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河北省保定市安国中学高一数学下学期期中试题-课件


2015—2016 学年第二学期期中考试 高一数学试卷
考试时间 120 分钟 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 ( A.15 B.30 C.31 D.64 ) 分值 150 分

2.在△ABC 中,a=2,b=2 ,B=45°,则 A 等于(

) A.30° B.60° C.60°或 120° D.30°或 150° 3.若 a ? b, c ? d ,则下列不等式成立的是( A.
a b ? c d

) D. a ? c ? b ? d )

B. ac ? bd

C. a 2 ? c 2 ? b2 ? d 2

4.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5 ,则 cos A 的值为( A、

3 5
2

B、

4 5

C、 0 )

D、 1

5.不等式 2 x ? x ? 3 ? 0 的解集为 ( A. {x | x ?

3 3 3 或x ? ?1} B. {x | ?1 ? x ? } C. {x | ? ? x ? 1} 2 2 2


D. {x | x ? 1或x ? ? }

3 2

6.已知 a ? b ,那么下列不等式中正确的是( A. a ? b B. a 2 ? b 2 C. a ? b

D. a ? b

7.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn
D.



A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1
2 2

C.

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4

8.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 9.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 m : x ? 2 y ? 3=0 垂直,则 sin 2? ? ( A. )

2

4 4 5 C. ? D. ? 5 5 4 10.已知直线 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 恒过定点 A,点 A 也在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m、n 均为正数,则 1 2 ) ? 的最小值为( m n
B. A.2 B.4 C.6 D.8 ) 11.在区间 (1,2) 上,不等式 ? x 2 ? mx ? 4 ? 0 有解,则 m 的取值范围为(

5 4

1

A. m ? ?4

B. m ? ?4

C. m ? ?5

D. m ? ?5

12.如图,已知 A(4, 0), B(0, 4) ,从点 P (2, 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到 直线 OB 上,最后经直线 OB 反射又回到 P 点,则光线所经过的路程是( A. 2 10 B. 6 C. 3 3 D. 2 5 )

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则

a =_ b

_ 的直线方程为

14.与直线 2x+y+1=0 的距离为

15.若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值___________ 16.若数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 an ? ________________ 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 . (Ⅰ)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)建 造一个容积为 18m , 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m 的造价 分别为 200 元和 150 元,如何 设计水池的长和宽能使得水池的造价最低?最低造价是多少? 19. (本小题满分 12 分) 已知各项均不为零的数列 ?an ? 满足: 且 a1 ? 2 , 8a4 ? a7 . an ? 2 an ? an +12 n ? N * , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?
3 2

?

?

an ? n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? n ? 1? 2n

20. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的所对的边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 . (Ⅰ)求 tan ? C ?

? ?

π? ? 的值; 4?

(Ⅱ)若 c ? 3 ,求 S ?ABC 的最大值. 21. (本小题满分 12 分)如图, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AC ? 3DC .

2

(I)若 ?DAC ? 30? ,求角 B 的大小; (II)若 BD ? 2 DC ,且 AD ? 2 2 ,求 DC 的长. 22 . (本小题满分 12 分)数列 {an } 的通项 an 是关于 x 的不等式 x 2 ? x ? nx 的解集中正整数的个数,

f ( n) ?

1 1 1 . ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n
an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; 2n

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? (3)求证:对 n ? 2 且 n ? N * 恒有

7 ? f ( n) ? 1 . 12

3

高一数学参考答案 1.A 由等差数列性质可得 a7 ? a9 ? a4 ? a12 ? a12 ? 15 2.A ∵由正弦定理可得:sinA= = = ,又∵a=2<b=2 ,∴A<B,∴可解得:A=30°

3.D 由同向不等式的可加性可知,当 a ? b, c ? d 时有 a ? c ? b ? d 4 . B 由 正 弦 定 理 可 知 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5, ? ?ABC 是 直 角 三 角 形 ,

C ? 90 0 ? cos A ?
5.A 6.D

b 4 ? . c 5

7.B

(2n ? 1) (a1 ? a 2 n ?1 ) a S 2n ? 1 a n 2a n a1 ? a 2 n ?1 S 2 试题分析:因为 . ? ? ? ? 2 n ?1 ,所以 n ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) bn T2 n ?1 3n ? 1 bn 2bn b1 ? b2 n ?1 T2 n ?1 (b1 ? b2 n ?1 ) 2
由正弦定理,得 a +b <c ,∴cos C=
2 2 2

8.C

a 2 ? b2 ? c2 <0,则 C 为钝角 2ab
1 5 2 5 , 所 以 sin ? ? , 所 以 sin 2? = , cos ? ? ? 5 5 2

9.C

因 为 直 线 l 与 m 垂 直 , 所 以 tan ? ? ?

2sin ? cos ? ? 2 ?
10 . D

5 2 5 4 ? (? ) ? ? ,故选 C. 5 5 5

kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 变 形 为 k ? x ? 2 ? ? y ? 1 , 所 以 过 定 点

? ?2, ?1?

, 代 入 直 线 得

2m ? n ? 1 ?
值8 11.C

n 4m 1 2 ? 1 2? n 4m 时等号成立,取得最小 ? ? ? ? ? ? 2m ? n ? ? 4 ? ? ? 4 ? 2 4 ? 8 ,当且仅当 ? m n m n ?m n? m n

因为 x ? ?1,2 ? ,则可将原不等式化简为 m ? ?? x ?

? ?

4? 4? ? ? ,记 f ?x ? ? ?? x ? ? ,那么 f ?x ? 在区间 ?1,2 ? 上单 x? x? ?

调递增且 f ?x ? ? ? f ?1?, f ?2?? ? ?? 5,?4? ,原不等式有解,则有 m ? ?5 . 12 . A 作出点 P 关于直线 AB 的对称点 P 2 ,路程即为线段 P 1 , P 关于 y 轴的对称点 P 1P 2 的长,易求得

P 1P 2 ? 2 10 ,选 A.
13.2. 将 bcosC+ccosB=2b , 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 : sinBcosC+sinCcosB=2sinB , 即 sin ( B+C )

=2sinB , ∵ sin ( B+C ) =sinA , ∴ sinA=2sinB , 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 : a=2b , 则 14.2x+y=0 或 2x+y+2=0. 则 = ,解得 k=0 或 k=2 设与直线 2x+y+1=0 的距离为

a ?2 b

的直线方程为 2x+y+k=0,

15.

2 3 3

? ? x ? y ? ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 1 ? xy ? 2 xy ? 1 ? xy , ? ? x ? y ? ? 1 ? xy .? xy ?
2

2

? x ? y?
4

2

,
1

?? x ? y ?

2

? x ? y? ?1 ?
4

2

,解得 ? x ? y ? ?
2

4 2 3 2 3 2 3 ,所以 ? .则 x ? y 的最大值为 . ? x? y ? 3 3 3 3

16. an ? ?

? 3, n ? 1 ?2n, n ? 2

17. (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 ,得 x 2 ? 5 x ? 6 <0.( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,所以 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R,则有 ? ? a 2 ? 4 ? 6 ? 0 . 解得 ? 2 6 ? a ? 2 6 ,即实数 a 的取值范围是 (?2 6 ,2 6 ) . 18 . 设水池的底边长为 x 米,则宽为

(? 3, ? 2)

5分 7分 10 分

18 9 ? 米,水池的造价为 y 元,那么 2x x
(x ?0) 6分

9 y ? 200 ? 9 ? 2(2 x ? 2 ? ) ?150 x

? 1800 ? 4 2 x ?
当且仅当 2 x ?

18 ? 150 ? 5400 x

10 分

18 时等号成立,此时长为 x ? 3 ,宽为 3 米. x
12 分 设 公 比 为 q , 又 6分

所以,当水池的底面是 3 米的正方形时,水池的造价最低,最低造价为 5400 元. 19 .( Ⅰ ), an ? 2 an ? an +12 n ? N *

?

?

, 所 以 数 列

?an ?

是 等 比 数 列 ,

a1 ? 2 , 8a4 ? a7 ? 8a1q3 ? a1q 6 ? q ? 2 , 所以, an ? a1q n ?1 ? 2n n ? N *
(Ⅱ)由(Ⅰ) , an ? 2 , bn ?
n

?

?
9分

an 1 1 1 , ? ? ? n n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? n n ? 1
? ? 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?

数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?

? 1?
12 分

1 n . ? n ?1 n ?1

20. (Ⅰ)∵ a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab , ∴ cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2

∵C 为△ABC 内角, ∴ C ?

π , 3

3分

则 tan ? C ?

? ?

π? 3 ?1 ?π π? ? 2? 3; ? ? tan ? ? ? ? 4? ? 3 4 ? 1? 3

6分 8分 10 分

(Ⅱ)由 ab ? 3 ? a 2 ? b2 ? 2ab ,得 ab ? 3 , ∵ S?ABC ?

3 3 1 3 , ab sin C ? ab ,∴ S?ABC ? 4 2 4

2

当且仅当 a ? b ? 3 时“ ? ”成立, 则 S△ABC 的最大值是 21. (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理,有

3 3 . 4

12 分

AC DC . ? sin ?ADC sin ?DAC

因为 AC ? 3DC ,所以 sin ?ADC ? 3 sin ?DAC ?

3 . 2

3分

又 ?ADC ? ?B ? ?BAD ? ?B ? 60? ? 60? 所以 ?ADC ? 120° . 于是 ?C ? 180 ? ? 120 ? ? 30 ? ? 30 ? ,所以 ?B ? 60° . (Ⅱ)设 DC ? x ,则 BD ? 2 x , BC ? 3x , AC ? 3 x .于是 sin B ? 中,由余弦定理,得 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB ? BD cos B , 即 (2 2) 2 ? 6 x 2 ? 4 x 2 ? 2 ? 6 x ? 2 x ? 得 x ? 2 .故 DC ? 2. 22(1) x 2 ? x ? nx 等价于 x( x ? n ? 1) ? 0 ,解得 x ? (0, n ? 1) 其中有正整数 n 个,于是 an ? n

6分

AC 3 6 , cos B ? , AB ? 6 x. 在 ?ABD ? BC 3 3

6 ? 2 x2 , 3

9分 12 分

3分

n 1 1 1 1 ? n ? ( )n Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ? 1? ? 2 ? ( )2 ? … ? n ? ( )n n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? … ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 两式相减得 Sn ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2
(2) bn ? 故 Sn

1 1 1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n =2 ? (n ? 2)( ) n 2 2 2

7分

( 3 ) 9分

f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? …? ? ? ? …? ? ? ?L ? ? 1 an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n n n n

由 f ( n) ?

1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? ? ? …? an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 n?n

1 1 1 1 1 ? ?…? + + n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 于是 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) 当 n ? 2 且 n ? N * 时为增函数? f (n) ? f (2) ? 12 7 综上可知 ? f ( n) ? 1 12
知 f (n +1) ?

11 分 12 分

3


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