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2008压轴题精选1(几何与函数问题)


2008 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一
【编者的话】 编者的话】
新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多,难度大,复杂程度高的综合题型, 逐步转向数形结合,动态几何,动手操作,实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多,题意 创新,目的是考察学生的分析问题,解决问题的能力,内容包括空间观念,应用意识,推理能 力等.从数学思想的层面上讲: (1)运动观

点; (2)方程思想; (3)数形结合思想; (4)分类 思想; (5)转化思想等.但纵观全国各省,市的中考数学试题,它的压轴题均是借鉴于上年各 地的中考试题演变而来.所以,研究上年各地的中考试题,就能找到今年中考数学试题的热点 的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,学生能力 得以的培养,解题方法,技巧得以掌握,学生才能顺利地解答未来中考的压轴题.

2008 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一

几何与函数问题
【知识纵横】 知识纵横】 知识纵横
客观世界中事物总是相互关联,相互制约的.几何与函数问题就是从量和形的侧面去描 述客观世界的运动变化,相互联系和相互制约性.函数与几何的综合题,对考查学生的双基和 探索能力有一定的代表性,通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式,进一步研究 几何的性质,沟通函数与几何的有机联系,可以培养学生的数形结合的思想方法.

【典型例题】 典型例题】
【例 1】 上海市)已知 AB = 2,AD = 4 , ∠DAB = 90 , AD ‖ BC (如图) E 是射线 例 (上海市) .

BC 上的动点(点 E 与点 B 不重合) M 是线段 DE 的中点. ,
(1)设 BE = x , △ ABM 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,求线段 BE 的长; (3)联结 BD ,交线段 AM 于点 N ,如果以 A,N,D 为顶点的三角形与 △BME 相似,求 线段 BE 的长. A D

D M C

A

B

E

B

备用图

C

【思路点拨】 (1)取 AB 中点 H ,联结 MH ; (2)先求出 DE; (3)分二种情况讨论.

【例 2】 山东青岛) 例 (山东青岛) 已知: (1) 在 Rt△ ACB 中, C = 90 ,AC = 4 cm ,BC = 3cm , 如图 , ∠ 点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1cm/s;点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动,速度为 2cm/s;连接 PQ .若设运动的时间为 t (s) ( 0 < t < 2 ) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时, PQ ‖ BC ? (2)设 △ AQP 的面积为 y ( cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式;
2

(3)是否存在某一时刻 t ,使线段 PQ 恰好把 Rt△ ACB 的周长和面积同时平分?若存在,求出 此时 t 的值;若不存在,说明理由; (4)如图(2) ,连接 PC ,并把 △PQC 沿 QC 翻折,得到四边形 PQP′C ,那么是否存在某一 时刻 t ,使四边形 PQP′C 为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由. B B P P

A A Q 图(1) C 图(2)

Q

C

P′
【思路点拨】 (1)设 BP 为 t,则 AQ = 2t,证△APQ ∽△ABC; (2)过点 P 作 PH⊥AC 于 H. (3)构建方程模型,求 t; (4)过点 P 作 PM⊥AC 于M,PN⊥BC 于 N,若四边形 PQP ′ C 是菱 形,那么构建方程模型后,能找到对应 t 的值.

【例 3】 山东德州)如图(1),在△ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M 是 AB 上的动点 例 (山东德州) (山东德州 (不与 A,B 重合) ,过 M 点作 MN‖BC 交 AC 于点 N.以 MN 为直径作⊙O,并在⊙O 内作内接矩形

AMPN.令 AM=x.
(1)用含 x 的代数式表示△MNP 的面积 S; (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切? (3)在动点 M 的运动过程中,记△MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数 表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
A M O P B C B D C N M O B P A M N C O N A

图(1)

图(2)

图(3)

【思路点拨】 (1)证△AMN ∽ △ABC; (2)设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,先 求出 OD(用 x 的代数式表示) ,再过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,证△BMQ∽△BCA; (3)先找到图形娈 化的分界点, x =2.然后 分两种情况讨论求 y 的最大值: ① 当 0< x ≤2 时, ② 当 2< x < 4 时.

【学力训练 学力训练】 学力训练
1, 山东威海) 如图,在梯形 ABCD 中,AB‖CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点 M, (山东威海)

N 分别在边 AD,BC 上运动,并保持 MN‖AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为 E,F.
(1)求梯形 ABCD 的面积; (2)求四边形 MEFN 面积的最大值. (3)试判断四边形 MEFN 能否为正方形,若能, 求出正方形 MEFN 的面积;若不能,请说明理由.
A E F B M D C N

2, 浙江温州市)如图,在 Rt△ ABC 中, ∠A = 90 , AB = 6 , AC = 8 , D,E 分别 (浙江温州市) 是边 AB,AC 的中点,点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ ⊥ BC 于 Q ,过点 Q 作

QR ‖ BA 交 AC 于 R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ = x , QR = y .
(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ; (3)是否存在点 P ,使 △PQR 为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由. B D P A R E C

H Q

3, 湖南郴州)如图,平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,BC 边上的高 AM=4,E 为 BC (湖南郴州) 边上的一个动点(不与 B,C 重合) .过 E 作直线 AB 的垂线,垂足为 F. FE 与 DC 的延长线相交 于点 G,连结 DE,DF. . (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG. (2) 当点 E 在线段 BC 上运动时,△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的理由. (3)设 BE=x,△DEF 的面积为 y,请你求 出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当 x 为何 值时,y 有最大值,最大值是多少?
B
M

A F

D

x

E G

C

4, 浙江台州)如图,在矩形 ABCD 中, AB = 9 , AD = 3 3 ,点 P 是边 BC 上的动 (浙江台州) 点(点 P 不与点 B ,点 C 重合) ,过点 P 作直线 PQ ‖ BD ,交 CD 边于 Q 点,再把 △PQC 沿 着动直线 PQ 对折,点 C 的对应点是 R 点,设 CP 的长度为 x , △PQR 与矩形 ABCD 重叠部 分的面积为 y . (1)求 ∠CQP 的度数; (2)当 x 取何值时,点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上? (3)①求 y 与 x 之间的函数关系式; ②当 x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的 D Q C P A R B A (备用图 1) B A (备用图 2) B D

7 ? 27
C D C

几何与函数问题的参考答案
【例 1】 上海市) 例 (上海市) (1)取 AB 中点 H ,联结 MH ,

∵ M 为 DE 的中点,∴ MH ‖ BE , MH =
又∵ AB ⊥ BE ,∴ MH ⊥ AB .

1 ( BE + AD ) . 2

∴ S△ ABM =

1 1 AB i MH ,得 y = x + 2( x > 0) ; 2 2
( x 4) 2 + 2 2 .

(2)由已知得 DE =

∵ 以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,

∴ MH =

1 1 1 1 AB + DE ,即 ( x + 4) = 2 + (4 x) 2 + 22 . 2 2 2 2 4 4 解得 x = ,即线段 BE 的长为 ; 3 3

(3)由已知,以 A,N,D 为顶点的三角形与 △BME 相似, 又易证得 ∠DAM = ∠EBM . 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:① ∠ADN = ∠BEM ;② ∠ADB = ∠BME .

①当 ∠ADN = ∠BEM 时,∵ AD ‖ BE ,∴∠ADN = ∠DBE .∴∠DBE = ∠BEM .

∴ DB = DE ,易得 BE = 2 AD .得 BE = 8 ;
②当 ∠ADB = ∠BME 时,∵ AD ‖ BE ,∴∠ADB = ∠DBE .

∴∠DBE = ∠BME .又 ∠BED = ∠MEB ,∴△BED ∽△MEB .



DE BE 1 2 2 ,即 BE = EM i DE ,得 x 2 = = 2 + ( x 4) 2 i 22 + ( x 4) 2 . BE EM 2

.即线段 BE 的长为 2. 解得 x1 = 2 , x2 = 10 (舍去) 综上所述,所求线段 BE 的长为 8 或 2. 【例 2】 山东青岛) 例 (山东青岛) (1)在 Rt△ABC 中, AB = BC 2 + AC 2 = 5 , 由题意知:AP = 5-t,AQ = 2t, 若 PQ‖BC,则△APQ ∽△ABC, ∴
AQ AP 2t 5 t 10 = ,∴ = ,∴ t = . AC AB 4 5 7

B P

(2)过点 P 作 PH⊥AC 于 H. ∵△APH ∽△ABC, ∴
PH AP PH 5t 3 = = ,∴ ,∴ PH = 3 t , 5 AB BC 3 5

A

Q 图①

H

C

∴y=

1 1 3 3 × AQ × PH = × 2t × (3 t ) = t 2 + 3t . 2 2 5 5

(3)若 PQ 把△ABC 周长平分,则 AP+AQ=BP+BC+CQ. ∴ (5 t ) + 2t = t + 3 + (4 2t ) , 解得: t = 1 .
1 2
3 5

若 PQ 把△ABC 面积平分,则 S APQ = SABC , 即- t 2 +3t=3. ∵ t=1 代入上面方程不成立, ∴不存在这一时刻 t,使线段 PQ 把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分. (4)过点 P 作 PM⊥AC 于M,PN⊥BC 于 N, B 若四边形 PQP ′ C 是菱形,那么 PQ=PC. ∵PM⊥AC 于 M,∴QM=CM. ∵PN⊥BC 于 N,易知△PBN∽△ABC. A Q M C P N

图② P′



PN BP = , AC AB



PN t = , 4 5

∴ PN = ∴

4t 4t , ∴ QM = CM = , 5 5

4 4 10 t + t + 2t = 4 ,解得: t = . 5 5 9 10 ∴当 t = 时,四边形 PQP ′ C 是菱形. 9
此时 PM = 3 t =
3 5 7 , 3
CM = 4 8 t= , 5 9

2 2 在 Rt△PMC 中, PC = PM + CM =

49 64 + = 9 81

505 , 9

∴菱形 PQP ′ C 边长为

505 . 9

【例 3】 山东德州) 例 (山东德州) (山东德州 (1)∵MN‖BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △AMN ∽ △ABC.

x AN ∴ AM = AN ,即 = . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. 4
∴ S = S MNP = S AMN =

1 3 3 x x = x2 . (0< x <4) 2 4 8
1 MN. 2
A

(2)如图(2) ,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB + AC =5.
2 2

M O B Q

N

由(1)知 △AMN ∽ △ABC.

x MN . ∴ AM = MN ,即 = 4 5 AB BC

D 图( 2)

C

5 ∴ MN = x , 4 5 5 ∴ OD = x .过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ = OD = x . 8 8
在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA.
B M O P

A N

C 图 (1)

∴ BM = QM . BC AC

5 5× x 8 = 25 x , AB = BM + MA = 25 x + x = 4 . ∴ BM = 3 24 24
∴ x=
96 . 49 96 时,⊙O 与直线 BC 相切. 49

∴当 x=

(3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. ∵ MN‖BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △AMO ∽ △ABP. ∴ AM = AO = 1 . AM=MB=2. AB AP 2 故以下分两种情况讨论: ① 当 0< x ≤2 时, y = S PMN = ∴ 当 x =2 时, y最大 =
3 2 x . 8
B 图 M O P (3) C A

N

3 2 3 ×2 = . 8 2
M O

A

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN‖AM,PN=AM=x. 又∵ MN‖BC, ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. ∴ PF = x ( 4 x ) = 2 x 4 . 又△PEF ∽ △ACB. ∴
B

N

E P 图

F ( 4)

C

SPEF 3 2 PF .∴ S PEF = ( x 2 ) . = S ABC 2 AB

2

3 3 9 2 y = S MNP S PEF = x 2 ( x 2 ) = x 2 + 6 x 6 . 8 2 8 9 2 9 8 当 2< x <4 时, y = x + 6 x 6 = x + 2 . 8 8 3
2

8 时,满足 2< x <4, y最大 = 2 . 3 8 综上所述,当 x = 时, y 值最大,最大值是 2. 3
∴ 当x= 【例 3】 山东德州) 例 】 山东德州) (山东德州 (1)∵MN‖BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ( ∴ △AMN ∽ △ABC.

x AN ∴ AM = AN ,即 = . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. 4
∴ S = S MNP = S AMN =

1 3 3 x x = x 2 . 0< x <4) ( 2 4 8
1 MN. 2

(2)如图(2) ,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB 2 + AC 2 =5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
M O B Q C A N

x MN ∴ AM = MN ,即 = . 4 5 AB BC
∴ MN =

D A

图( 2) 5 x, 4 5 5M ∴ OD = x .过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ = OD = x . 8 8

O P

N

在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中,∠B 是公共角,
B

C 图 (1)

∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM = QM . BC AC

5 5× x 8 = 25 x , AB = BM + MA = 25 x + x = 4 . ∴ x= 96 . ∴ BM = 49 3 24 24
∴ 当 x=
96 时,⊙O 与直线 BC 相切. 49

(3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. ∵ MN‖BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △AMO ∽ △ABP. ∴ AM = AO = 1 . AM=MB=2. AB AP 2
B 图 M O P (3) C N A

故以下分两种情况讨论: ① 当 0< x ≤2 时, y = S PMN = ∴ 当 x =2 时, y最大 =
3 2 x . 8

3 2 3 ×2 = . 8 2
A

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN‖AM,PN=AM=x. 又∵ MN‖BC, ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. ∴ PF = x ( 4 x ) = 2 x 4 . 又△PEF ∽ △ACB.
B E P 图 ( 4) F C M O

N

SPEF 3 2 PF ∴ .∴ S PEF = ( x 2 ) . = S ABC 2 AB
3 3 9 2 y = S MNP S PEF = x 2 ( x 2 ) = x 2 + 6 x 6 . 8 2 8 9 2 9 8 当 2< x <4 时, y = x + 6 x 6 = x + 2 . 8 8 3
2

2

8 时,满足 2< x <4, y最大 = 2 . 3 8 综上所述,当 x = 时, y 值最大,最大值是 2. 3
∴ 当x= 【学力训练 学力训练】 学力训练
1, 山东威海) 1)分别过 D,C 两点作 DG⊥AB 于点 G,CH⊥AB 于点 H. ( (山东威海)

∵ AB‖CD, ∴ DG=CH,DG‖CH. ∴ 四边形 DGHC 为矩形,GH=CD=1. ∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°,
M D C N

∴ △AGD≌△BHC(HL) .

A

E G H F

B

∴ AG=BH=

AB GH 7 1 = =3. 2 2

∵ 在 Rt△AGD 中,AG=3,AD=5, ∴ DG=4. ∴ S梯形ABCD =

(1 + 7 ) × 4 = 16 .
2
D C N

(2)∵ MN‖AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ∴ ME=NF,ME‖NF. ∴ 四边形 MEFN 为矩形. ∵ AB‖CD,AD=BC,
A E G H F B M

∴ ∠A=∠B. ∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ∴ △MEA≌△NFB(AAS) . ∴ AE=BF. 设 AE=x,则 EF=7-2x. ∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ∴ △MEA∽△DGA. ∴
AE ME 4 = .∴ ME= x . AG DG 3
4 8 7 49 . x(7 2 x) = x + 3 3 4 6
2

∴ S 矩形MEFN = ME EF = 当 x=

7 7 时,ME= <4,∴四边形 MEFN 面积的最大值为 49 . 4 3 6

(3)能.
4 由(2)可知,设 AE=x,则 EF=7-2x,ME= x . 3

若四边形 MEFN 为正方形,则 ME=EF. 即
4x 21 = 7-2x.解,得 x = . 3 10

∴ EF= 7 2 x = 7 2 ×

21 14 = <4 . 10 5

∴ 四边形 MEFN 能为正方形,其面积为 S 正方形MEFN

196 14 . 00000000…………. = = 25 5

2

2, 浙江温州市) (浙江温州市) (浙江温州市 (1)∵ ∠A = Rt∠ , AB = 6 , AC = 8 ,∴ BC = 10 .

∵ 点 D 为 AB 中点,∴ BD =

1 AB = 3 . 2

∵ ∠DHB = ∠A = 90 , ∠B = ∠B .
∴△BHD ∽△BAC , ∴

DH BD BD 3 12 = ,∴ DH = i AC = × 8 = . AC BC BC 10 5

(2)∵ QR ‖ AB ,∴∠QRC = ∠A = 90 .

∵ ∠C = ∠C ,∴△RQC ∽△ ABC ,



RQ QC y 10 x = ,∴ = , AB BC 6 10 3 x +6. 5

即 y 关于 x 的函数关系式为: y = (3)存在,分三种情况:

①当 PQ = PR 时,过点 P 作 PM ⊥ QR 于 M ,则 QM = RM . A

∵ ∠1 + ∠2 = 90 , ∠C + ∠2 = 90 ,

R D P 1 M 2 H Q E C

∴∠1 = ∠C .
B

∴ cos ∠1 = cos C =

8 4 QM 4 = ,∴ = , 10 5 QP 5

1 3 x + 6 4 2 5 = ,∴ x = 18 . ∴ 12 5 5 5
②当 PQ = RQ 时,

A D B P E Q

R C

3 12 x+6= , 5 5

H

∴x = 6.
③当 PR = QR 时,则 R 为 PQ 中垂线上的点, 于是点 R 为 EC 的中点, B D

A EP R H Q C

1 1 ∴ CR = CE = AC = 2 . 2 4 QR BA ∵ tan C = = , CR CA 3 x+6 6 15 ∴ 5 = ,∴ x = . 2 8 2 18 15 综上所述,当 x 为 或6或 时, △PQR 为等腰三角形. 5 2
3, 湖南郴州) (湖南郴州) (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB DG 所以 ∠B = ∠GCE ,

∠G = ∠BFE

所以 △BEF ∽△CEG (2) △BEF 与△CEG 的周长之和为定值.理由一: 过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H , 因为 GF⊥AB,所以四边形 FHCG 为矩形.所以 FH=CG,FG=CH 因此, △BEF 与△CEG 的周长之和等于 BC+CH+BH 由

BC=10,AB=5,AM=4,可得 CH=8,BH=6,
H A F D

所以 BC+CH+BH=24 理由二: 由 AB=5,AM=4,可知 在 Rt△BEF 与 Rt△GCE 中,有:
B

M x E G

C

4 3 4 3 BE , BF = BE , GE = EC , GC = CE , 5 5 5 5 12 12 所以,△BEF 的周长是 BE , △ECG 的周长是 CE 5 5
EF =
又 BE+CE=10,因此 △ BEF 与△CEG 的周长之和是 24.

4 3 x, GC = (10 x) 5 5 1 1 4 3 6 22 所 以 y = EF i DG = i x[ (10 x) + 5] = x 2 x 2 2 5 5 25 5 6 55 121 y = ( x )2 + . 25 6 6
(3)设 BE=x,则 EF =







:

所以,当 x =

55 121 时,y 有最大值.最大值为 . 6 6

4, 浙江台州) (浙江台州) (1)如图,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB = CD,AD = BC . 又 AB = 9 , AD = 3 3 , ∠C = 90 ,

∴ CD = 9 , BC = 3 3 .

∴ tan ∠CDB =

BC 3 = ,∴∠CDB = 30 . CD 3

∵ PQ ‖ BD ,∴∠CQP = ∠CDB = 30 .
(2)如图(1) ,由轴对称的性质可知, △RPQ ≌△CPQ ,

∴∠RPQ = ∠CPQ , RP = CP .
由(1)知 ∠CQP = 30 ,∴∠RPQ = ∠CPQ = 60 ,

D

Q

C P B

A

∴∠RPB = 60 ,∴ RP = 2 BP .
∵ CP = x ,∴ PR = x , PB = 3 3 x .
在 △RPB 中,根据题意得: 2(3 3 x ) = x , 解这个方程得: x = 2 3 . (3)①当点 R 在矩形 ABCD 的内部或 AB 边上时,

R (图 1)

1 1 3 2 0 < x ≤ 2 3 , S△CPQ = × CP × CQ = xi 3 x = x , 2 2 2

∵△RPQ ≌△CPQ ,∴ 当 0 < x ≤ 2 3 时, y =

3 2 x 2

) 当 R 在矩形 ABCD 的外部时(如图(2), 2 3 < x < 3 3 , 在 Rt△PFB 中,∵ ∠RPB = 60 , Q

D

C P B

∴ PF = 2 BP = 2(3 3 x) ,
又∵ RP = CP = x ,∴ RF = RP PF = 3 x 6 3 , A E F R 图(2)

在 Rt△ERF 中,

∵ ∠EFR = ∠PFB = 30 ,∴ ER = 3 x 6 .

∴ S△ ERF =

1 3 3 2 ER × FR = x 18 x + 18 3 , 2 2

∵ y = S△ RPQ S△ ERF ,
∴ 当 2 3 < x < 3 3 时, y = 3 x 2 + 18 x 18 3 .

3 2 x (0 < x ≤ 2 3) . 综上所述, y 与 x 之间的函数解析式是: y = 2 3x 2 + 18 x 18 3(2 3 < x < 3 3)
②矩形面积 = 9 × 3 3 = 27 3 , 0 < x ≤ 2 3 时, 当 函数 y = 所以 y 的最大值是 6 3 ,而矩形面积的

3 2 x 随自变量的增大而增大, 2

7 7 的值 = × 27 3 = 7 3 , 27 27 7 ; 27

而 7 3 > 6 3 ,所以,当 0 < x < 2 3 时, y 的值不可能是矩形面积的 当 2 3 < x < 3 3 时,根据题意,得:

3 x 2 + 18 x 18 3 = 7 3 ,解这个方程,得 x = 3 3 ± 2 ,因为 3 3 + 2 > 3 3 ,
所以 x = 3 3 + 2 不合题意,舍去. 所以 x = 3 3 2 . 综上所述, x = 3 3 2 时, PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的 当 △

7 . 27

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2008压轴题精选2(直角坐标系下通过几何图形列函数式问题)
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