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高考数学30道压轴题及答案


高考压轴题强化
1.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c, 0) ( c ? 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 A , OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点

P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M , 证明 FM ? ?? FQ . (14 分)

2 . 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x 都 有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 , 且 当 x ? [0,2] 时 ,

f ( x) ?| x ? 1 | 。
(1)

x ? [2k ,2k ? 2](k ? Z ) 时,求 f ( x) 的表达式。

(2) 证明 f ( x) 是偶函数。 (3) 试问方程 f ( x ) ? log 4

1 ? 0 是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没 x

有实数根,请说明理由。当 3. (本题满分 12 分)如图,已知点 F(0,1) ,直线 L:y=-2,及圆 C: x ? ( y ? 3) ? 1 。
2 2

(1) 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G(x1,y1) 、H(x2,y2)两点,求证:x1x2 为定值; (3) 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B,要使四边形 PACB 的面积 S 最小, 10 求点 P 的坐标及 S 的最小值。
8

y
6

4

C
2

F
x -15
-10 -5

O
-2

5

X

10

15

-4

-6

-8

-10

4.以椭圆

x2 ? y 2 =1(a>1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形, 2 a

试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 及一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c∈R,a>b >c,a+b+c=0. (Ⅰ)求证:f(x)及 g(x (Ⅱ) 设f (x) 、 g (x) 两图象交于 A、 B 两点, 当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1 时, 试求|A1B1| 的取值范围. 6 已知过函数 f(x)= x ? ax ? 1 的图象上一点 B(1,b)的切线的斜率为-3。
3 2

(1) 求 a、b 的值; (2) 求 A 的取值范围,使不等式 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立; (3) 令 g ?x ? ? ? f ?x ? ? 3x 2 ? tx ? 1。是否存在一个实数 t,使得当 x ? (0,1] 时,g(x) 有最大值 1? 7 已知两点 M (-2, 0) , N (2, 0) , 动点 P 在 y 轴上的射影为 H, ︱ PH ︱是 2 和 PM ? PN 的等比中项。 (1) 求动点 P 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2) 若以点 M、 N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q, 求实轴最长的双曲线 C 的 方程。 8.已知数列{an}满足 a1 ? 3a(a ? 0), an?1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前项和为 Sn,试比较 Sn 与
2 an ? a2 a ?a ? , 设bn ? n 2an an ? a
? ?

7 的大小,并证明你的结论. 8

9.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 A(0, 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y ? x 对称. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? m x ? 1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2, 0)及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围; (Ⅲ)若 Q 是双曲线 C 上的任一点, F1 F2 为双曲线 C 的左,右两个焦点,从 F1 引

?F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程.
10. f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? (Ⅰ)求 f ( ) 和 f ( ) ? f (

1 2

1 n

n ?1 ) (n ? N ) 的值. n

1 . 2

(Ⅱ)数列 ?an ?满足: an = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( 是等差数列吗?请给予证明; (Ⅲ)令 bn ?

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 ?an ? n

4 4a n ? 1

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . n
y

试比较 Tn 与 S n 的大小. 11. :如图,设 OA、OB 是过抛物线 y =2px 顶点 O 的两条 →· → =0,求以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 弦,且OA OB P 的轨迹.(13 分) O P x
2

A

9 12.知函数 f(x)=log3(x2-2mx+2m2+ 2 )的定义域为 R m -3

B

(1)求实数 m 的取值集合 M; (2)求证:对 m∈ M 所确定的所有函数 f(x)中,其函数值最小的一个是 2,并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值. 13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 ? , ? (? ? ? ), 函数 f(x)= (1). 求 f( ? )和f ( ? ) 的值。 (2) 。证明:f(x)在[ ? , ? ] 上是增函数。 (3) 。对任意正数 x1、x2,求证: f (

4x ? t . x2 ?1

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? 2? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2
*

14 . 已 知 数 列 {an} 各 项 均 为 正 数 , Sn 为 其 前 n 项 的 和 . 对 于 任 意 的 n ? N , 都 有

4 S n ? ? an ? 1? .
2

I、求数列 ?an ? 的通项公式. II、若 2n ? tSn 对于任意的 n ? N 恒成立,求实数 t 的最大值.
*

15.( 12 分)已知点 H(-3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 HP · PM =0, PM =-

3 MQ , 2

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E(x0,0) , 使得△ABE 为等边三角形,求 x0 的值.

16.(14 分)设 f1(x)=

f (0) ? 1 2 ,定义 fn+1 (x)=f1[fn(x)],an= n ,其中 n∈N*. f n (0) ? 2 1? x
4n 2 ? n ,其中 n∈N*,试比较 9T2n 与 Qn 的大小. 4n 2 ? 4n ? 1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+?+2na2n,Qn=

17. 已知 a =(x,0) , b =(1,y) , (a + 3 b )? (a – 3 b ) . (I) 求点 ? (x,y)的轨迹 C 的方程; (II) 若直线 L: y=kx+m(m ? 0)与曲线 C 交于 A、 B 两点, D (0, –1) , 且有 |AD|=|BD|, 试求 m 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18.已知函数 f ( x) 对任意实数 p、q 都满足 f ( p ? q) ? f ( p) ? f (q), 且f (1) ? . (1)当 n ? N? 时,求 f ( n) 的表达式; (2)设 an ? nf (n)
n 3 (n ? N ? ), 求证: ? ak ? ; 4 k ?1 n

1 3

(3)设 bn ?

nf (n ? 1) f ( n)

(n ? N ? ), Sn ? ? bk , 试比较 ?
k ?1

1 与 6 的大小. k ?1 S k

n

19.已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1), 若数列: 2, f (a1 ), f (a2 ), ?,

f (an ),2n ? 4(n ? N ? ) 成等差数列.
(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若 0 ? a ? 1, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,求 lim S n ;
n??

(3)若 a ? 2, 令bn ? an ? f (an ) ,对任意 n ? N ? , 都有bn ? f 围.

?1

(t ) ,求实数 t 的取值范

20.已知△OFQ 的面积为 2 6, 且OF ? FQ ? m. (1)设 6 ? m ? 4 6, 求向量 OF与FQ 的夹角? 正切值的取值范围;

(2)设以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图) , | OF |? c, m ? ( 当 | OQ | 取得最小值时,求此双曲线的方程.

6 ? 1)c 2 , 4

(3)设 F1 为(2)中所求双曲线的左焦点,若 A、B 分别为此双曲线渐近线 l1、l2 上的 动 点,且 2|AB|=5|F1F|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

21、已知函数 f ( x) ? 3x ? bx ? 1是偶函数, g ( x) ? 5x ? c 是奇函数,正数数列 ?an ? 满足
2

an ? 1, f ( an ? an?1 ) ? g( an?1an ? an ) ? 1
① 求 ?an ? 的通项公式; ② 若 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 lim S n .
n??

2

22、直角梯形 ABCD 中∠ DAB=90° ,AD∥ BC,AB=2,AD= 为焦点且经过点 D. (1)建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 满足 EC ?

3 1 ,BC= .椭圆 C 以 A、B 2 2

1 AB ,问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点 2

且 | ME |?| NE | ,若存在,求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由. 23、 .设函数 f ( x) ?

1 , 4 ?2
x

(1)求证:对一切 x ? R, f ( x) ? f (1 ? x) 为定值; ( 2 )记 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 通项公式及前 n 项和. 24. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X ? 0 时, f ( x) = ? (I) 求当 X<0 时, f ( x) 的解析式;

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) n

(n ? N *), 求数列 {an } 的

7x . x ? x ?1
2

(II)

试确定函数 y = f ( x) (X ? 0)在 ?1,??? 的单调性,并证明你的结论.

(III) 若 x1 ? 2 且 x2 ? 2 ,证明:| f ( x1 ) - f ( x2 ) |<2.

25、已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点, 若线段 AB 的垂直平分线与 X 轴交于 D(X0,0) ⑴求 X0 的取值范围。 ⑵△ABD 能否是正三角形?若能求出 X0 的值,若不能,说明理由。 26、已知□ABCD,A(-2,0) ,B(2,0) ,且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程。 ⑵过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,且∣MN∣= 距离为

8 2 ,MN 的中点到 Y 轴的 3

4 ,求椭圆的方程。 3
Y D C

⑶与 E 点轨迹相切的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,求∣PQ∣的最大值及此时 l 的方程。

E A O B X

27. (14 分) (理)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,直线 l 过点 A(-a,0)和点 B(a,ta) 2 a

(t>0)交椭圆于 M.直线 MO 交椭圆于 N.(1)用 a,t 表示△AMN 的面积 S; (2)若 t∈[1,2],a 为定值,求 S 的最大值.
y

M

B

A N

O

x

28.已知函数 f(x)=

bx+c 的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称. x+1

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若数列{an}(n∈N*)满足:an>0,a1=1,an+1= 通项公式 an,并证明你的结论. 30 、已知点集 L ? {( x, y) | y ? m ? n}, 其中 m ? (2x ? b,1), n ? (1, b ? 1), 点列 Pn (an , bn ) 在

[f( an)]2,求数列{an}的

L 中, P 1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列 {a n } 的公差为 1, n ? N ? 。
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若 cn ?

5 (n ? 2), 求 lim(c1 ? c 2 ? ? ? c n ) ; n ?? n? | P 1P n |

(3) 若 f ( n) ? ?

?a n (n ? 2k ? 1) (k ? N ? ), 是否存在 k ? N ? 使得 f (k ? 11) ? 2 f (k ), 若 ?bn (n ? 2k )

存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。 21.经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点F的直线 l 与该抛物线交于 A 、 B 两点. (12分) (1)若线段 AB 的中点为 M ( x, y) ,直线的斜率为 k ,试求点 M 的坐标,并求点 M 的轨 迹方程

1 (2) 若直线 l 的斜率 k ? 2 ,且点 M 到直线 3 x ? 4 y ? m ? 0 的距离为 ,试确定 m 的取值 5 范围.

1(1)解:由题意,可设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2 ) 。 a2 2

?a 2 ? c2 ? 2, ? 由已知得 ? 解得 a ? 6 , c ? 2 a2 c ? 2 ( ? c). ? c ?
x2 y 2 6 ? ? 1 ,离心率 e ? 。 6 2 3 (2)解:由(1)可得 A(3,0) 。
所以椭圆的方程为

? x2 y 2 ? 1, ? ? 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) 。由方程组 ? 6 2 ? y ? k ( x ? 3) ?
得 (3k 2 ? 1) x2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 ,依题意 ? ? 12(2 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

18k 2 , 3k 2 ? 1



6 6 ?k? 。 3 3 27k 2 ? 6 x1 x2 ? 。 ② 3k 2 ? 1

由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3) 。于是

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2[ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] 。
∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 由①②③④得 5k 2 ? 1 ,从而 k ? ? ④



5 6 6 ? (? , )。 5 3 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 (3,理工类考生做)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) 。由已知得方程组

? x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), ?y ? ?y , 2 ? 1 ? x12 y12 ? ? ? 1, 2 ?6 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6
注意 ? ? 1 ,解得 x2 ?

5? ? 1 2?

因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故

1? ? ? ?1 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (? ( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) 。 2 2? ? ?1 而 FQ ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( , y2 ) ,所以 FM ? ?? FQ 。 2?

2 ①f(x)= x ? 2k ? 1 3 ①x =4y
2

(2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1,4]上有 4 个实根 ⑶P(±2,1)

②x1x2=-4

SMIN= 7

4 .解:因 a>1,不防设短轴一端点为 B(0,1 设 BC∶y=kx+1(k>0 则 AB∶y=-

1 x+1 k

把 BC 是(1+a2k2)x2+2a2kx=0 ∴|BC|= 1 ? k
2

2a 2 k 2a 2 2 1 ? k ,同理 | AB | = 1 ? a2k 2 k 2 ? a2

由|AB|=|BC| k3-a2k2+ka2-1=0 (k-1) [k2+(1-a2)k+1]=0 ∴k=1 或 k2+(1-a2)k+1=0 当 k2+(1-a2)k+1=0 时,Δ =(a2-1)2-4 由Δ <0,得 1<a< 3 由Δ =0,得 a= 3 ,此时,k=1 故,由Δ ≤0,即 1<a≤ 3 由Δ >0 即 a> 3 时有三解 5 解:依题意,知 a、b≠0 ∵a>b>c 且 a+b+c=0 ∴a>0 且 c<0 (Ⅰ)令 f(x)=g(x 得 ax2+2bx+c=0.(* Δ =4(b2-ac) ∵a>0,c<0,∴ac<0,∴Δ >0 ∴f(x) 、g(x)相交于相异两点 (Ⅱ)设 x1、x2 为交点 A、B 则|A1B1|2=|x1-x2|2,由方程(* |A1B1|2=

4b 2 ? 4ac 4(a ? c) 2 ? 4ac ? a2 a2

?

4 2 2 (a ? c ? ac) a2

c ? ? c ? 4 ?( )2 ? ? 1? (**) a ? ? a

∵?

?a ? b ? c ? 0 ?a ? b ?a ? b ? c ? 0 ?c ? b

? 2a ? c ? 0 ,而 a>0,∴
c 1 ?? a 2

c ? ?2 a

∵?

? a ? 2c ? 0 ,∴

c 1 ?? a 2 c c ∴4[ ( )2+ +1]∈(3,12 a a
∴ ?2 ? ∴|A1B1|∈( 3 ,2 3 ) 6、解: (1) f
'

?x ? = 3x 2 ? 2ax

依题意得 k= f ' ?1? =3+2a=-3, ∴a=-3

? f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 1,把 B(1,b)代入得 b= f ?1? ? ?1
∴a=-3,b=-1 (2)令 f
'

?x ?=3x2-6x=0 得 x=0 或 x=2

∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3 f(-1)=-3,f(4)=17 ∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17 要使 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立,则 f(x)的最大值 17≤A-1987 ∴A≥2004。 (1) 已知 g(x)=- x ? 3x ? 1 ? 3x ? tx ? 1 ? ? x ? tx
3 2 2 3

?

?

∴ g ?x? ? ?3x ? t
' 2

∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0, ① 当 t>3 时,t-3x2>0, 即g ?x? ? 0
'

∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, g(x)的最大值 g(1)=t-1=1,得 t=2(不合题意,舍去) ② 当 0≤t≤3 时, g ?x? ? ?3x ? t
' 2

令 g ? x ? =0,得 x=
'

t 3

列表如下:

x

(0, + ↗

t ) 3

t 3
0 极大值

(

t ,1] 3
- ↘

g ' ?x ?
g(x)

? t? t t ? +t g(x)在 x= 处取最大值- ? =1 ? 3? 3 3 ? ?
∴t= 3

3

27 33 2 t = < 3 2 4 3

∴x=

t <1 3

③当 t<0 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t <0,∴g(x)在 (0.1] 上为减函数, ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数,

∴存在一个 a=

33 2 ,使 g(x)在 (0.1] 上有最大值 1。 2
?

7、解:(1)设动点的坐标为 P(x,y),则 H(0,y), PH ? ?? x,0? , PM =(-2-x,-y)

?

PN =(2-x,-y) PN =(-2-x,-y) ∴ PM · · (2-x,-y)= x 2 ? 4 ? y 2
?
?

?

PH ? x
?
?

?

PN 由题意得∣PH∣2=2· PM ·
即x ? 2 x ?4? y
2 2

?

2

?



x2 y2 ? ? 1 ,所求点 P 的轨迹为椭圆 8 4

(2)由已知求得 N(2,0)关于直线 x+y=1 的对称点 E(1,-1) ,则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的 C 实轴长 2a= QM ? QN ? QM ? QE ? ME ? 10 (当且仅当 Q、E、M 共 线时取“=” ) ,此时,实轴长 2a 最大为 10

所以,双曲线 C 的实半轴长 a= 又? c ?

10 2

1 3 NM ? 2,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 2

∴双曲线 C 的方程式为

x2 y2 ? ?1 5 3 2 2

8.(1) bn ?

1 2 n ?1

1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) S ? ? ( ? ? ? ? ?) ? ? ( ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ?) ? ? 16 ? ? 0 n 4 8 16 1 8 2 2 2 8 16 2 2 2 2 8 1? 8 2

9.解: (Ⅰ)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0 ∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切, ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x.????????????????2 分

x2 y2 ? ? 1. a2 a2 又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) 2 2 ∴ 2a ? 2 , a ? 1 . ∴双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 .??????????????????4 分 ? y ? mx ? 1 (Ⅱ)由 ? 2 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 . 2 ?x ? y ? 1 令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根.
故设双曲线 C 的方程为

? ?? ? 0 ? ? 2m ? 0 解得 1 ? m ? 2 . 因此 ? 2 ?1 ? m ? ?2 ?0 ? ?1 ? m 2 m 1 , ), 又 AB 中点为 ( 2 1 ? m 1 ? m2 1 ( x ? 2) .????????????6 分 ∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2m ? m ? 2 2 2 ? 令 x=0,得 b ? . 2 ? 2m ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8 ∵ m ? (1, 2 ) , 1 2 17 ? (?2 ? 2 ,1) ∴ ? 2(m ? ) ? 4 8

∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) .??????????????????8 分 (Ⅲ)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF2 到 T,使 | QT |?| QF 1 |, 若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF2 上取一点 T,使 | QT |?| QF 1 |. 根据双曲线的定义 | TF2 |? 2 ,所以点 T 在以 F2 ( 2 ,0) 为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹方程是 ①????????????????10 分 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4( x ? 0) 由于点 N 是线段 F1T 的中点,设 N ( x, y) , T ( xT , yT ) .

? x ? 2 x? T ? ?x ? 2x ? 2 ? 2 则? ,即 ? T . y ? 2 y y T ? ?y ? T ? 2 ?
2 ) ??????12 分 2 1 1 1 1 1 1 1 10 解: (Ⅰ)因为 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? .??2 分 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 ) ? .?????4 分 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( n n n 2 n n 2 1 n ?1 ) ? f (1) (Ⅱ) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ??????5 分 又 a n ? f (1) ? f ( n n
代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . ( x ? ? 两式相加

1 n ?1 n ?1 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? . n n 2 n ?1 , n ? N ,??????7 分 所以 a n ? 4 n ?1?1 n ?1 1 ? ? .故数列 {an } 是等差数列.??????9 分 又 a n ?1 ? a n ? 4 4 4 4 4 (Ⅲ) bn ? ? 4a n ? 1 n
2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 ? 16(1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 ? 16[1 ? ? ??? ] ??????10 分 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ??????12 分 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n 所以 Tn ? S n ??????????????????????????14 分

11.设直线 OA 的斜率为 k,显然 k 存在且不等于 0 则 OA 的方程为 y=kx

?y=kx 2p 2p 由? 2 解得 A( 2 , ) k k ?y =2px

??4 分

1 又由,知 OA⊥ OB,所以 OB 的方程为 y=- x k

? ?y=-1x k 解得 B(2pk2,-2pk) 由? 2 ?y =2px ?
p p 从而 OA 的中点为 A'( 2, ),OB 的中点为 B'(pk2,-pk) k k 所以,以 OA、OB 为直径的圆的方程分别为 2px 2py x2+y2- 2 - =0 k k ……①

??4 分

……6 分

x2+y2-2pk2x+2pky=0 ……② ∵ P(x,y)是异于 O 点的两圆交点,所以 x≠0,y≠0 1 由① -② 并化简得 y=(k- )x k 1 将③ 代入① ,并化简得 x(k2+ 2-1)=2p k ……③ ……④

……10 分

由③ ④ 消去 k,有 x2+y2-2px=0 ∴ 点 P 的轨迹为以(p,0)为圆心,p 为半径的圆(除去原点). 9 12.(1)由题意,有 x2-2mx+2m2+ 2 >0 对任意的 x∈ R 恒成立 m -3 所以△ =4m2-4(2m2+ 9 即-m2- 2 <0 m -3 3 (m2- )2+27 2 ∴ >0 2 m -3 由于分子恒大于 0,只需 m2-3>0 即可 所以 m<- 3或 m> 3 ∴ M={m|m<- 3或 m> 3} 9 9 9 (2)x2-2mx+2m2+ 2 =(x-m)2+m2+ 2 ≥m2+ 2 m -3 m -3 m -3 当且仅当 x=m 时等号成立. 9 所以,题设对数函数的真数的最小值为 m2+ 2 m -3 又因为以 3 为底的对数函数为增函数 9 ∴ f(x)≥log3(m2+ 2 ) m -3 ∴ 当且仅当 x=m(m∈ M)时,f(x)有最小值为 log3(m2+ 又当 m∈ M 时,m2-3>0 9 ) m2-3 9 )<0 m -3
2

??13 分

……4 分

??7 分

??10 分

9 9 ∴ m2+ 2 =m2-3+ 2 +3≥2 m -3 m -3

9 (m2-3)· 2 +3=9 m -3

9 当且仅当 m2-3= 2 ,即 m=± 6时, m -3 9 9 log3(m2+ 2 )有最小值 log3(6+ )=log39=2 m -3 6 -3 ∴ 当 x=m=± 6时,其函数有最小值 2. 13.解析: (1) 。 ,由根与系数的关系得, ? ? ? ?

t , ?? ? ?1. 2

? f (? ) ?

4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 8 1 ? ? ? ? ? (t ? t 2 ? 16 ). 2 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? t ? t ? 16 2

同法得 f( ? ) ? (2).证明:?f/(x)=

1 ( t 2 ? 16 ? t ). 2

4( x 2 ? 1) ? (4 x ? t )2 x ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) ? , 而当 x ?[? , ? ] 时, ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

2x2-tx-2=2(x- ? )( x ? ? ) ? 0, 故当 x ?[? , ? ] 时, f/(x)≥0, ? 函数 f(x)在[ ? , ? ] 上是增函数。 (3) 。证明:

x1? ? x 2 ? x (? ? ? ) x ? ? x2 ? x (? ? ? ) ?? ? 2 ? 0, 1 ?? ? 1 ? 0, x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2

?? ?

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? ? ? , 同理 ? ? 1 ??. x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? ? x 2? x ? ? x 2? ) ? f ( ? ), 故 ? f ( ? ) ? ? f ( 1 ) ? ? f (? ). x1 ? x 2 x1 ? x 2
x1? ? x 2 ? ) ? f ( ? ). 两式相加得: x1 ? x 2 x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ), x1 ? x 2 x1 ? x 2

? f (? ) ? f (

又 f( ? ) ? f (

? [ f ( ? ) ? f (? )] ? f (

即 f(

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ). x1 ? x 2 x1 ? x 2
且 f( ? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) ,

而由(1) ,f( ? ) ? ?2 ? , f ( ? ) ? ?2?

?

f(

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? 2? ? ? . x1 ? x 2 x1 ? x 2

14(I)

4S1 ? 4a1 ? (a1 ?1)2 ,?a1 ? 1.



n?2

时, 4an ? 4 S n ? 4 S n ?1 ? ? an ? 1? ? ? an ?1 ? 1? ,
2 2

?2 ? an ? an?1 ? ? an2 ? an?12 , 又 {an} 各项均为正数 , ? an ? an?1 ? 2 . 数列 ?an ? 是等差数列 ,
?an ? 2n ?1.
? 2n ? 2n * t ? min n ? N (II) Sn ? n ,若 2 ? tSn 对于任意的 恒成立,则 ? 2 ? .令 bn ? 2 ,.当 n ? 3 n ?n ?
2 n



,

bn?1 2n2 n2 ? (n ? 1)n ? n ? ? ?1 bn (n ? 1)2 n2 ? 2n ? 1

.



b1 ? 2, b2 ? 1, b3 ?

8 9



? 2n ? 8 8 ? min ?bn ? ? min ? 2 ? ? .? t 的最大值是 . 9 ?n ? 9
y 3 x MQ ,得 P(0,- ),Q( ,0), 2 3 2
5分

15.(1)设点 M 的坐标为(x,y),由 PM =- 分 由 HP · PM =0,得(3,-

2

y 3y )(x, )=0,又得 y2=4x, 2 2

由点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x>0, 所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. 6 分 (2)设直线 l:y=k(x+1),其中 k≠0,代入 y2=4x,得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0,① 7分 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两个实根,∴x1+x2=- 所以,线段 AB 的中点坐标为( 分

2(k 2 ? 2) ,x1x2=1, k2
8

2? k2 2 , ), k2 k
9分

2? k2 2 1 =- (x- ), k2 k k 2 2 令 y=0,x0= 2 +1,所以点 E 的坐标为( 2 +1,0) k k
线段 AB 的垂直平分线方程为 y- 因为△ABE 为正三角形,所以点 E(

2 3 +1,0)到直线 AB 的距离等于 |AB|, 2 2 k

而|AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 =

4 1? k2 · 1? k 2 , k2

10 分

所以,

2 3 1? k4 2 1? k 2 = , k k2

11 分

解得 k=±

3 11 ,得 x0= . 2 3

12 分

16.(1)f1(0)=2,a1=

2 2 ?1 1 = ,fn+1(0)=f1[fn(0)]= , 1 ? f n ( 0) 2?2 4

1 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n ( 0) 1 f n (0) ? 1 1 an+1= = = =- =- an, 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n ( 0) 2 f n (0) ? 2 2 ?2 1 ? f n ( 0)
∴数列{an}是首项为

4分

1 1 1 1 - ,公比为- 的等比数列,∴an= (- )n 1. 4 2 4 2

6分

(2)T2n=a1+2a2+3a3+?+(2n-1)a2n-1+2na2n, -

1 1 1 1 1 1 T2n=(- a1)+(- )2a2+(- )3a3+?+(- )(2n-1)a2n-1+(- )·2na2n 2 2 2 2 2 2
8

=a2+2a3+?+(2n-1)a2n-na2n, 分

3 T2n=a1+a2+a3+?+a2n+na2n, 2 1? 1 ? 1 ? (? ) 2 n ? ? 3 1 1 - 1 1 1 n 1 - 4? 2 ? 所以, T2n= +n× (- )2n 1= - (- )2n+ (- )2n 1, 1 2 4 2 6 6 2 4 2 1? 2
两式相减得 分 T2n=

10

1 1 1 n 1 - 1 3n ? 1 - (- )2n+ (- )2n 1= (1- 2n ). 9 9 2 6 2 9 2
3n ? 1 , ( 2n ? 1) 2

∴9T2n=1-

3n ? 1 , 2 2n
12

Qn=1- 分

当 n=1 时,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n<Qn; 当 n=2 时,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n<Qn; 分 当 n≥3 时,22n=[ (1+1)n]2
2 1 2 n 2 =(C 0 n +C n +C n +?+C n ) >(2n+1) ,∴9T2n>Qn.

13

14 分

17.解(I) a + 3 b =(x,0)+ 3 (1,y)=(x+ 3 , 3 y),
?

?

?

a – 3 b =(x, 0) ? 3 (1,y)= (x ? 3 ,– 3 y).? ( a + 3 b ) ? ( a ? 3 b ),
? ? ? ?

?

?

?

?

?

( a ? 3 b )=0, ? (x+ 3 )( x ? 3 )+ 3 y· ( ? 3 y)=0, ? ( a + 3 b )·

故 P 点的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(6分)

(II)考虑方程组 ?

? y ? kx ? m, ? x2 2 ? ? y ? 1, ?3

消去 y,得(1–3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

(*)

显然 1-3k2 ? 0, ? =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0. 设 x1,x2 为 方 程 * 的 两 根 , 则 x1+x2= y0=kx0+m=
m , 1 ? 3k 2

6 km , x = x1 ? x2 3km , 0 ? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

故 AB 中点 M 的坐标为( 3km ,
1 ? 3k
2

m ), 1 ? 3k 2
m =( ? 1 ) 3km , (x ? ) k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

? 线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

将 D(0,–1)坐标代入,化简得 4m=3k2 ? 1,

故 m、k 满足 ?

? m 2 ? 1 ? 3k 2 ? 0, ? 4m ? 3k ? 1,
2

消去 k2 得 m2 ? 4m>0, 解得 m<0 或 m>4.

又? 4m=3k2 ? 1> ? 1, ? m ? ?

1 , 4

故 m? ( ?

1 ,0) ? (4,+ ? ). 4

(12分)

18.(1)解 由已知得 f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ?

1 1 ? f (n ? 1) ? ( ) 2 ? f (n ? 2) ? 3 3

1 1 ? ( ) n ?1 ? f (1) ? ( ) n . 3 3
(2)证明

(4 分)

由(1)可 知 an ? n ? ( ) , 设 Tn ?
n

1 3

?a
k ?1

n

k

则 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ?
2

1 3

1 3

1 ? n ? ( )n . 3

1 1 1 ? Tn ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? 3 3 3
两式相减得 Tn ?

1 ?1? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ( )n?1 . 3 ?3?

n

2 3

1 1 2 1 3 1 1 ? ( ) ? ( ) +?+ ( ) n ? n ? ( ) n ?1 3 3 3 3 3

?

n 3 1 1 n 1 3 1? 1 n? 1 n ?1 1 ? ( ) ? n ? ( ) , ? ak ? ? ( )n?1 ? ? ( )n ? . T ? ? n ? ? 4 4 3 2 3 4 2? 3 ? 3 k ?1 n 1 1 n. ? Sn ? ? bk ? (1 ? 2 ? 3 3 k ?1

(9 分)

(3)解 由(1)可知 bn ?

? n) ?

n(n ? 1) , 6



1 1 1 6 ), = 6( ? ? n n ?1 Sn n(n ? 1)

故有

?S
k ?1

n

1
k

1 1 1 ? 6(1 ? ? ? ? 2 2 3

?

1 1 1 ? ) =6 (1 ? ) ? 6 . (14分) n n ?1 n ?1

19. (1) 2n ? 4 ? 2 ? (n ? 2 ? 1)d ,? d ? 2,? f (an ) ? 2 ? (n ? 1 ? 1) ? 2 ? 2n ? 2,? an ? a 2n?2 (2) lim S n ? lim
n ??

a 4 (1 ? a 2 n ) a4 ? . n ?? 1? a2 1? a2

(3) bn ? an ? f (an ) ? (2n ? 2)a 2n?2 ? (2n ? 2) ? 2 2n?2 ? (n ? 1) ? 2 2n?3.

bn?1 n ? 2 ? ?4 ?1 bn n ?1

? bn?1 ? bn .

?{bn } 为递增数列 ? bn 中最小项为 b1 ? 2 ? 25 ? 26 , f ?1 (t ) ? 2t ,? 26 ? 2t ,?t ? 6.
?1 ? | OF | ? | FQ | sin(? ? ? ) ? 2 6 20. (1)? ?2 ?| OF | ? | FQ | cos? ? m ?
?t a ? n ? 4 6 ,? 6 ? m ? 4 6 ?1 ? tan ? ? 4. m

?

?
4

? ? ? a r c t a4 n.

(2)设所求的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), Q( x1 , y1 ),则FQ ? ( x1 ? c, y1 ) a2 b2

? S ?OFQ ?

1 4 6 | OF | ? | y1 |? 2 6 ,? y1 ? ? 又由 OF ? FQ ? (c,0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? 2 c

( x1 ? c) ? c ? (

6 6 96 3c 2 ? 1)c 2 ,? x1 ? c,? | OQ |? x12 ? y12 ? ? ? 12. 4 4 8 c2

当且仅当 c=4 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标为 ( 6, 6 )或( 6,? 6 )

6 ?6 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a b 2 ?a ? b 2 ? 16 ?

2 ? ?a ? 4 ?? 2 ? ?b ? 12

?所求方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 12

(3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) l1 的方程为 y ? 3x, l2 的方程为 y ? ? 3x 则有 y1 ? 3x1 ①

y2 ? ? 3x2 ② ? 2 | AB |? 5 | FF1 | ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 5 ? 2c ? 40
? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 20 ③ 设 M ( x, y) 由①②得 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 )

y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 2 y ? 3( x1 ? x2 ), y1 ? y2 ? 2 3x ? x1 ? x 2 ?
2y 3

2y 3



y1 ? y2 ? 2 3x 代入③得 (

) 2 ? (2 3x) 2 ? 400 ?

y2 x2 ? ? 1. ? M 的轨迹为 300 100 3

焦点在 y 轴上的椭圆. 21、解: (1)? f ( x) 为偶函数 ? f (? x) ? f ( x)

?b ? 0

f ( x) ? 3x 2 ? 1

? g ( x) 为奇函数 ? g (? x) ? ? g ( x)
2

?c ? 0

g ( x) ? 5 x
2

? f (an?1 ? an ) ? g(an?1 ? an ? an ) ? 3(an?1 ? an ) 2 ? 1 ? 5(an?1 ? an ? an ) ? 1
2 2 ? (an?1 ? an )(3an?1 ? 2an ) ? 0 ? ?3an ?1 ? an?1 ? an ? 2an ? 0

an?1 2 ? an 3

?{ a n } 是以 an ? 1 为首项,公比为

2 2 n ?1 的等比数列. a n ? ( ) 3 3

(2) lim s n ?
n??

1 2 1? 3

?3

22、解析: (1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,? A(-1, 0) ,B(1,0)

设椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

b2 令 x ? C ? y0 ? c

?C ? 1 ?a ? 2 ? ∴? b 2 3 ? ? ?b ? 3 ? ? ?a 2
x2 y2 ? ?1 4 3

∴ 椭圆 C 的方程是:

(2) EC ?

1 1 AB ? E (0 , ) ,l⊥ AB 时不符, 2 2

设 l:y=kx+m(k≠0)



? y ? kx ? m ? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8km x? 4m 2 ? 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4
2 2

M、N 存在 ? ? 0 ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ? (4m2 ?12) ? 0 ? 4k ? 3 ? m 设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ) ,MN 的中点 F( x0 , y0 ) ∴ x0 ?

x1 ? x 2 3m 4km ?? , y0 ? kx 0 ? m ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

| ME |?| NE |? MN ? EF ?

y0 ?

3m 1 1 ? 2 2 2 ? ? 1 ? m ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 1 ? 3 ? 4k 4km x0 k k 2 ? 2 3 ? 4k
2

3 ? 4k 2 2 ) ∴4k ? 3 ? (? 2
2

∴4k ? 3 ? 4 ∴0 ? k ? 1
2

∴? 1 ? k ? 1 且 k ? 0

∴ l 与 AB 的夹角的范围是 (0 , ] .

1 4

23、 (1) f ( x) ? f (1 ? x) ?
(2)由(1)知f (0) ? f (1) ? 1 ?, f (1) ? f (0) ? . 2

1 1 1 4x 1 ? ? ? ? . x 1? x x x 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2?4

(6?)

1 1 n ?1 1 2 n?2 1 , f( )? f( ) ? , f( )? f( )? 2 n n 2 n n 2

将上述n ? 1个式子相加得2a n ?

n ?1 n ?1 ,? a n ? . 2 4 1 1 n?3 n(n ? 3) S n ? [2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? 1)] ? ? ?n ? . 4 4 2 8

(10?) (12?)

24、 (1)当 X<0 时, f ( x) ?

7x x ? x ?1
2

(3 分) (9 分)

(2)函数 y = f ( x) (X ? 0)在 ?1,??? 是增函数; (证明略)

(3)因为函数 y = f ( x) (X ? 0)在 ?1,??? 是增函数,由 x ? 2 得 f ( x) ? f (2) ? ?2 ; 又因为 x 2 ? x ? 1 ? 0,?7 x ? 0 ,所以 ?

7x ? 0 ,所以 ? 2 ? f ( x) ? 0 ; x ? x ?1
2

因为 x1 , x2 ? 0 ,所以 ? 2 ? f ( x1 ) ? 0 ,且 ? 2 ? f ( x2 ) ? 0 ,即 0 ? f ( x2 ) ? 2 , 所以,-2≤f(x1) – f(x2) ≤2 即| f ( x1 ) - f ( x2 ) |<2. 25、解:⑴由题意易得 M(-1,0) 设过点 M 的直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 代入 y 2 ? 4 x 得 (14 分)

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ???????????????(1)
再设A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则x1+x2=

4 ? 2k 2 ,x1·x2=1 k2
4 k

y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=

∴AB的中点坐标为(

2?k2 2 , ) k2 k

2 1 2?k2 ) ,令 y ? 0 得 那么线段AB的垂直平分线方程为 y ? ? ? ( x ? k k k2 x? k2 ? 2 k2 ? 2 2 x ? ? 1? 2 ,即 0 2 2 k k k
2 ? 2,? x0 ? 3 k2

2 2 4 2 又方程(1)中△= (2k ? 4) ? 4k ? 0,? 0 ? k ? 1,?

⑵若△ABD 是正三角形,则需点 D 到 AB 的距离等于

3 AB 2

16(1 ? k 2 )(1 ? k 2 ) AB ? (1 ? k )(x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? k4
2 2 2 2 2

?

?

点到 AB 的距离 d=

k2 ? 2 k? ?k k2 1? k 2

?

2k 2 ? 2 k 1? k 2

?

2 1? k 2 k

据d

2

?

4(k 2 ? 1) 3 16(1 ? k 4 ) 3 2 AB 得: ? ? 4 4 k2 k4
3 ,满足 0 ? k 2 ? 1 4

2 ∴ 4k 4 ? k 2 ? 3 ? 0, (k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) ? 0 ,∴ k ?

∴△ABD 可以为正△,此时 x0 ?

11 3

26、解:⑴设 E(x,y) ,D(x0,y0) ∵ABCD 是平行四边形,∴ AB ? AD ? 2 AE , ∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y)∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y) ∴?

? x0 ? 6 ? 2 x ? 4 ? x0 ? 2 x ? 2 ?? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 2 y
2

又 AD ? 2,? ( x0 ? 2) 2 ? y0 ? 4,? (2 x ? 2 ? 2) 2 ? (2 y) 2 ? 4 即: x 2 ? y 2 ? 1 ∴□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为 x ? y ? 1
2 2

⑵设过 A 的直线方程为 y ? k ( x ? 2) 以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4,则 C=2

x2 y2 x2 y2 ? 1 …………………(*) 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 即 2 ? 2 a a ?4 a b
将 y ? k ( x ? 2) 代入(*)得
2 2 2 2 2 2

x 2 k 2 ( x ? 2) 2 ? ?1 a2 a2 ? 4
2 2 4 2

即 (a ? a k ? 4) x ? 4a k x ? 4a k ? a ? 4a ? 0 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)则

x1 ? x2 ?

4a 2 k 2 4a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 , x ? x ? 1 2 4 ? a2 ? a2k 2 a2 ? a2k 2 ? 4
4 ,且 MN 过点 A,而点 A 在 Y 轴的左侧,∴MN 中点也在 Y 轴 3

∵MN 中点到 Y 轴的距离为 的左侧。



2a 2 k 2 4 ?8 8 ? a2 2 2 2 ? , ? a k ? 2 a ? 8 x ? x ? , x ? x ? ,∴ 1 2 1 2 3 3 a2 ? a2k 2 ? 4 3
8 3 4 (8 ? a 2 ) 3

2 2 2 ∴ ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ( ) ?

8 8 2 2 2 ∴ 1 ? k x1 ? x 2 ? 3 3 64 32 4 2 128 2 ? ? a )? ∴ (1 ? k )( 即 12a 2 ? 12a 2 k 2 ? 32k 2 ? 160 9 3 3 9
∵ MN ? ∴ 12a ? 12(2a ? 8) ? 32k ? 160
2 2 2

9a 2 ? 64 ∴k ? 8
2

∴a ?
2

9a 2 ? 64 ? 2a 2 ? 8 8



9a 4 ? 80a 2 ? 64 ? 0
2 ,∴ a ? 8

(a 2 ? 8)(9a 2 ? 8) ? 0 ,∵ a ? c ? 2
∴ b2 ? a2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4

x2 y2 ? ?1 ∴所求椭圆方程为 8 4
⑶由⑴可知点 E 的轨迹是圆 x 2 ? y 2 ? 1 设 ( x0 , y0 ) 是圆上的任一点,则过 ( x0 , y0 ) 点的切线方程是 x0 x ? y0 y ? 1 ①当 y 0 ? 0 时, y ?
2 2

1 ? x0 x 代入椭圆方程得: y0
2 2 2

(2x0 ? y0 ) x 2 ? 4x0 x ? 2 ? 32y0 ? 0 ,又 x0 ? y0 ? 1
∴ ( x0 ? 1) x ? 4x0 x ? 32x0 ? 30 ? 0
2 2 2

x1 ? x2 ?

4 x0 x0 ? 1
2

2

, x1 x2 ?
2

32x0 ? 30 x0 ? 1
1 ( x0 ? 1)
2 2
2 2

2

2

∴ ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?

(?128x0 ? 8x0 ? 120)

4

2

PQ ? (1 ? (? 1 1 ? x0
2

2

x0 2 x ?y ) )(x1 ? x2 ) 2 ? 0 2 0 ( x1 ? x2 ) 2 y0 y0
2

=

?

1 (1 ? x0 ) 2

(?128x0 ? 8 x0 ? 120) ?

4

2

16x0 ? 15 (1 ? x0 ) 2
2

2

令 16x0 ? 15 ? t (15 ? t ? 31 )

2

则 PQ

2

?

t 256 t 256 ? 2 ? , ∵ 15 ? t ? 31 t ? 1 2 t ? 2t ? 1 1 ( ) t? ?2 16 t
PQ 取最大值为 15 , PQ 的最大值为 15 。
,∴直线 l 的方程为 y ? ?1
2

∴当 t=15 时,
2

此时 16x0 ? 0, x0 ? 0,? y0 ? 1 ②当 y0 ? 0 时,容易求得 PQ ?

7 ? 15

故:所求 PQ 的最大值为 15 ,此时 l 的方程为 y ? ?1

t ? y ? ( x ? a) t ? 27.解(理) (1)易得 l 的方程为 y ? ( x ? a) ?1 分 由 ? ,得(a2t2+4)y2-4aty=0?2 分 2 ? 2 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?a2
解得 y=0 或 y ?

4at a t ?4
2 2

即点 M 的纵坐标 y M ?

4at ??????4 分 a t ?4
2 2

S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=

4a 2 t ?7 分 (2)由(1)得, 4a 2 t 4a 2 S? ? (t ? 0) 2 2 4?a t 4 ? a 2t 2 4 ? a 2t t
由V ? ? 0 ? t ?

令V ?

4 4 ? a 2 t , V ? ? ? 2 ? a 2 ????9 分 t t

2 a

当 t ? 2 时, V ? ? 0;当0 ? t ? 2 时, V ? ? 0 ?10 分 若 1≤a≤2,则 2 ? [1,2) ,故当 t ? 2 时,Smax=a11 分 a a a a
2 若 a>2,则 0 ? 2 ? 1. ? V ? 4 ? a 2 t 在[1,2]上递增,进而 S(t)为减函数. ∴当 t=1 时, S ? 4a 13 分 max a t 4 ? a2

综上可得

S max

?a(1 ? a ? 2) ? ????14 分 ? ? 4a 2 ( a ? 2 ) ? ?4 ? a2

28. (1) ∵函数 f(x)= 又函数 f(x)=

bx+c bx 的图象过原点,即 f(0)=0,∴c =0,∴f(x)= . x+1 x+1

bx ab =b的图象关于点(-1,1)成中心对称,∴a=1,b=1,∴f(x)= x+1 x+1 an 2 ] ,即 an+1 = an+1 an 1 1 1 1 ,即 = +1,∴ =1. an+1 an+1 an an+1 an
1

x .(2)由题意有 an+1=[ x+1
∴数列{ 1

an

}是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列. ∴

an

1 =1+(n-1)=n, 即 an = , ∴an=

n

1

n2

1 1 1 1 .∴a2= ,a3= ,a4= ,an= 2. 4 9 16 n

?y ? m ? n ? ? 29、解: (1)由 ?m ? (2 x ? b,1) ,得 y ? 2 x ? 1 ? n ? (1, b ? 1) ? ?

????2 分

? L : y ? 2 x ? 1,? P , 1 (0,1) ,则 a1 ? 0, b1 ? 1

? an ? n ? 1(n ? N ? ),bn ? 2n ? 1(n ? N ? )

????4 分

(2)当 n ? 2 时, , Pn (n ? 1,2n ? 1),| P ) 1P n |? 5 (n ? 1

cn ?

5 1 1 1 ? ? ? n| P n(n ? 1) n ? 1 n 1P n |

????6 分

? lim(c1 ? c 2 ? ? ? c n ) ?
n ??

1 1 1 1 1 1 lim[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? lim(1 ? ) ? 1 n ?? n ?? 2 2 3 n ?1 n n
(3)假设存在符合条件的 k 使命题成立

????8 分

当 k 是偶数时, k ? 11 是奇数,则 f (k ? 11) ? k ? 10, f (k ) ? 2k ? 1 由 f (k ? 11) ? 2 f (k ), 得 k ? 4 ????11 分

, f (k ) ? k ? 1 当 k 是奇数时, k ? 11 是偶数,则 f (k ? 11) ? 2k ? 21
由 f (k ? 11) ? 2 f (k ), 得 k 无解 综上存在 k ? 4 ,使得 f (k ? 11) ? 2 f (k ) ????14 分

30.解: (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 把 y ? k ( x ? 1) 代入 y 2 ? 4 x 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ∴ x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 4 ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? 2 k k

? x ?x k2 ? 2 x? 1 2 ? 2 ? ? 2 k 2 ∴点 M 的坐标为 M ? k ? 2 , 2 ? ; ∴? ? 2 ? k? ? k ? y ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 k ?

消去 k 可得点 M 的轨迹方程为: y2 ? 2x ? 2

( x ? 0) ;

k2 ? 2 2 ? 4? ? m| 2 1 k k (2)∵ d ? ? 5 5 6 8 6 8 6 8 ∴ | 3 ? 2 ? ? m |? 1 ∴ 3 ? 2 ? ? m ? ?1 ∴ 2 ? ? ?1 ? 3 ? m k k k k k k 11 6 8 11 6 3 8 ∵ k ? 2 ∴ 0 ? 2 ? , 0 ? ? 4 ∴ 0 ? 2 ? ? ∴ 0 ? ?1 ? 3 ? m ? 2 k k 2 k 2 k | 3?
∴0 ? 1? 3 ? m ? ∴?

11 11 15 19 ? m ? ?2 或 ? ? m ? ?4 或 0 ? ?1 ? 3 ? m ? ∴? 2 2 2 2

19 ? 19 ? ? m ? ?2 ∴ m 的取值范围为 ? ? , ?2 ? 。 2 ? 2 ?


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