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公开课课件--《千古谜题--伽罗瓦的解答


第七章: 第七章:千古谜题 ---------伽罗瓦的解答 伽罗瓦的解答
瑞安中学 李 敏

千古谜题: 千古谜题:
2000多年来,古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着数学家 多年来, 多年来 把一个已知角三等分 (1)三等分任意角 ------把一个已知角三等分 ) ------作一个立方体,使它的体积 作一个立方体, 作一个立方体 是已知立方体的体积的2 倍 是已知立方体的体积的 (3)化圆为方 ) ------作一个正方形,使它的面 作一个正方形, 作一个正方形 积等于已知圆的面积

(2)倍立方 )

古希腊三大尺规作图问题的由来
1。三等分任意角 问题历史上找不出有关来源的记载 2。倍立方:相传大约在公元前430年,古希腊的雅 典流行着黑死病。为了消除灾难,雅典人向太阳神 阿波罗求助,阿波罗提出要求,必须将他神殿前的 立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行。 雅典人百思不得其解,即使当时最伟大的学者柏拉 图也感到无能为力。 3。“化圆为方”问题由一个名叫安拉客萨歌拉的 才子提出。相传公元前5世纪,安拉客萨歌拉对别 人说:“太阳并非一尊神,而是一个非常大非常大 的大火球。”结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给 关在牢里。也许是为了打发无聊的铁窗生活,抑或 是为了发泄一下自己不满的情绪,于是他提出了一 个数学问题:“怎样做出一个正方形,才能使它的 面积与某一个已知圆的面积相等呢?”

千古谜题: 千古谜题:
2000多年来,古希腊三大尺规作图的几何问题始终困饶着数学家 多年来, 多年来 (1)三等分任意角 ----- 把一个已知角三等分 ) ------作一个立方体,使它的体积 作一个立方体, 作一个立方体 是已知立方体的体积的2 是已知立方体的体积的 倍 (3)化圆为方 ) ----- 作一个正方形,使它的面 作一个正方形, 积等于已知圆的面积 古希腊三大几何难题的特点是: 古希腊三大几何难题的特点是: 三大几何难题的特点是 1。表述很简单、直观。 2。尺规作图要求非常苛刻。 。表述很简单、直观。 。尺规作图要求非常苛刻。 (1)要用没有刻度的直尺和圆规,不能在直尺上 做记号,更不能够折叠作图纸。 (2)直尺和圆规只能有限次地使用

(2)倍立方 )

早期数学家的努力 公元前15世纪下半叶 化圆为方 希波克拉底 巧辨派的代表 人物安蒂丰 古希腊穷竭法的 始祖 化月牙形为方

倍立方问题

柏拉图学派

圆锥曲线

2000多年来,古希腊三大尺规作图问题: 多年来,古希腊三大尺规作图问题: 多年来 (1)三等分任意角 ) (2)倍立方 ) (3)化圆为方 )

现代的眼光看

求方程根的问题! 求方程根的问题!
(1)三等分任意角 设已知某角的角度为 )三等分任意角:设已知某角的角度为 则
3

cos( 3θ ) = 4 cos θ 3 cos θ = a 令 cos θ = x 即问题转化为解方程: 即问题转化为解方程: 4 x 3 3 x = a(a为已知数) , 为已知数)
(2)倍立方 ) (3)化圆为方 )

3θ,得 cos( 3θ ) = a

x =2 2 x =π
3

x= 2 x= π
3

早在古巴比伦时代,人们已经 早在古巴比伦时代 人们已经 掌握了解一次、二次方程的方法: 掌握了解一次、二次方程的方法:

公元9世纪 “代数学”algebra) 代数学”algebra) 这个词来源于花拉 子米所著的一本书

花拉子米

系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式 系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式

悲观派 乐天派

1494年,意大利数学家 年 意大利数学家 帕西奥利 意大利波伦大学 教授费罗

根本不可能

= x + mx n
3

m, n为正数
学生: 学生:菲奥尔

费罗

1510年,菲奥尔掌握 年 菲奥尔掌握 菲奥尔掌握:

x + mx = n
3

m , n 为正数
1534年,塔尔塔利亚宣称自己已 年 塔尔塔利亚 塔尔塔利亚宣称自己已 掌握了形如

x + mx = n
3 2

这类没有一次项的三次方程的解法

塔尔塔利亚

世界上第一次数学竞赛
菲奥尔 塔尔塔利亚

数学竞赛时间:1535年2月13日 年 月 日 数学竞赛时间 数学竞赛地点:意大利 意大利---米兰 数学竞赛地点 意大利 米兰 规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方 规则 双方各出三十个三次方程的问题给对方. 双方各出三十个三次方程的问题给对方 最终结果 0:30 菲奥尔 输给了 塔尔塔利亚 比赛前: 比赛前 菲奥尔 塔尔塔利亚 固步不前,没有得到新的突破 固步不前 没有得到新的突破 夜以继日,冥思苦想 取得突破 夜以继日 冥思苦想,取得突破 冥思苦想

塔尔塔利亚为这次胜利所激励, 塔尔塔利亚为这次胜利所激励,更 加热心于研究一般三次方程的解法 经过6年的不懈努力, 经过 年的不懈努力,终于解决 年的不懈努力 了三次方程的一般解法。 了三次方程的一般解法。 身残志坚
塔尔塔利亚像

独具慧眼 勇于创新

数学史上称三次方程的求根公式为:

“卡尔达诺”公式

一位颇受欢迎的医生 哲学家和数学家, 哲学家和数学家, 占星术家

塔尔塔利亚

卡尔达诺

撰写代数著作《大术》 撰写代数著作《大术》

1545年卡尔达诺出版《大术》一书,将三次方程解 年卡尔达诺出版《大术》一书, 年卡尔达诺出版 的解法公诸于众,从而使自己在数学界声名鹊起。 的解法公诸于众,从而使自己在数学界声名鹊起。

ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2

b , 相当于令 x = y 代入原方程 2a b b 2 即得: ) + b( y ) +c=0 即得: a ( y 2a 2a
2 2

b 2 4ac b a( x + ) + =0 2a 4a
2

b b ay 展开整理得: by + + by + c = 0 4a 2a

2

y

2

=

b

2

4 ac 2 4a
2

消掉一次项,成为 了缺项的二次方程
2

b 4ac b b ± b 4ac x=± = 2a 2a 2a

b 3 b 2 b 即得: 即得:a ( y ) + b( y ) + c( y ) + d = 0 3a 3a 3a

b 代入方程 ax + bx + cx + d = 0 , 令 x = y 3a
3 2

展开得:

b2 b3 2b 2 b3 cb 3 2 2 (ay by + y ) + (by y + 2 ) + (cy ) + d = 0 2 3a 27a 3a 9a 3a

整理得:ay 3 + ( c b ) y + 2 b cb + d = 0
3a 27 3a
y
3

2

3

c b2 2b 3 cb d )y + + ( + = 0 2 2 a 3a 27 a 3a a

缺项的三次方程

卡尔达诺的公式: 解 x 3 + mx = n

的法则: 的法则:

系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方; 用 x 系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方;求这整个算 式的平方根。复制(重复)这一算式, 式的平方根。复制(重复)这一算式,并在第一个算式中加上方 程常数的一半,从第二个算式中减去同一数的一半,然后, 程常数的一半,从第二个算式中减去同一数的一半,然后,用第 一个算式的立方根减去第二个算式的立方根, 的值。 一个算式的立方根减去第二个算式的立方根,其差即为 x 的值。

x=3

n m 3 n 2 3 n m 3 n 2 + ( ) +( ) + ( ) +( ) 2 3 2 2 3 2

问题 2:求方程 x 15 x + 81 x 175 = 0的根
3 2

令 x = y + 5 代入方程 3 2 即得: ( 即得:y + 5) 15( y + 5) + 81( y + 5) 175 = 0
,

整理得: 整理得: y + 6 y 20 = 0
3

即:y + 6 y = 20
3

y = 10 + 108 10 + 108
3 3

即得一个根是 x = y + 5 = 7

费拉里发现的一元四次方程的解法 b 4 3 2 ax + bx + cx + dx + e, = 0 ,令 x = y

x 消掉含 x 的项可以 变形成形如:
然后寻找一个数
2 2 2

3

4

= px + qx + r
2

4a

代入方程

( x + a ) = ( p + 2a ) x + qx + r + a
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0, 即

a 使得等式的两边配成完全平方形式
2

q 2 = 4( p + 2a )( r + a 2 )
3

整理得: a 8

+ 4 pa + 8ra + 4 pr q = 0
2 2

善于把握从特殊到一般的研究方法, 善于把握从特殊到一般的研究方法 这就是数学家的眼光 这就是数学家的眼光. 眼光 实事求是,不断探索 勇于创新 实事求是 不断探索,勇于创新 不断探索 勇于创新, 这就是数学家的精神 这就是数学家的精神. 精神

三次方程问题解决了 一般的五次方程问题? 一般的五次方程问题? 四次方程问题解决了

五次方程问题屡解屡败

拉格朗日

20年过去了,高次方程的求根公式问题仍未解决 年过去了, 年过去了

《群论》
群论的开山祖师 阿贝尔 一般的5次或 次以上 一般的 次或5次以上 次或 的方程不能公式求解 彻底解决了代数方程公式可 解性的判断。 解性的判断。 伽罗 瓦

遗留问题: 遗留问题:判定一个具 体数字系数的高次代数 方程能否用根号求解的 准则问题? 准则问题?

旷世奇才

阿贝尔 16岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗 岁阅读牛顿、欧拉、 岁阅读牛顿 高斯的著作, 日、高斯的著作,并开始研究 五次方程的问题 19岁,阿贝尔进入奥斯陆大 岁 学学习 ,22岁,阿贝尔证明了 岁 五次或五次以上的代数问题

伽罗 瓦 15岁研究高等数学如勒让德的 岁研究高等数学如勒让德的 几何原理》和拉格朗日的《 《几何原理》和拉格朗日的《代 数方程的解法》 数方程的解法》、《解析函数 微积分学教程》 论》、《微积分学教程》 17岁在法国第一个专业数学 岁在法国第一个专业数学 杂志发论文.18岁 杂志发论文 岁,把他研究的初 步结果的论文提交给法国科学院

旷世奇才 命运多舛 名垂千古
阿贝尔 一直怀才不遇,失业, 一直怀才不遇,失业,受数 学大师的冷落,病魔缠生, 学大师的冷落,病魔缠生, 27岁,最后抑郁而死。 岁 最后抑郁而死。 伽罗 瓦 18岁,报考巴黎综合技术落选。 岁 报考巴黎综合技术落选。 二次把《群论》交给法国科学院, 二次把《群论》交给法国科学院, 分别被柯西、傅立叶遗失,第三 傅立叶遗失, 分别被 傅立叶遗失 次上交被泊松所拒绝。 次上交被泊松所拒绝。 父亲自杀。开除出大学,多次由 于政治原因被捕入狱,20岁悲惨 的死于与无赖的决斗中。

阿贝尔 在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像,这是一个大无畏的青年的形象, 在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像,这是一个大无畏的青年的形象, 他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数 他的脚下踩着两个怪物 分别代表五次方程和椭圆函数 2003年挪威政府于设立了一项数学奖 年挪威政府于设立了一项数学奖——阿贝尔奖。 阿贝尔奖。 年挪威政府于设立了一项数学奖 阿贝尔奖

对伽罗瓦评价 评价一: 评价一:犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星 评价二: 评价二:十九世纪数学家中最悲惨的英雄 评价三: 评价三:他的死至少使得数学的发展推迟了几十年

由伽罗瓦得到的启 示:

公元1811年~1832年

启示一:由于他年轻, 启示一:由于他年轻,他才敢于并能够以崭新的方式去思 考, 去描述他的数学世界 启示二:数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因 启示二:

伽罗瓦最主要的成就是: 伽罗瓦最主要的成就是: 1。提出了群的概念并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题 。 2。“群论”是近代数学中最重要的概念,影响多个学科。 。 群论”是近代数学中最重要的概念,影响多个学科。 群的概念: 设G是一个集合,集合内的元素之间可以定义一个二元运算﹡ 如果G满足如下的四条性质: (1)(封闭性)集合中任意两个元素的积仍属于该集合 (2)(结合性)运算满足结合律,即

(a b) c = a (b c )

(3)(存在单位元)集合中存在单位元 ,对集合中任意元素 满足

ea = ae = a

e

a

(4)(存在逆元)对集合中任一元素 a,存在唯一元素 则G连同它的运算﹡称为一个群,记做(G, ﹡)

a 1 a = a a 1 = e

a 1 使得

(1)(封闭性)集合中任意两个元素的积仍属于该集合 (2)(结合性)运算满足结合律,即 ( a b ) c 满足
1

= a (b c )

(3)(存在单位元)集合中存在单位元 ,对集合中任意元素 a

ea = ae = a
1

e

(4)(存在逆元)对集合中任一元素 a ,存在唯一元素a

1

使得

a a = aa

=e

则G连同它的运算﹡称为一个群,记做(G, ﹡) 问题:判断下列集合对于它的运算能否构成群: 问题:判断下列集合对于它的运算能否构成群: (1)偶数集与数的加法运算 ) (2)实数集与数的乘法运算 )

向右转R,向左转L,向后转H,不动I} (3)G={向右转 ,向左转 ,向后转 ,不动 ) 向右转 定义﹡表示两种动作的运算。 定义﹡表示两种动作的运算。

古希腊三大几何问题为什么不能解决呢? 古希腊三大几何问题为什么不能解决呢?

需要其它学科的知识

笛卡尔的解析几何的创立
1837年,法国数学家旺策尔证明了三等分任意角与倍立方都是死题 年 1882年,德国数学家林德曼证明了化圆为方也是死题 年

直尺与圆规

直线和圆

一次和二次方程式

所以要求它们的交点, 所以要求它们的交点,我们至多只要解一个二次方程式就 用有理运算和平方根表示出来。 可以把交点的坐标用有理运算和平方根表示出来。

凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以通过有限次的有理运算 和平方根表示出来。 和平方根表示出来。 《群论》:每个方程的所有根都在一个称为伽罗瓦群里, 群论》 每个方程的所有根都在一个称为伽罗瓦群里, 一次或二次方程组-------平方根,根本不可能得到立方根 平方根, 一次或二次方程组 平方根 而伽罗瓦的群论的可以解析这一点。 而伽罗瓦的群论的可以解析这一点。 三等分任意角和倍立方都会得到一般的立方根(无理数)。 三等分任意角和倍立方都会得到一般的立方根(无理数)。

直尺与圆规不能做出一般的立方根(无理数) 直尺与圆规不能做出一般的立方根(无理数) (1)三等分任意角 ) (2)倍立方 )

4 x 3 3 x = a(a为已知数) , 为已知数)

x =2
3

x= 2
3

三等分任意角和倍立方不可能尺规作图 (3)化圆为方 )

x =π
2

x= π

化圆为方也不可能尺规作图

钦佩

塔尔塔利亚 阿 贝 尔 精神; 伽 罗 瓦 坚持不懈的治学 精神

惊叹 学习

伽罗瓦 数学家们
更高,更快,更强

丰功伟绩; 丰功伟绩 思想和方法. 思想和方法

祝同学们在新的学期里


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