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第七章 机械能守恒定律


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第七章 机械能守恒定律 第 1 单元 功和功率 知识点一、功 一、做功的两个基本因素: 1、 2、 二、功的计算公式: 三、功的单位:功的单位是 四、正功和负功(W=FSCOSα ) 1、当α =0 时,COS α = 2、当α =π /2 时,COSα = 3、当α <π /2 时,COS α 4、当π /2 <α < π 时,COS

α 5、当α =180 时,COS α = 五、正功或负功的物理意义: 1、功的正负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功。 力对物体做正功,力对物体的运动起 力对物体做负功,力对物体的运动起 2、一个力对物体做负功,往往说成 作用,这个力是 作用,这个力是 力; 力; 。这两种说法在意义上是等 ,W = ,W= 0,W 0,W ,W = ; ; 0; 0; ; ,简称 ; ; ; (此公式只适用于恒力做功) ,用符号“ ”表示。1J=1N×1m=1N·m

同的。举例:一个力对物体做了-6J 的功,可以说成物体克服这个力做了 6J 的正功。 3、功是 量,只有大小,没有方向,功的正负既不表明大小,也不表明方向,比较

功的大小要看功的绝对值。 六、求总功的方法: 利用斜面从货车上卸货, 每包货物的质量m=100kg, 倾斜角α =30°,斜面的长度 l=2m,货物与斜面间的 擦因数μ =0.2,求: (1)物体受到哪些力的作用? (2)各个力对物体所做的功分别是多少? (3)上述各个力对物体做功的代数和是多少? (4)求合力对物体所做的功 斜面 动摩

2

(1)分别求出每个力所做的功,然后求出各个力对物体做功的代数和。即: W 总=W1+W2+??+Wn (2)先求出物体所受的合力,然后再求出合力所做的功,即:W 合=F 合 Scosα (α 是合 外力与位移 S 的夹角) 合力对物体所做的功等与各个力对物体做功的代数和; 1、关于功,下列说法正确的是( A:因为功有正负,所以功是矢量; B:功只有大小而无方向,所以功是标量; C:功的大小只有力和位移决定; D:力和位移都是矢量,所以功也是矢量; 2、有两个互相垂直的力 F1 和 F2 同时作用在同一物体上,使物体由静止开始运动,物体 在通过一段位移的过程中,力 F1 对物体做功 4J,力 F2 对物体做功 3J,则 F1 和 F2 的合力 对物体做功为( A:7J; B:5J; ) C:2J; D:1J; )

3、用水平恒力 F 作用在质量为 M 的物体上,使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距 离 s,恒力做功为 W1,再用该恒力作用于质量为 m 的物体上,使之在粗糙的水平面上移 动同样的距离 s,恒力做功为 W2,则两次恒力做功的关系是( A:W1> W2 知识点二、功率: 1、物理意义:表示力对物体做功 的物理量; B:W1< W2 C:W1= W2 ) D:无法判断

2、定义:物理学中就用物体所做的功 W 和完成这些功所用的时间 t 的比值,叫做功率。 功率等于单位时间里完成的功。功率用 P 来表示 3、定义式: ; ,简称 ,用符号“ ”表示;

4、单位:在国际单位制中,功率的单位是

3

5、功率是 量:只有大小,没有方向。 6、功率与力、速度的关系: 7、平均功率和瞬时功率 (1)平均功率:表示力在一段时间内做功的平均快慢程度。 (2)瞬时功率:表示力在某一时刻做功的快慢程度。 8、额定功率和实际功率: 额定功率:机器长时间正常工作时的最大输出功率,也就是机器铭牌上的标称值。 实际功率:机器工作中实际输出的功率; 9、机车的两种启动方式: 机车以恒定功率启动的运动过程: 机车以恒定加速度启动的运动过程: 例题:质量为 m=5×103 kg 的汽车在水平公路上行驶时,阻力是车重的 0.1 倍。让车保 持额定功率为 60 kW,从静止开始行驶。(g 取 10 m/s2) (1)若以额定功率启动,求汽车达到的最大速度 vm 及汽车车速 v1=2 m/s 时的加速度; (2)若汽车以 v1=6 m/s 的速度匀速行驶,求汽车的实际功率。 在上例中,若汽车从静止开始以 2.0 m/s2 的加速度匀加速运动,当其功率增至额定功率 后,功率保持不变。求: (1)匀加速运动的时间及匀加速过程中的最大速率; (2)匀加速过程中汽车的平均功率。

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1、飞行员进行素质训练时,抓住秋千杆由水平状态开始下摆,如图所示,在到达竖直 状态的过程中飞行员受到的重力的瞬时功率变化情况是( A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 2、如图甲所示,滑轮质量、摩擦均不计,质量为 2 kg 的物体在 F 作用下由静止开始向 上做匀加速运动,其速度随时间的变化关系如图乙所示,由此可知(g 取 10 m/s2)( A.物体加速度大小为 2 m/s B.F 的大小为 21 N C.4 s 末 F 的功率大小为 42 W D.4 s 内 F 做功的平均功率为 42 W 3、(2012·江苏高考)如图 3 所示,细线的一端固定于 O 点,另一端系一小球,在水平 拉力作用下,小球以恒定速率在竖直平面内由 A 点运动到 B 点,在此过程中拉力的瞬时 功率变化情况是( A:逐渐增大 B:逐渐减小 C:先增大,后减 D:先减小,后增大 4、质量为 m 的汽车,其发动机额定功率为 P。当它开上一个倾角为 θ 的斜坡时,受到 的阻力为车重力的 k 倍,则车的最大速度为( D ) )
2

)

)

A:

P mg sin ?

B:

P cos? mg (k ? sin ? )

C:

P cos? mg

D:

P mg (k ? sin ? )

5

第 2 单元 动能定理 第一节、动能的改变 一、动能: 1、定义:物体由于 2、公式: 3、单位: 4、矢标性:动能是 。 量。 而具有的能叫做动能。

1 5、动能是状态量:Ek= mV 2 中的 v 只能是瞬时速度,而不能是平均速度。 2

6、动能具有相对性:由于物体的速度与参考系的选取有关,选择的参考系不同,物体 的运动速度也就不同,动能也就不同。做题时,如无特别说明,一般选地面为参考系。 二、动能的变化(又称为动能的增加量) : Δ Ek=mvt2/2-mv02/2 Δ Ek为正表示物体的动能增加; Δ Ek为负表示物体的动能减小; 三、动能定理: 1、内容: 2、表达式: 式中 W 为合力所做的功 求合力做功有两种方法: 合外力对物体做正功,W 为正,Δ Ek为正,表示物体的动能增加; 合外力对物体做负功,W 为负,Δ Ek为负,表示物体的动能减小; 3、适用条件:动能定理既适用于 做功,也适用于 做功。 运动,也适用于 运动;既适用于 。

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计算变力做功的几种方法 一、将变力做功转化为恒力做功: 如图所示,某人用大小不变的力 F 拉着放在光滑水平面上的物体,开始时与物体相连的 绳和水平面间的夹角是α ,当拉力 F 作用一段时间后,绳和水平面间的夹角是β ,已知 图中的高度是 h,求绳的拉力 T 对物体所做的功。 (假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮 间的摩擦不计)

W ? Fs ? F ( s1 ? s2 ) ? Fh(

1 1 ? ) sin ? sin ?
s1 α β

T T s2

F

h

二、利用微元法求变力功: 如图所示,质量为 m 的质点在力的作用下,沿水平面上半径为 r=lm 的光滑圆槽运动一 周,力 F 的大小保持不变,方向始终与圆槽相切,求力 F 对物体做的功为( A:0J B:20π J C:10J D:20J 三、用平均力求变力功: 把长为 l 的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为 E0,已知钉子在木板中遇到的阻 力与钉子进入木板的深度成正比, 比例系数为 k。 问此钉子全部进入木板需要打击几次? 解析:在把钉子打入木板的过程中,钉子把得到的能量用来克服阻力做功,而阻力与钉 子进入木板的深度成正比,先求出阻力的平均值,便可求得阻力做的功。 钉子在整个过程中受到的平均阻力为:F= 1 钉子克服阻力做的功为:WF=Fl= kl2 2 设全过程共打击 n 次,则给予钉子的总能量: 1 2 kl2 E 总=nE0= kl ,所以 n= 2 2E0 0+kl kl = 2 2 B )

7

[答案]

kl2 2E0

四、用 F-s 图象求变力功 用铁锤把小铁钉钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比,已知铁锤第 一次将钉子钉进 d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二 次钉子进入木板的深度是( A: ( 3 ?1)d ; B: ( 2 ?1)d ; ) C: ( 5 ? 1)d ;
2

D: 2 d ;
2

解析:由于木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比,则 F-s 的关系图象如图所示, 由于两次做的功相等,则两种情况下图线与横轴所围面积是相同的。 kd ? kd ? kd ,
2 2 2
2 '2 2

所以 d’= 2d 则第二次进入木板的深度为 ?d ? d ' ? d ? ( 2 ?1)d 五、用动能定理求变力功 例 1、如图所示,质量为 m 的物体置于光滑水平面上,一根绳子跨过定滑轮一端固定在 物体上,另一端在力 F 的作用下,以恒定速度 v0 竖直向下运动。物体由静止开始运动 到绳子与水平方向夹角α =45? 过程中,绳子拉力对物体做的功为( B )

B : mv0

1 2 A : mv0 4 2
V0 F α

1 2 C : mv0 2
D: 2 2 mv0 2

例 2、质量为 4000 千克的汽车,由静止开始以恒定的功率前进,它经 100/3s 的时间前进 425m,这时候它达到最大速度 15m/s。假设汽车在前进中所受阻力不变,求阻力为多大?

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例 3、如图甲所示,一质量为 m=1 kg 的物块静止在粗糙水平面上的 A 点,从 t=0 时刻 开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力 F 的作用并向右运动,第 3 s 末物块运动到

B 点时速度刚好为 0,第 5 s 末物块刚好回到 A 点,已知物块与粗糙水平面间的动摩擦
因数μ =0.2,求:(g=10 m/s2) (1)A 与 B 间的距离; (2)水平力 F 在前 5 s 内对物块做的功。

例 4、如图所示,用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸 边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为 P,小船的质量为 m,小船受到的阻力大小恒为 f, 经过 A 点时的速度大小为 v0,小船从 A 点沿直线加速运动到 B 点经历时间为 t1,A、B 两点间距离为 d,缆绳质量忽略不计。求: (1)小船从 A 点运动到 B 点的过程克服阻力做的功 Wf; (2)小船经过 B 点时的速度大小 v1; (3)小船经过 B 点时的加速度大小 a。

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第 3 单元 机械能守恒定律 知识点一:重力势能与弹性势能 一、重力势能: 1、定义:物体由于被举高而具有的能叫重力势能,用Ep来表示。 2、表达式: 3、单位: 二、重力势能的特性: 1、相对性 若选桌面为参考平面 EPA= 若选地面为参考平面 EPA= ; ; 。

A h1 B h2 C

重力势能是相对的,所选的参考平面不同,重力势能 的数值也不同,EP=mgh 中,h是物体相对于参考平面的高 度。 2、标矢性: 若选桌面为参考平面,求物体在 A、B、C 三个位置的重力势 能? EPA= ; EPb= ; EPc= ;

重力势能是标量,只有大小,没有方向,但有正负。 重力势能的正、负表示重力势能的大小。 3、系统性: 三、重力做功的特点: 1、重力所做的功只决定与物体所受的重力 mg 和初、末位 置的高度差Δ h,而跟物体运动的路径无关。 2、重力所做的功等于重力和沿着重力方向位移的乘积。 四、重力做功与重力势能的改变: 1、设一个质量为 m 的物体从 A 点下落到 B 点,求这个过 程中重力所做的功? 2、设一个质量为 m 的物体从 B 点上升到 A 点,求这个过 程中重力所做的功? 结论:重力所做的功等于初位置的重力势能减去末位置的重力势能;

A G B Δh

h1

h2

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WP ? mgh1 ? mgh2 ? ??Ep
三、弹性势能 1、弹性势能:物体因为发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能. 2、弹性势能的大小:EP=1/2KΔ X2 3、弹力做功与弹性势能变化的关系 ①弹力做正功,弹性势能减小,弹力做了多少正功,弹性势能就减少多少。 ②弹力做负功,弹性势能增加,弹力做了多少负功,弹性势能就增加多少。 例题 1、关于重力势能,下列说法正确的是( )

A:物体的位置一旦确定,它的重力势能大小也随之确定; B:物体与零势能面的距离越大,它的重力势能也越大; C:一个物体的重力势能从-5J 变化到-3J,重力势能变小了; D:重力势能的减少量等于重力对物体做的功; 例题 2、关于重力做功和物体重力势能的变化,下列说法错误的是( A:当重力对物体做正功时,物体的重力势能一定减小; B:当物体克服重力做功时,物体的重力势能一定增加; C:重力做功的多少与参考平面的选取无关; D:重力势能的变化量与参考平面的选取有关。 例题 3、 起重机吊着一个质量为 2.0x103kg 的重物从静止开始以 2.0m/s2 的加速度竖直向 上升起 5.0m,那么钢丝绳对物体的拉力做的功为多少?物体的动能增加了多少?物体的 重力势能增加了多少? )

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知识点二:机械能守恒定律 1、内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机 械能保持不变。 2、表达式:
1 1 2 ? mgh 2 ① mv 12 ? mgh1 ? mv 2 2 2

EK1+ EP1= EK2+ EP2 E1= E2 ②Δ EK=-Δ EP 表示系统动能的增加量等于系统势能的减少量 ③Δ EA=-Δ EB 如果系统内只有两个物体发生机械能的转化, A 物体机械能的增加量等于 B 物体机械能的减少量。 3、守恒条件:只有重力或弹簧的弹力做功。 ①物体只受重力或弹簧的弹力; (如自由落体运动和各种抛体运动) ②物体除受重力或弹簧的弹力外,还受其他的力,但其他的力对物体不 做功,或所做功的代数和为 0。 如图所示,如不计空气阻力,小球在摆动过程中细线的 拉力不做功,只有重力做功,小球的机械能守恒。 如图所示,A、B 构成的系统,忽略绳的质量和绳与滑轮 间的摩擦,在 A 向下、B 向上的运动过程中,FA 和 FB 都做功,但对于 A、B 组成的系统

WA+WB=0,不存在机械能与其他形式能量的转化,则 A、B 构成的系统机械能守恒。
4、判断机械能是否守恒的方法: ①从能量转化的角度来判断:若物体或系统中只有动能和势能的相互转化,而无机械能 和其他形式的能的转化,则机械能守恒; ②从做功的角度来判断:分析物体或系统受力情况,明确各力做功的情况,若只有重力 或弹簧的弹力做功,则机械能守恒; 例题 1、下列说法正确的是( )

A:物体的机械能守恒时,一定只受重力作用; B:物体处于平衡状态时,机械能一定守恒; C:只有重力对物体做功,物体的机械能一定守恒; D:做匀变速直线运动的物体机械能可能守恒;

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例题 2、从离地 H 高处以速度 v 竖直向下抛出一个小球,若不计空气阻力且小球撞地时 无机械能损失,那么此球弹回的最大高度是 ;

例题 3、如图所示,在水平台面上的 A 点,一个质量为 m 的物体以初速度 v0 被抛出,不 计空气阻力, 求它到达距水平台面竖直高度 h 处 B 点时速度的大小是 例题 4、如图所示,长为 L 的细绳下端拴一个质量为 m 的小 球,小球上端固定在 O 点,小球从水平位置 A 由静止释放。 当小球运动到细绳与水平方向的夹角为θ 的 B 点时, 小球的 动能是多少?当小球运动到竖直方向的 C 点时, 小球的动能 是多少?小球在 C 点时重力的瞬时功率是多少? C 。

O

θ

L

A

B

例题 5、如图所示,质量为 m 的物体 A,从弧形面的底端以初速 V0 向上滑行,达到某一 高度后,又循原路返回,且继续沿水平面滑行至 p 点而停止。求在整个过程中摩擦力对 物体 A 所做的功。 (?

1 2 mv0 ) 2
P

V0 A

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第 4 单元 功能关系 知识点一:功能关系: 一、功和能

能量守恒定理

1、功是能量转化的量度,即做了多少功,就有多少能量发生了转化。 2、做功的过程一定伴随有能量的转化,而且能量的转化必须通过做功来实现。 二、力学中常用的四种功能对应关系 1、合外力做功等于物体动能的改变:即 W 合=Ek2-Ek1=Δ Ek。(动能定理) 2、重力做功等于物体重力势能的减少:即 WG=Ep1-Ep2=-Δ Ep。 3、弹簧弹力做功等于弹性势能的减少:即 W 弹=Ep1-Ep2=-Δ Ep。 4、除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功,等于物体机械能的改变,即 W 其他力=

E2-E1=Δ E。
知识点二:能量守恒定律 1.内容:能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只会从一种形式转化为其他形式, 或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变。 2.表达式:Δ E 减=Δ E 增。 1、对于功和能的关系,下列说法中正确的是( A.功就是能,能就是功 B.功可以变为能,能可以变为功 C.做功的过程就是能量转化的过程 D.功是物体能量的量度 2、如图所示,电梯质量为 M,地板上放着一质量为 m 的物体。钢索拉电梯由静止开始向 上加速运动,当上升高度为 H 时,速度达到 v,则( ) C )

A:地板对物体的支持力做的功等于

1 2 ; mv 2
m

v

B:地板对物体的支持力做的功等于 mgH; C:钢索的拉力做的功等于 1 Mv 2 ? MgH 2 D:合力对电梯做的功等于

1 Mv 2 2

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3、如图所示,一质量为 m 的小球,用长为 l 的轻绳悬挂 于 o 点,小球在水平拉力 F 的作用下,从平衡位置 P 点很 缓慢地移动到 Q 点,则力 F 所做的功为( A:mglcosθ ; B:mgl(1-cosθ ) ; C:Flsinθ ; D:Fl; 4、一质量均匀、不可伸长的绳索,重为 G,A、B 两端固定在天花板上。今在最低点 C 施加一竖直向下的力将绳缓慢拉至 D 点,在此过程中,绳索 AB 的重心位置( A:逐渐升高; B:逐渐降低; C:先降低后升高; D:始终不变; ) )

θ l F Q F

P

A C D

B

5、 (2012·安徽高考)如图所示, 在竖直平面内有一半径为 R 的圆弧轨道, 半径 OA 水平、

OB 竖直, 一个质量为 m 的小球自 A 的正上方 P 点由静止开始自由下落, 小球沿轨道到达
最高点 B 时恰好对轨道没有压力。已知 AP=2R,重力加速度为 g,则小球从 P 到 B 的运 动过程中( )

A.重力做功 2mgR B.机械能减少 mgR C.合外力做功 mgR 1 D.克服摩擦力做功 mgR 2 例题 6、在“验证机械能守恒定律”的实验中,质量 m=1kg 的重物自由下落,在纸带上 打出一系列的点,如图所示(相邻两计数点时间间隔为 0.02s) ,单位 cm,那么 (1)甲、乙、丙三位同学分别用同一装置打出三条纸袋,量出各纸带上第 1、2 两点间 的距离分别为 1.8mm、1.9mm、2.5mm,可以看出其中肯定有一个学生在操作上有错误, 这位同学是 (2)纸带的 。 端与重物相连; ;

(3)打点计时器打下计数点 B 时,重物的速度 VB=

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(4)从起点 O 到打下计数点 B 的过程中重物重力势能的减少量是Δ EP= J,此过程中重物动能的增加量Δ Ek= (5)通过计算,数值上Δ EP 为
O 3.14 5.01 7.06

J,(g 取 9.8m/s2);

Δ Ek(填“>” 、 “<”或“= ” ) ,这是因


A B 单位:cm C


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