3 令 b n = a n 3 i 3 n , 且 易 知 b1 = 8 显 然 b n 是 等 比 数 列 , bn = 8 2 n 1 = ( 4 ) 2 n a n = ( 4 ) 2 n + 3 n +1 , n ∈ N *

问题五:(

an) =an-1(k为常数型)
k

解法( 解法(一)
(an ) 2 = an 1 , a1 = 2, an > 0 两边开方,使用累乘法
1 an = an 1 2 1 1 an 1 2 = an 2 4 1 1 an 2 4 = an 3 8 ...... ...... 1 1 n n1 a 2 = a 2 1 2

各式累乘得到:an = a

1 ( )n1 2 1

=2

1 ( )n1 2

,n∈ N*

问题五:(

an) =an-1(k为常数型)
k

解法( 解法(二)

(an ) 2 = an 1 , a1 = 2, an > 0 两边取对数,有 lg(an ) 2 = lg an 1 , 根据对数的性质有2 lg an = lg an 1 , lg an 1 = , 令bn = lg an , 易知b1 = lg 2 lg an 1 2 1 n 1 1 n 1 bn是等比数列, bn = lg 2 ( ) ,因此 lg an = lg 2 ( ) , 2 2 an = 10
1 lg 2( )n1 2

=2

1 ( )n1 2

,n∈ N*

问题六: n=A

a

an-1+Ban-2 (A,B为常数型)

此数列一般式用待定系数法凑配如下: an = Aan 1 + Ban 2 an α an 1 = β (an 1 α an 2 ) α + β = A αβ = B 解出α 和β 即可

问题六: n=A

a

an-1+Ban-2 (A,B为常数型)

2 a n = a n 1 + a n 2 , a1 = 1, a 2 = 2, 使用待定系数法 a n α a n 1 = β ( a n 1 α a n 2 ) 1 α = 1 α + β = 2 1 αβ = 1 β = 2 2 a n a n 1 1 = , 令 bn 1 = a n a n 1 , 易 知 b1 = 1 a n 1 a n 2 2 1 n 1 1 n2 bn 是 等 比 数 列 , 所 以 bn = ( ) , bn 1 = ( ) 2 2

问题六: n=A

a

an-1+Ban-2 (A,B为常数型)

1 n2 a n a n 1 = ( 2 ) a a = ( 1 ) n 3 n2 1 n2 n 1 2 1 ( ) 2 ...... a n a1 = 1 3 ...... 1 0 a 2 a1 = ( 2 ) 5 1 1 n2 an = + ( ) , n ∈ N * 3 3 2

问题七:

Aan-1 an = Can-1+D (A,C,D为常数型)
an 1 an = , a1 = 1 2an 1 + 1 两边取倒数 1 2an 1 + 1 = an an 1 1 1 1 = 2, 令bn = , 易知b1 = 1 an an 1 an 1 bn为等差数列, 所以bn = n, an = , n ∈ N * n

问题八: Aan-1+B n= (A,B,C,D为常数型)

a

an

A a n 1 + B = , a1 = m ( m 是 常 数 ) C a n 1 + D

Can-1+D

特征根法 Aα + B α = 推导过程省略 Cα + D B α D ( A α C ) [ a n 1 + ] A αC an α = C a n 1 + D 再使用两边取倒数法即可解决

小结
以上为我总结的数列通项求法,综上所 述,这些题目的通法都是七种策略互相配 合使用,由于我的水平有限,再加上编写 仓促,因此有不完善的地方,或者需要改 进的地方,请与我联系(QQ:26298820) , 感谢您的意见建议,也同时希望这些方法 对您有帮助.

谢谢观看!
作者:卡斯特路 QQ:26298820 数学之家QQ群:57612654 论坛:http://www.2math.cn

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