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2009年江西省芦溪中学高三数学二轮复习——直线、圆、圆锥曲线


2009 年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮) 《直线、圆、圆锥曲线》大专题

(学生强化专版)
一、专题热点透析 解析几何是高中数学的重点内容之一, 也是高考考查的热点。 高考着重考查基础知识的综 合,基本方法的灵活运用,数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解 决问题的能力。其中客观题为基础题和中档题,主观题常常是综合性很强的压轴

题。本专题 命题的热点主要有:①直线方程;②线性规划;③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质;④与 函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用 二、热点题型范例 题型一、动点轨迹方程问题 例 1.如图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足:

PM ? PN ? 2.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设 d 为点 P 到直线 l: x ?

PM 1 2 的距离,若 PM ? 2 PN ,求 的值。 2 d

变式: 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹 为C . (Ⅰ) 写出 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点. k 为何值时 OA ? OB ? 此时 AB 的值是多少?

题型二、线性规划问题

?x ? 0 ? 例 2.①若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 ?y ? x ? 2 ?
x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 (
A. ) D.5

3 4

B.1

C.

7 4

② 在平面直 角坐标系 中, 点 A,B,C 的坐标 分别为 (0,,,,, 1) (4 2) (2 6) . 如果 P( x,y) 是

△ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时,点 P 的坐标是 _____
变式:

? x ? y ? 1 ? 0, y ? 1.若实数 x、y 满足 ? x ? 0, 则 的取值范围是( x ? x ? 2, ?
A.(0,2) B.(0,2) C.(2,+∞)



D.[2,+∞)

? x ? 0, ? 2.若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标点 P (a, b) 所形 ?x ? y ? 1 ?
成的平面区域的面积等于 ( (A) ) (C)1 (D)

1 2

(B)

? 4

? 2

题型三、圆锥曲线定义的应用 例 3. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点,若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =
例 4. 已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,
2

过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ) 是否存在实数 k 使 NA NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

变式: 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F : (?2, 0),F : (2, 0), 的曲 点P (3, 7) a 2 b2

线 C 上.(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相 交于不同的两点 E、F,若△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程

题型四、圆锥曲线性质问题 例 5 .① 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 9 16

PF2 ? F1F2 ,则 ?PF1F2 的面积等于( )
(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 96

M 总在椭圆内部,则椭圆离心率 ②已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
的取值范围是( ) A. (0,1) 变式: 1.设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 为( ) A. B. (0, ]

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

1? 2 2

B.
2

1? 3 2

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

2) , 2. 已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点, 线段 AB 的中点为 M (2,
则 △ ABF 的面积等于 题型五、直线与圆锥曲线位置关系问题 例 6.已知抛物线 y ? x 和三个点 M ( x0 , y0 )、P(0, y0 )、N (? x0 , y0 ) ( y0 ? x0 , y0 ? 0) ,过点
2

2

M 的一条直线交抛物线于 A 、 B 两点, AP、BP 的延长线分别交曲线 C 于 E、F .

(1)证明 E、F、N 三点共线; (2)如果 A 、 B 、 M 、 N 四点共线,问:是否存在 y0 ,使 以线段 AB 为直径的圆与抛物线有异于 A 、 B 的交点?如果存在,求出 y0 的取值范围,并求 出该交点到直线 AB 的距离;若不存在,请说明理由.
y

A

F
N P

M

B E O x

例 7 . 已知中心在 原点的双 曲线 C 的一 个焦点 是 (Ⅰ) 求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 若以 k (k ? 0) F1 (?3, 0) ,一条渐近线的方程是 5x ? 2 y ? 0 . 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M ,N ,且线段 MN 的垂直平分线与两坐标 轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

变式:

0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,
点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. y B D O E A

F x

反馈练习:

? y ? x ? 1 ≤ 0, ? 1.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? x ? 1≥ 0, ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. ?4



2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准方 程是( )
2 2

7? ? A. ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

D. ? x ?

? ?

3? 2 ? ? ( y ?1) ? 1 2?

2

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PE2|, a 2 b2
) C.(3,+∞) D. [3,+∞)

则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) B.(1,3) 4.设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 , 2 2 m n
) B.

则此椭圆的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

5.双曲线

x2 a2

y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等, b
) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

则双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2] 6.若双曲线 B. [ 2, ??)

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为( 3 p
(B)3
2

)

(A)2

(C)4
2

(D)4 2

7.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值 为___

x2 y2 8.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径 a b

的圆,过点 ? ?

? a2 ? ,0 ? ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?

9. 过椭圆

x2 y 2 O 为坐标原点, ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点, 5 4

则 △OAB 的面积为 10.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点 和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 11. 已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,C 在直线 l:y ? x ? 2 上, 且 AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

12.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

2009 年江西省芦溪中学 高三数学复习(二轮) 《直线、圆、圆锥曲线》 (教师巧拨专版)
一、专题热点透析

大专题

解析几何是高中数学的重点内容之一, 也是高考考查的热点。 高考着重考查基础知识的综 合,基本方法的灵活运用,数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解 决问题的能力。其中客观题为基础题和中档题,主观题常常是综合性很强的压轴题。本专题 命题的热点主要有:①直线方程;②线性规划;③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质;④与 函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。 二、热点题型范例 题型一、动点轨迹方程问题 例 1.如图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足:

PM ? PN ? 2.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设 d 为点 P 到直线 l: x ?

PM 1 2 的距离,若 PM ? 2 PN ,求 的值。 2 d

解: (I)由双曲线的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长 2a=2 的双曲线.,因此半焦

y2 距 c=2,实半轴 a=1,从而虚半轴 b= 3 ,所以双曲线的方程为 x =1. 3
2-

(II)由(I)及(21)图,易知|PN| ? 1,因|PM|=2|PN|2, 知|PM|>|PN|,故 P 为双曲线右支上的点,所以|PM|=|PN|+2. 将②代入①,得 2||PN|2-|PN|-2=0,解得|PN|= 因为双曲线的离心率 e=

① ②

1 ? 17 1 ? 17 1 ? 17 ,所以|PN|= . , 舍去 4 4 4

c 1 | PN | =2,直线 l:x= 是双曲线的右准线,故 =e=2, a 2 d 1 | PM | 2 | PM | 4 | PN |2 所以 d= |PN|,因此 ? ? ? 4 | PN |? 1 ? 17 2 d | PN | | PN |
变式: 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹 为C . (Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少? 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半

轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 所以 k ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . 2 1 4 k ?? x1 ? x2 ? 当 时 , 2 17 12 x1 x2 ? ? . AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 , 17



42 4 ? 3 43 ?13 4 65 ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 2 ? 4 ? ,所以 AB ? . 2 17 17 17 17
2 2

题型二、线性规划问题

?x ? 0 ? 例 2.①若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 ?y ? x ? 2 ?
x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( C )
A.

3 4

B.1

C.

7 4

D.5

1) (4 2) (2 6) . 如果 P( x,y) 是 ② 在平面直 角坐标系 中, 点 A,B,C 的坐标 分别为 (0,,,,,
△ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时,点 P 的坐标是 _____

?5 ? ? ,5 ? ?2 ?
变式:

? x ? y ? 1 ? 0, y ? 1.若实数 x、y 满足 ? x ? 0, 则 的取值范围是( D ) x ? x ? 2, ?

A.(0,2)

B.(0,2)

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

? x ? 0, ? 2.若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标点 P (a, b) 所形 ?x ? y ? 1 ?
成的平面区域的面积等于 ( (A) C ) (C)1 (D)

1 2

(B)

? 4

? 2

题型三、圆锥曲线定义的应用

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点,若 例 3. 已知 F1、F2 为椭圆 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =

8

例 4. 已知抛物线 C : y ? 2 x2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点, 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2x12 ) , B( x2, 2 x22 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2x2 得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,
2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2

y M 2 B 1 O N 1 x A

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . ? xN ? xM ? 2 4 ?4 8 ?
设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

2

将 y ? 2 x2 代入上式得 2 x ? mx ?
2

mk k 2 ? ? 0 , 直线 l 与抛物线 C 相切, 4 8

? mk k 2 ? ?? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 ,? m ? k .即 l ∥ AB . 4 8 ? ?
? 0 , 则 N A? N B, 又 (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA NB
?| MN |?


M 是 AB 的 中 点 ,

1 | AB | . 2
( Ⅰ ) 知

yM ?

? k2 1 1 1 1 ? k2 ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] ? ? ? 4 ? ? ? 2 . 2 2 2 2? 2 ? 4

MN ? x 轴,? | MN |?| yM ? yN |?
又 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . 4 8 8
( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1? k

2

1 2 ?k? k ?1 ? ? ? 4 ? (?1) ? 2 ?2?

2

k 2 ? 16 .

k 2 ? 16 1 2 ? ? k ? 1 k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 .即存在 k ? ?2 ,使 NA NB ? 0 . 8 4
变式: 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F : (?2, 0),F : (2, 0), 的曲 点P (3, 7) a 2 b2

线 C 上. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程 解:(Ⅰ)依题意,由 a2+b2=4,得双曲线方程为 将点(3, 7 )代入上式,得

x2 y2 ? ? 1 (0<a2<4), 2 2 a 4?a

9 7 ? ? 1 .解得 a2=18(舍去)或 a2=2,故所求双曲线 2 a 4 ? a2

方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx- 6=0. ∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ?k ? ?1, ?1 ? k ? 0, ? ∴? ? 2 2 ? ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) >0, ?? 3<k< 3,

∴k∈(- 3,?1 )∪(1, 3 ).

设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? , 于是 2 1? k 1? k 2

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1? k

2

?

2 2 3? k2 ,而原点 O 到直线 l 的距离 d= ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? |1? k 2 |
2

2 1? k 2

,

∴SΔ OEF=

1 1 2 d ? | EF |? ? 2 2 1? k 2

?

1? k 2

?

2 2 3?k2 2 2 3? k2 ? . |1? k 2 | |1? k 2 |

若 SΔ OEF= 2 2 ,即

2 2 3?k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 k=± 2 ,满足②. 2 |1? k |

故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2 x ? 2 和 y ? ? 2 x ? 2. 题型四、圆锥曲线性质问题

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 例 5 .① 已知双曲线 C : 9 16

PF2 ? F1F2 ,则 ?PF1F2 的面积等于( C )
(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 96

M 总在椭圆内部,则椭圆离心率 ②已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
的取值范围是( C ) A. (0,1) 变式: 1.设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 为( B ) A. B. (0, ]

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

1? 2 2

B.
2

1? 3 2

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

2) , 2. 已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点, 线段 AB 的中点为 M (2,
则 △ ABF 的面积等于 2 题型五、直线与圆锥曲线位置关系问题
2 例 6.已知抛物线 y ? x 和三个点 M ( x0 , y0 )、P(0, y0 )、N (? x0 , y0 ) ( y0 ? x0 , y0 ? 0) ,过点
2

M 的一条直线交抛物线于 A 、 B 两点, AP、BP 的延长线分别交曲线 C 于 E、F . (1)证明 E、F、N 三点共线; y
(2)如果 A 、 B 、 M 、 N 四点共线,问:是否存在 y0 ,使以
A

线段 AB 为直径的圆与抛物线有异于 A 、 B 的交点?如果存在, 求出 y0 的取值范围, 并求出该交点到直线 AB 的距离; 若不存在,
F

请说明理由. 解: (1)设 A( x1 , x1 )、B( x2 , x2 ) , E( xE , yE )、B( xF , yF )
2 2

N

M P

B E O x

则直线 AB 的方程: y ?

2 x12 ? x2 ? x ? x1 ? ? x12 ,即 y ? ( x1 ? x2 ) x ? x1x2 x1 ? x2

因 M ( x0 , y0 ) 在 AB 上 , 所 以 y0 ? ( x1 ? x2 ) x0 ? x1 x2



又 直 线 AP 方 程 :

x12 ? y0 y? x ? y0 x1
? x12 ? y0 x ? y0 ?y ? x1 ? ? x2 ? y ?







x2 ?

x12 ? y0 x ? y0 ? 0 x1







x1 ? xE ?

x12 ? y0 y y2 ? xE ? ? 0 , yE ? 0 x1 x1 x12

2 2 y0 y0 y0 x1 ? x2 同理, xF ? ? , yF ? 2 ,所以直线 EF 的方程: y ? ?( ) y0 x ? x2 x2 x1 x2 x1 x2

令 x ? ? x0 得 y ?

y0 [( x1 ? x2 ) x0 ? y0 ] x1 x2

将①代入上式得 y ? y0 ,即 N 点在直线 EF 上,所以 E, F , N 三点共线 (2)由已知 A、B、M 、N 共线,所以 A ? y0 , y0 , B( y0 , y0 ) 程: x ? ? y ? y0 ?
2 2

?

?

以 AB 为直径的圆的方

2 2 ? ? x ? ? y ? y0 ? ? y0 2 2 ? y0 ,由 ? 得 y ? ? 2 y0 ?1? y ? y0 ? y0 ? 0 2 ? ?x ? y

所以 y ? y0 (舍去) , y ? y0 ?1

。要使圆与抛物线有异于 A, B 的交点,则 y0 ?1 ? 0 ,所以

存在 y0 ? 1 ,使以 AB 为直径的圆与抛物线有异于 A, B 的交点 T ? xT , yT ? ,则 yT ? y0 ? 1, 所以交点 T 到 AB 的距离为 y0 ? yT ? y0 ? ? y0 ?1? ? 1 例 7 . 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 是 F1 (?3, 0) , 一 条 渐 近 线 的 方 程 是

5x ? 2 y ? 0 .
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k (k ? 0) 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M ,N ,且线段 MN 的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

解: (Ⅰ)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) ,由题设得 a 2 b2

? a 2 ? b 2 ? 9, 2 ? ? ? a ? 4, 解得 ? 2 ?b 5 . ? ? ? ?b ? 5. 2 ?a

所以双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 5

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1. ? ?4 5

① ②
x 2 (kx ? m)2 ? ? 1 ,整理得 (5 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 20 ? 0 . 4 5
2

将①式代入②式,得

此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k ? 0 ,且 ? ? (?8km)2 ? 4(5 ? 4k 2 )(4m2 ? 20) ? 0 .整 理得

m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .



由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足

x0 ?

x1 ? x2 4km 5m ? , y0 ? kx0 ? m ? . 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2

从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ?

5m 1? 4km ? ? ? ?x? ?. 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ?

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?

9m ? ? 9km ? ? .由题设可得 , 0 ? , ? 0, 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

1 9km 9m 81 (5 ? 4k 2 )2 2 .整理得 ,k ? 0. ? m ? 2 5 ? 4k 2 5 ? 4 k 2 2 k

(5 ? 4k 2 )2 将上式代入③式得 ? 5 ? 4k 2 ? 0 , k
2 2 整理得 (4k ? 5)(4k ? k ? 5) ? 0 , k ? 0 .解得 0 ? k ?

5 5 或k ? . 4 2

? 所以 k 的取值范围是 ? ?∞,
变式:

? ?

5? ? 4?

? 5 ? 0? ? ?? 2 , ? ? ?

? 5? ?5 ? , ? ∞? . ? ? 0,2 ? ? ? ? ? ? ?4

0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,
点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解: (Ⅰ)依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

y B D O E

F A x

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?
2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

2 2 10 . , ? 1 ? 2 k 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 3 或k ? . 3 8 (Ⅱ)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

, h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 1 AB (h1 ? h2 ) ? 2 2

5

4(1 ? 2k ) 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k ≤2 2 , 1 ? 4k 2

当 2k ? 1 ,即当 k ? 反馈练习:

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

? y ? x ? 1 ≤ 0, ? 1.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( B ) ? y ? x ? 1≥ 0, ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. ?4 2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准方 程是( B )

A. ( x ? 3)2 ? ? y ?

? ?

7? ? ?1 3?

2

B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

D. ? x ?

? ?

3? 2 ? ? ( y ?1) ? 1 2?

2

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PE2|, a 2 b2
D. [3,+∞)

则双曲线离心率的取值范围为( B ) A.(1,3) B.(1,3) C.(3,+∞) 4.设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 , 2 2 m n

则此椭圆的方程为( B ) A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

5.双曲线

x2 a2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等, b2
) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

则双曲线离心率的取值范围是( C A. (1, 2] 6.若双曲线 B. [ 2, ??)

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为( C ) 3 p
(B)3
2

(A)2

(C)4
2

(D)4 2

7.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值 为___ 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径 a2 b2 ? a2 ? 2 的圆,过点 ? ? c ,0 ? ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 2 ? ?
8.在平面直角坐标系中,椭圆 9. 过椭圆

x2 y 2 O 为坐标原点, ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点, 5 4
5 3
2

则 △OAB 的面积为
2

10.已知圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点

和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 12

11. 已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,C 在直线 l:y ? x ? 2 上, 且 AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

0) ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x . 解: (Ⅰ)因为 AB ∥ l ,且 AB 边通过点 (0,
设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) .由 ? 所以 AB ? 所以 h ?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x

得 x ? ?1 .

2 x1 ? x2 ? 2 2 .又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.
1 AB h ? 2 . 2
? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x ? m
得 4 x ? 6mx ? 3m ? 4 ? 0 .
2 2

2 , S△ ABC ?

(Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,由 ?
2

因为 A,B 在椭圆上, 所以 ? ? ?12m ? 64 ? 0 . 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

3m 3m2 ? 4 32 ? 6m2 , x1 x2 ? ,所以 AB ? 2 x1 ? x2 ? . 2 4 2

又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC ?
2 2 2

2?m 2



2 2 所以 AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 .

所 以 当 m ? ?1 时 , AC 边 最 长 , ( 这 时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此 时 AB 所 在 直 线 的 方 程 为

y ? x ?1.
12.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解: (1)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

d?
得:

1 b AB 4 m tan ?AOF ? tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 , a, OA 3

b a ?4 2 3 ?b? b 1 5 1? ? ? ? e? ?a? 2 . 由倍角公式? ,解得 a 2 ,则离心率 2
a x2 y 2 y ? ? ( x ? c) ? 2 ?1 2 b b (2)过 F 直线方程为 与双曲线方程 a 联立

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 2 c ? 5 b b 将 a ? 2b , 代入,化简有 4b
2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ?b? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ? 4? 5 ? x2 y 2 ? ? ?4 5 ? ? ?1 15 ?? ? ?? ? 解得 b ? 3 ,得双曲线方程为 36 9 将数值代入,有

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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